上海高二年級(jí)數(shù)學(xué)矩陣和運(yùn)算

1、1 / 10 矩陣與其運(yùn)算矩陣的概念1、形如13、512128363836232128、2332441mn、2313242414mn這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣 。2、在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量12,na aa稱為 行向量 ；垂直方向排列的數(shù)組成的向量12nbbb稱為列向量 ；由m個(gè)行向量與n個(gè)列向量組成的矩陣稱為mn階矩陣 ，mn階矩陣可記做m na，如矩陣13為2 1階矩陣，可記做2 1a；矩陣512128363836232128為3 3階矩陣，可記做3 3a。有時(shí)矩陣也可用a、b等字母表示。3、矩陣中的每一個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素 ，在一個(gè)mn階矩陣m na中的第i（im）行第j（jn）列

2、數(shù)可用字母ija表示，如矩陣512128363836232128第 3 行第 2 個(gè)數(shù)為3221a。4、當(dāng)一個(gè)矩陣中所有元素均為0 時(shí)，我們稱這個(gè)矩陣為零矩陣 。如000000為一個(gè)23階零矩陣。5、當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時(shí)，這個(gè)矩陣稱為方矩陣 ，簡(jiǎn)稱 方陣 ，一個(gè)方陣有n行（列），可稱此方陣為n階方陣 ，如矩陣512128363836232128、2332441mn均為三階方陣。在一個(gè)n階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對(duì)角線，如果其對(duì)角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣 。如矩陣1001為 2階單位矩陣，矩陣100010001為 3 階單位矩陣。6、如果矩陣a與矩陣

3、b的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么a與b叫做 同階矩陣 ；如果矩陣a與矩陣b是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)位置的元素都相等時(shí)，那么矩陣a與矩陣b叫做 相等的矩陣 ，記為ab。2 / 10 7、對(duì)于方程組231324244xymzxyzxynz中未知數(shù)zyx,的系數(shù)按原來(lái)的次序排列所得的矩陣2332441mn，我們叫做方程組的 系數(shù)矩陣 ；而矩陣2313242414mn叫做方程組的增廣矩陣 。應(yīng)用舉例：例 1、已知矩陣222,22xxybaabxabyxy且ab，求a、b的值與矩陣a。例 2、寫出下列線性方程組的增廣矩陣：（ 1）23146xyxy；（2）23203250230 xyzxyzxyz例 3

4、、已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的方程組：（ 1）235124（ 2）210203213023例 4、已知矩陣sincos0sincos1為單位矩陣，且,2，求sin的值。3 / 10 矩陣的基本變換：（ 1）互換矩陣的兩行或兩列；（ 2）把某一行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù)；（ 3）某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。顯然，通過(guò)以上三個(gè)基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時(shí)增廣矩陣的最后一個(gè)列向量給出了方程組的解。應(yīng)用舉例：例 1、用矩陣變換的方法解三元一次方程組4357245238xyzxyzxyz的解。例 2、運(yùn)用矩陣變換方法解方程組：322axyxyb（a、b為常數(shù)）課堂練習(xí)：

5、用矩陣變換方法解下列問(wèn)題：（ 1）若方程組2(1)(1)4xykxky的解x與y相等，求k的值。4 / 10 （ 3）解方程組：320255781xyzxyzxyz矩陣運(yùn)算（對(duì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的矩陣，我們經(jīng)常將幾個(gè)矩陣聯(lián)系起來(lái)，討論它們是否相等，它們?cè)谑裁礂l件下可以進(jìn)行何種運(yùn)算，這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)等問(wèn)題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容.）1相等定義 如果兩個(gè)矩陣nmijaa，psijbb滿足：(1) 行、列數(shù)一樣，即pnsm,；(2) 對(duì)應(yīng)元素相等，即aij = bij (i= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，則稱矩陣a與矩陣b相等，記作a = b（由矩陣相等定義可知，用

6、等式表示兩個(gè)mn矩陣相等，等價(jià)于元素之間的mn個(gè)等式 .）例如，矩陣a =232221131211aaaaaa，b =412503那么a = b，當(dāng)且僅當(dāng)a11 = 3 ，a12 = 0 ，a13 = -5 ，a21 = -2 ，a22 = 1 ，a23 = 4 而c = 22211211cccc因?yàn)閎, c這兩個(gè)矩陣的列數(shù)不同，所以無(wú)論矩陣c中的元素c11, c12, c21, c22取什么數(shù)都不會(huì)與矩陣b相等 . 2加法定義 2.3 設(shè)nmijaa，psijbb是兩個(gè)mn矩陣，則稱矩陣5 / 10 c = mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221

7、211112121111為a與b的和，記作c = a + b = ijijba（由定義2.3 可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別一樣的兩個(gè)矩陣，才能作加法運(yùn)算.）同樣，我們可以定義矩陣的減法：d = a - b = a + (-b ) =ijijba稱d為a與b的差 . 例 1 設(shè)矩陣a =152403，b =130432，求a + b，a - b. 例 2、 矩陣coscos0tan1a，00tantantanb，201017c，若abc，(0,)2，(,)2，求sin2的值。矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么？設(shè)a, b, c, o都是mn矩陣，不難驗(yàn)證矩陣的加法滿足以下運(yùn)算規(guī)則1. 加法交換律：a +

8、b = b + a；2. 加法結(jié)合律：(a + b ) + c = a + (b + c ) ；3. 零矩陣滿足：a + o = a；4. 存在矩陣 -a，滿足：a -a = a + (-a ) = o. 3數(shù)乘定 義2.4 設(shè) 矩 陣nmijaa，為 任 意 實(shí) 數(shù) ， 則 稱 矩 陣nmijcc為 數(shù)與 矩 陣a的 數(shù) 乘 ， 其 中6 / 10 ),2, 1;,2, 1(njmiacijij，記為c =a（由定義2.4 可知， 數(shù)乘一個(gè)矩陣a，需要用數(shù)去乘矩陣a的每一個(gè)元素.特別地， 當(dāng)= -1 時(shí)，a = -a，得到a的負(fù)矩陣 .）例 3 設(shè)矩陣a =062504713，用 2 去乘矩

9、陣a，求 2a. 數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么？對(duì)數(shù)k , l和矩陣a = nmija，b =nmijb滿足以下運(yùn)算規(guī)則：1. 數(shù)對(duì)矩陣的分配律：k (a + b ) = ka + kb；2. 矩陣對(duì)數(shù)的分配律：( k + l ) a = ka + la；3. 數(shù)與矩陣的結(jié)合律：( kl ) a = k (la ) = l (ka ) ；4. 數(shù) 1 與矩陣滿足：1a = a. 例 4 設(shè)矩陣a =610523，b =712834，求 3a - 2b. 4乘法矩陣乘積的定義設(shè)a=ija是一個(gè)ms矩陣，b=ijb是一個(gè)sn矩陣，則稱mn矩陣c=ijc為矩陣a與b的乘積，記作c = ab.其中ci

10、j = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j =a bikkjks1(i= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由矩陣乘積的定義可知：）(1) 只有當(dāng)左矩陣a的列數(shù)等于右矩陣b的行數(shù)時(shí)，a, b才能作乘法運(yùn)算ab；(2) 兩個(gè)矩陣的乘積ab亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣a的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣b的列數(shù)；(3) 乘積矩陣ab中的第i行第j列的元素等于a的第i行元素與b的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，故簡(jiǎn)稱行乘列的法則. 例 6 設(shè)矩陣a = 530412，b = 10789，計(jì)算ab. 7 / 10 例 7 設(shè)矩陣a = 2142，b =1122， 求

11、ab和ba. 由例 6、例 7 可知，當(dāng)乘積矩陣ab有意義時(shí)，ba不一定有意義；即使乘積矩陣ab和ba有意義時(shí)，ab和ba也不一定相等 .因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進(jìn)行矩陣乘法時(shí)，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變 . 在例 6 中矩陣a和b都是非零矩陣 （ao, bo）,但是矩陣a和b的乘積矩陣ab是一個(gè)零矩陣 （ab = o） ，即兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.因此，當(dāng)ab = o，不能得出a和b中至少有一個(gè)是零矩陣的結(jié)論. 一般地，當(dāng)乘積矩陣ab = ac，且ao時(shí)，不能消去矩陣a，而得到b = c.這說(shuō)明矩陣乘法也不滿足消去律. 那么矩陣乘法滿足哪些運(yùn)算規(guī)則呢？矩陣乘法滿足下

12、列運(yùn)算規(guī)則：1. 乘法結(jié)合律： （ab）c = a（bc） ；2. 左乘分配律：a（b + c） = ab + ac；右乘分配律： （b + c）a = ba + ca；3. 數(shù)乘結(jié)合律：k（ab）= （k a）b = a（k b） ，其中k是一個(gè)常數(shù) . 例 8：已知0110a，矩陣12b，求ab。練習(xí)：計(jì)算下列矩陣的乘法（ 1）1212()nnbbaaab； （2）1212()nnaabbba。8 / 10 例 9、已知矩陣)(xfa，xxb1，a2xc，若 a=bc ，求函數(shù))x(f在1,2 上的最小值 . 例 10 ：將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式（ 1）21437xyxy； （2

13、）2314231241xyzxyzxyz。例 11 ：若abba，矩陣b就稱為與a可變換，設(shè)1101a，求所有與a可交換的矩陣b。課堂練習(xí)與課后作業(yè)一、選擇題1、 “兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個(gè)矩陣相等”的（）a、充分不必要條件b、必要不充分條件是c、充要條件d、既不充分又不必要條件2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組1y2x2y3x2其中正確的是（）a、122132yxb、122312yx9 / 10 c、122132yxd、121223yx3、若211403201453ab，且23axb，則矩陣 x_. 4、點(diǎn) a（ 1，2）在矩陣1022對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是_ 5、已

14、知ba2000是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)所組成的矩陣，那么a+b=. 6、若點(diǎn) a)22,22(在矩陣cossinsincos對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為（1，0） ，那么=. 7、若點(diǎn) a 在矩陣1222對(duì)應(yīng)的變換作用下下得到的點(diǎn)為（2，4） ，那么點(diǎn)a 的坐標(biāo)為 . 8、已知1sincossincos1a，1221b若 a=b ，那么+ =. 9、設(shè) a 為二階矩陣，其元素滿足，0aajiiji=1 ，2，j=1 ， 2，且2aa2112，那么矩陣a=. 10 ：46xay，13ubv，且ab，那么 a+ab= 。11 、一個(gè)線性方程組滿足，系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為1 行 3 列的矩陣(1,2, 1)，那么該線性方程組為。12 、計(jì)算 :若矩陣13cos60sin6022sin60cos603122ab，則ab_. 13 、計(jì)算：342112546110221=. 14. 線性方程組603540 xyxy對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣是_，增廣矩陣是 _.