2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)理 (2)

1、1 / 15 2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷山東卷) 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科) 本試卷分第卷和第卷兩部分,共 4 頁,滿分 150 分.考試用時 120分鐘.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回. 注意事項: 1.答題前,考生務(wù)必用 0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上. 2.第卷每小題選出答案后,用 2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.答案不能答在試卷上. 3.第卷必須用 0.5 毫米黑色簽字筆作答.答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,不

2、能寫在試卷上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無效. 4.填空題請直接填寫答案,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 參考公式: 如果事件 a,b 互斥,那么 p(a+b)=p(a)+p(b),如果事件 a,b獨立,那么 p(ab)=p(a) p(b). 第卷(共 60分) 一、選擇題:本大題共 12小題,每小題 5分,共 60 分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2013 山東,理 1)復(fù)數(shù) z滿足(z-3)(2-i)=5(i為虛數(shù)單位),則 z 的共軛復(fù)數(shù)為( ). a.2+i b.2-

3、i c.5+i d.5-i 答案:d 解析:由題意得 z-3=52-i=2+i,所以 z=5+i.故=5-i,應(yīng)選 d. 2.(2013 山東,理 2)已知集合 a=0,1,2,則集合 b=x-y|xa,ya中元素的個數(shù)是( ). a.1 b.3 c.5 d.9 答案:c 解析:當 x,y取相同的數(shù)時,x-y=0;當 x=0,y=1 時,x-y=-1;當 x=0,y=2 時,x-y=-2;當 x=1,y=0時,x-y=1;當x=2,y=0時,x-y=2;其他則重復(fù).故集合 b中有 0,-1,-2,1,2,共 5 個元素,應(yīng)選 c. 3.(2013 山東,理 3)已知函數(shù) f(x)為奇函數(shù),且當

4、 x0時,f(x)=x2+1,則 f(-1)=( ). 2 / 15 a.-2 b.0 c.1 d.2 答案:a 解析:因為 f(x)是奇函數(shù),故 f(-1)=-f(1)=-(12+11)=-2,應(yīng)選 a. 4.(2013 山東,理 4)已知三棱柱 abc-a1b1c1的側(cè)棱與底面垂直,體積為94,底面是邊長為3的正三角形.若 p 為底面 a1b1c1的中心,則 pa與平面 abc 所成角的大小為( ). a.512 b.3 c.4 d.6 答案:b 解析:如圖所示,由棱柱體積為94,底面正三角形的邊長為3,可求得棱柱的高為3.設(shè) p 在平面 abc上射影為 o,則可求得 ao長為 1,故 a

5、p長為12+ (3)2=2.故pao=3,即 pa與平面 abc所成的角為3. 5.(2013 山東,理 5)將函數(shù) y=sin(2x+)的圖象沿 x軸向左平移8個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則 的一個可能取值為( ). a.34 b.4 c.0 d.-4 答案:b 解析:函數(shù) y=sin(2x+)的圖象向左平移8個單位后變?yōu)楹瘮?shù) y=sin2( +8) + =sin(2 +4+ )的圖象,又 y=sin(2 +4+ )為偶函數(shù),故4+=2+k,kz,=4+k,kz. 若 k=0,則 =4.故選 b. 6.(2013 山東,理 6)在平面直角坐標系 xoy 中,m為不等式組2x-y-2 0,

6、x + 2y-1 0,3x + y-8 0所表示的區(qū)域上一動點,則直線 om 斜率的最小值為( ). a.2 b.1 c.-13 d.-12 答案:c 3 / 15 解析:不等式組表示的區(qū)域如圖陰影部分所示,結(jié)合斜率變化規(guī)律,當 m 位于 c點時 om 斜率最小,且為-13,故選 c. 7.(2013 山東,理 7)給定兩個命題 p,q,若p 是 q 的必要而不充分條件,則 p是q的( ). a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 答案:a 解析:由題意:qp,p q,根據(jù)命題四種形式之間的關(guān)系,互為逆否的兩個命題同真同假,所以qp,pq等價于pq,

7、qp,所以 p是q 的充分而不必要條件.故選 a. 8.(2013 山東,理 8)函數(shù) y=xcos x+sin x的圖象大致為( ). 答案:d 解析:因 f(-x)=-xcos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),故該函數(shù)為奇函數(shù),排除 b,又 x(0,2),y0,排除c,而 x=時,y=-,排除 a,故選 d. 9.(2013 山東,理 9)過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=1 的兩條切線,切點分別為 a,b,則直線 ab 的方程為( ). a.2x+y-3=0 b.2x-y-3=0 c.4x-y-3=0 d.4x+y-3=0 答案:a 解析:該切線方

8、程為 y=k(x-3)+1,即 kx-y-3k+1=0,由圓心到直線距離為|k1-0-3k+1|k2+(-1)2=1,得 k=0或43,切線方程分別與圓方程聯(lián)立,求得切點坐標分別為(1,1),(95,-35),故所求直線的方程為 2x+y-3=0.故選 a. 4 / 15 10.(2013 山東,理 10)用 0,1,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為( ). a.243 b.252 c.261 d.279 答案:b 解析:構(gòu)成所有的三位數(shù)的個數(shù)為91101101=900,而無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為919181=648,故所求個數(shù)為 900-648=252,應(yīng)選 b. 11.(2

9、013 山東,理 11)拋物線 c1:y=12px2(p0)的焦點與雙曲線 c2:x23-y2=1 的右焦點的連線交 c1于第一象限的點 m.若 c1在點 m處的切線平行于 c2的一條漸近線,則 p=( ). a.316 b.38 c.233 d.433 答案:d 解析:設(shè) m(x0,12px02),y=(12px2)=xp,故在 m 點處的切線的斜率為x0p=33,故 m(33p,16p).由題意又可知拋物線的焦點為(0,p2),雙曲線右焦點為(2,0),且(33p,16p),(0,p2),(2,0)三點共線,可求得 p=433,故選 d. 12.(2013 山東,理 12)設(shè)正實數(shù) x,y

10、,z 滿足 x2-3xy+4y2-z=0,則當xyz取得最大值時,2x+1y2z的最大值為( ). a.0 b.1 c.94 d.3 答案:b 解析:由 x2-3xy+4y2-z=0得x2-3xy+4y2z=12x24y2-3xyz, 即xyz1,當且僅當 x2=4y2時成立,又 x,y為正實數(shù),故 x=2y.此時將 x=2y 代入 x2-3xy+4y2-z=0 得z=2y2,所以2x+1y2z=-1y2+2y=-(1y-1)2+1, 當1y=1,即 y=1 時,2x+1y2z取得最大值為 1,故選 b. 第卷(共 90分) 二、填空題:本大題共 4小題,每小題 4分,共 16 分. 5 /

11、15 13.(2013 山東,理 13)執(zhí)行右面的程序框圖,若輸入的 的值為 0.25,則輸出的 n的值為 . 答案:3 解析:第 1 次運行將 f0+f1賦值給 f1,即將 3 賦值給 f1,然后將 f1-f0賦值給 f0,即將 3-1=2賦值給 f0,n增加 1 變成 2,此時1f1=13比 大,故循環(huán),新 f1為 2+3=5,新 f0為 5-2=3,n 增加 1 變成 3,此時1f1=15,故退出循環(huán),輸出 n=3. 14.(2013 山東,理 14)在區(qū)間-3,3上隨機取一個數(shù) x,使得|x+1|-|x-2|1 成立的概率為 . 答案:13 解析:設(shè) y=|x+1|-|x-2|=3,2

12、x-1,-3,x 2,-1 x 2,x -1,利用函數(shù)圖象(圖略)可知|x+1|-|x-2|1 的解集為1,+).而在-3,3上滿足不等式的 x 的取值范圍為1,3,故所求概率為3-13-(-3)=13. 15.(2013 山東,理 15)已知向量ab 與ac 的夾角為 120 ,且|ab |=3,|ac |=2,若ap =ab + ac ,且ap bc ,則實數(shù) 的值為 . 答案:712 解析:ap =ab + ac ,ap bc ,又bc = ac ab ,(ac ab )(ac +ab )=0.ac 2+ab ac ab ac -ab 2=0,即 4+(-1) 3 2 (-12)-9=0

13、,即 7-12=0,=712. 16.(2013 山東,理 16)定義“正對數(shù)”:ln+x=0,0 x 0,b0,則 ln+(ab)=bln+a; 若 a0,b0,則 ln+(ab)=ln+a+ln+b; 若 a0,b0,則 ln+(ab)ln+a-ln+b; 6 / 15 若 a0,b0,則 ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln 2. 其中的真命題有 .(寫出所有真命題的編號) 答案: 三、解答題:本大題共 6小題,共 74 分. 17.(2013 山東,理 17)(本小題滿分 12 分)設(shè)abc的內(nèi)角 a,b,c所對的邊分別為 a,b,c,且a+c=6,b=2,cos b=79. (1

14、)求 a,c的值; (2)求 sin(a-b)的值. 解:(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos b, 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos b), 又 b=2,a+c=6,cos b=79, 所以 ac=9,解得 a=3,c=3. (2)在abc中,sin b=1-2b =429. 由正弦定理得 sin a=abb=223. 因為 a=c,所以 a為銳角. 所以 cos a=1-2a =13. 因此 sin(a-b)=sin acos b-cos asin b=10227. 18.(2013 山東,理 18)(本小題滿分 12 分)如圖所示,在三棱錐 p-abq中,pb平面a

15、bq,ba=bp=bq,d,c,e,f分別是 aq,bq,ap,bp 的中點,aq=2bd,pd與 eq交于點 g,pc與 fq交于點 h,連接 gh. (1)求證:abgh; (2)求二面角 d-gh-e的余弦值. (1)證明:因為 d,c,e,f 分別是 aq,bq,ap,bp 的中點, 7 / 15 所以 efab,dcab.所以 efdc. 又 ef平面 pcd,dc平面 pcd, 所以 ef平面 pcd. 又 ef平面 efq,平面 efq平面 pcd=gh, 所以 efgh. 又 efab,所以 abgh. (2)解法一:在abq 中,aq=2bd,ad=dq, 所以abq=90

16、,即 abbq. 因為 pb平面 abq, 所以 abpb. 又 bpbq=b, 所以 ab平面 pbq. 由(1)知 abgh,所以 gh平面 pbq. 又 fh平面 pbq,所以 ghfh. 同理可得 ghhc, 所以fhc為二面角 d-gh-e 的平面角. 設(shè) ba=bq=bp=2,連接 fc, 8 / 15 在 rtfbc中,由勾股定理得 fc=2, 在 rtpbc中,由勾股定理得 pc=5. 又 h 為pbq的重心, 所以 hc=13pc=53. 同理 fh=53. 在fhc中,由余弦定理得 cosfhc=59+59-2259=-45. 故二面角 d-gh-e的余弦值為-45. 解法

17、二:在abq 中,aq=2bd,ad=dq, 所以abq=90 . 又 pb平面 abq, 所以 ba,bq,bp 兩兩垂直. 以 b 為坐標原點,分別以 ba,bq,bp 所在直線為 x軸,y 軸,z 軸,建立如圖所示的空間直角坐標系. 設(shè) ba=bq=bp=2, 則 e(1,0,1),f(0,0,1),q(0,2,0),d(1,1,0),c(0,1,0),p(0,0,2). 所以eq =(-1,2,-1),fq =(0,2,-1), dp =(-1,-1,2),cp =(0,-1,2). 設(shè)平面 efq 的一個法向量為 m=(x1,y1,z1), 由 meq =0,mfq =0, 得-x1

18、+ 2y1-z1= 0,2y1-z1= 0, 取 y1=1,得 m=(0,1,2). 9 / 15 設(shè)平面 pdc的一個法向量為 n=(x2,y2,z2), 由 ndp =0,ncp =0, 得-x2-y2+ 2z2= 0,-y2+ 2z2= 0, 取 z2=1,得 n=(0,2,1). 所以 cos=mn|m|n|=45. 因為二面角 d-gh-e 為鈍角, 所以二面角 d-gh-e 的余弦值為-45. 19.(2013 山東,理 19)(本小題滿分 12分)甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝 3 局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是12外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都

19、是23.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立. (1)分別求甲隊以 30,31,32 勝利的概率; (2)若比賽結(jié)果為 30或 31,則勝利方得 3 分、對方得 0分;若比賽結(jié)果為 32,則勝利方得 2分、對方得 1 分,求乙隊得分 x的分布列及數(shù)學(xué)期望. 解:(1)記“甲隊以 30勝利”為事件 a1,“甲隊以 31勝利”為事件 a2,“甲隊以 32勝利”為事件 a3, 由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立, 故 p(a1)=(23)3=827, p(a2)=32(23)2(1-23) 23=827, p(a3)=42(23)2(1-23)212=427. 所以,甲隊以 30 勝利、以 31勝利的概率都為827,

20、以 32 勝利的概率為427. (2)設(shè)“乙隊以 32勝利”為事件 a4, 由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立, 所以 p(a4)=42(1-23)2(23)2 (1-12) =427. 由題意,隨機變量 x 的所有可能的取值為 0,1,2,3, 根據(jù)事件的互斥性得 10 / 15 p(x=0)=p(a1+a2)=p(a1)+p(a2)=1627, 又 p(x=1)=p(a3)=427, p(x=2)=p(a4)=427, p(x=3)=1-p(x=0)-p(x=1)-p(x=2)=327. 故 x 的分布列為 x 0 1 2 3 p 1627 427 427 327 所以 ex=01627+142

21、7+2427+3327=79. 20.(2013 山東,理 20)(本小題滿分 12 分)設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項和為 sn,且 s4=4s2,a2n=2an+1. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列bn的前 n項和為 tn,且 tn+an+12n=(為常數(shù)).令 cn=b2n(nn*).求數(shù)列cn的前 n 項和 rn. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為 a1,公差為 d, 由 s4=4s2,a2n=2an+1得 4a1+ 6d = 8a1+ 4d,a1+ (2n-1)d = 2a1+ 2(n-1)d + 1. 解得 a1=1,d=2. 因此 an=2n-1,nn*. (2)由題意知

22、,tn=-n2n-1, 所以 n2 時,bn=tn-tn-1=-n2n-1+n-12n-2=n-22n-1. 故 cn=b2n=2n-222n-1=(n-1)(14)n-1,nn*. 所以 rn=0 (14)0+1 (14)1+2 (14)2+3 (14)3+(n-1) (14)n-1, 則14rn=0 (14)1+1 (14)2+2 (14)3+(n-2) (14)n-1+(n-1) (14)n, 兩式相減得 34rn=(14)1+ (14)2+ (14)3+(14)n-1-(n-1) (14)n 11 / 15 =14-(14)n1-14-(n-1) (14)n =131+3n3(14)n

23、, 整理得 rn=19(4-3n+14n-1), 所以數(shù)列cn的前 n 項和 rn=19(4-3n+14n-1). 21.(2013 山東,理 21)(本小題滿分 13 分)設(shè)函數(shù) f(x)=x2x+c(e=2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù),cr). (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值; (2)討論關(guān)于 x 的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù). 解:(1)f(x)=(1-2x)e-2x, 由 f(x)=0,解得 x=12. 當 x0,f(x)單調(diào)遞增; 當 x12時,f(x)0,則 g(x)=ln x-xe-2x-c, 所以 g(x)=e-2x(2xx+ 2x-1). 因為 2x-10,2

24、xx0, 所以 g(x)0. 因此 g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增. 當 x(0,1)時,ln x1x0, 所以-2xx-1.又 2x-11, 所以-2xx+2x-10,即 g(x)0,即 c-e-2時,g(x)沒有零點, 故關(guān)于 x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為 0; 當 g(1)=-e-2-c=0,即 c=-e-2時,g(x)只有一個零點, 故關(guān)于 x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為 1; 當 g(1)=-e-2-c-e-2時, 當 x(1,+)時,由(1)知 g(x)=ln x-xe-2x-cln x-(12-1+ c)ln x-1-c, 要使 g(x)0,只需使 ln x

25、-1-c0,即 x(e1+c,+); 當 x(0,1)時,由(1)知 g(x)=-ln x-xe-2x-c-ln x-(12-1+ c)-ln x-1-c, 要使 g(x)0,只需-ln x-1-c0, 即 x(0,e-1-c); 所以 c-e-2時,g(x)有兩個零點, 故關(guān)于 x的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為 2. 綜上所述, 當 c-e-2時,關(guān)于 x 的方程|ln x|=f(x)根的個數(shù)為 2. 22.(2013 山東,理 22)(本小題滿分 13 分)橢圓 c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別是 f1,f2,離心率為32,過 f1且垂直于 x軸的直線被橢圓 c

26、 截得的線段長為 1. (1)求橢圓 c 的方程; 13 / 15 (2)點 p是橢圓 c上除長軸端點外的任一點,連接 pf1,pf2.設(shè)f1pf2的角平分線 pm 交 c的長軸于點m(m,0),求 m的取值范圍; (3)在(2)的條件下,過點 p作斜率為 k的直線 l,使得 l與橢圓 c有且只有一個公共點.設(shè)直線 pf1,pf2的斜率分別為 k1,k2.若 k0,試證明1kk1+1kk2為定值,并求出這個定值. (1)解:由于 c2=a2-b2,將 x=-c代入橢圓方程x2a2+y2b2=1, 得 y=b2a, 由題意知2b2a=1,即 a=2b2. 又 e=ca=32,所以 a=2,b=1. 所以橢圓 c的方程為x24+y2=1. (2)解法一:設(shè) p(x0,y0)(y00). 又 f1(-3,0),f2(3,0), 所以直線 pf1,pf2的方程分別為 lpf1:y0 x-(x0+3)y+3y0=0, lpf2:y0 x-(x0-3)y-3y0=0. 由題意知|my0+3y0|y02+(x0+3)2=|my0-3y0|y02+(x0-3)2. 由于點 p在橢圓上, 所以x024+ y02=1, 所以|m+3|(32x0+2)2=|m-3|(32x0-2)2. 因為-3m3,-2x02, 可得m+332x0+2=3-m2-3