北師大版高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)：5.2.2《用函數(shù)模型解決實(shí)際問題》學(xué)案

1、- 1 - / 6 用函數(shù)模型解決實(shí)際問題用函數(shù)模型解決實(shí)際問題 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1通過(guò)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。 2通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。 【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】 1會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題。(重點(diǎn)) 2能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題。(重、難點(diǎn)) 【學(xué)習(xí)過(guò)程】【學(xué)習(xí)過(guò)程】 一、初試身手 1下表顯示出函數(shù)值 y 隨自變量 x 變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型為( ) x 2 1 0 1 2 3 y 116 14 1 4 16 64 a一次函數(shù)模型 b二次函數(shù)模型 c對(duì)數(shù)函數(shù)模型 d指數(shù)函數(shù)模型 2一輛汽車在

2、某段路上的行駛路程 s 關(guān)于時(shí)間 t 變化的圖像如圖所示，那么圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型為( ) a分段函數(shù) b二次函數(shù) c指數(shù)函數(shù) d對(duì)數(shù)函數(shù) 3“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái)，睡了一覺，當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)。用 s1，s2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t 為時(shí)間，則與故事情節(jié)相吻合的是( ) - 2 - / 6 4用一根長(zhǎng)為 12 m 的鐵絲彎成一個(gè)矩形的鐵框架，則鐵框架的最大面積是_m2 【答案】 1d 2a 由圖像知，在不同時(shí)段內(nèi)，路程折線圖不同，故對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型為分段函數(shù)。 3b 烏龜距離起點(diǎn)的

3、距離始終在增加，符合一次函數(shù)的增長(zhǎng)模型，兔子距離起點(diǎn)的距離先增加，再停止增加一段時(shí)間后又更快的增加，總之烏龜與兔子行進(jìn)的路程是一樣的，烏龜用的時(shí)間少，兔子用的時(shí)間長(zhǎng)，綜合以上分析，故選 b 49 設(shè)鐵框架的一邊長(zhǎng)為 x m，則其面積 s122x x2x26x(x3)29 由 x0122x0，得 0 x6 所以，當(dāng) x3時(shí)，s 取最大值 9 二、合作探究 表格信息類建模問題 【例 1】 某國(guó) 2015 年至 2018年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬(wàn)億元)如下表所示： 年份 2015 2016 2017 2018 x(年) 0 1 2 3 生產(chǎn)總值(萬(wàn)億元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3

4、 10.239 8 (1)畫出函數(shù)圖形，猜想它們之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式； (2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實(shí)際生產(chǎn)總值比較； (3)利用關(guān)系式預(yù)測(cè) 2019 年該國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值。 解 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖形，如圖所示。從函數(shù)的圖形可以看出，畫出的點(diǎn)近似地落在一條直線上，設(shè)所求的函數(shù)為 ykxb - 3 - / 6 把直線通過(guò)的兩點(diǎn)(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解方程組，可得 k0.677 7，b8.206 7. 所以它的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式為 y0.677 7x8.206 7. (2)由(1)中得到的關(guān)系式為 f(x)0.677 7x8

5、.206 7，計(jì)算出 2016年和 2017 年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值分別為 f(1)0.677 7 18.206 78.884 4， f(2)0.677 7 28.206 79.562 1. 與實(shí)際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過(guò) 0.1 萬(wàn)億元。 (3)2019年，即 x4，由上述關(guān)系式，得 yf(4)0.677 7 48.206 710.917 5， 即預(yù)測(cè) 2019 年該國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為 10.917 5 萬(wàn)億元。 圖像信息解讀問題 【例 2】 如圖 1 是某公共汽車線路收支差額 y元與乘客量 x的圖像。 圖 1 圖 2 圖 3 (1)試說(shuō)明圖 1上點(diǎn) a、點(diǎn) b以及射線 ab上的點(diǎn)的實(shí)際意義；

6、 (2)由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為盈的建議，如圖 2、3 所示。你能根據(jù)圖像，說(shuō)明這兩種建議的意義嗎？ (3)此問題中直線斜率的實(shí)際意義是什么？ (4)圖 1、圖 2、圖 3中的票價(jià)分別是多少元？ 解 (1)點(diǎn) a 表示無(wú)人乘車時(shí)收支差額為20 元，點(diǎn) b 表示有 10 人乘車時(shí)收支差額為 0元，線段 ab上的點(diǎn)表示虧損，ab延長(zhǎng)線上的點(diǎn)表示盈利。 (2)圖 2的建議是降低成本，票價(jià)不變，圖 3 的建議是提高票價(jià)。 (3)斜率表示票價(jià)。 - 4 - / 6 (4)圖 1、2中的票價(jià)是 2元，圖 3中的票價(jià)是 4元。 【學(xué)習(xí)小結(jié)】【學(xué)習(xí)小結(jié)】 常用的函數(shù)模型： 【精煉反饋

7、】【精煉反饋】 1思考辨析 (1)在建立實(shí)際問題的函數(shù)模型時(shí)，除了要考慮變量的數(shù)學(xué)意義，還要考慮變量的實(shí)際意義。( ) (2)由函數(shù)模型得到的解就是實(shí)際問題的解。( ) 2某同學(xué)家門前有一筆直公路直通長(zhǎng)城，星期天，他騎自行車勻速前往，他先前進(jìn)了 a km，覺得有點(diǎn)累，就休息了一段時(shí)間，想想路途遙遠(yuǎn)，有些泄氣，就沿原路返回騎了 b km(ba)，當(dāng)他想起詩(shī)句“不到長(zhǎng)城非好漢”時(shí)，便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)，則該同學(xué)離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像大致為( ) - 5 - / 6 a b c d 3國(guó)內(nèi)快遞 1 000 g 以內(nèi)的包裹的郵資標(biāo)準(zhǔn)如下表： 運(yùn)送距離 x(km) 0 x500 500 x1 0

8、00 1 000 x1 500 郵資 y(元) 5.00 6.00 7.00 如果某人在西安要快遞 800 g 的包裹到距西安 1 200 km 的某地，那么他應(yīng)付的郵資是( ) a5.00元 b6.00元 c7.00 元 d8.00元 4要在墻上開一個(gè)上部為半圓，下部為矩形的窗戶，如圖所示，窗框?yàn)槎ㄩL(zhǎng) l 的條件下，要使窗戶透光面積 s 最大，窗戶應(yīng)具有怎樣的尺寸？ 【答案】 1(1) (2) 2c 由題意可知，s 是關(guān)于時(shí)間 t 的一次函數(shù)，所以其圖像特征是直線上升。由于中間休息了一段時(shí)間，該段時(shí)間的圖像應(yīng)是平行于橫軸的一條線段。然后原路返回，圖像下降，再調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn)，則直線一致上升。故選 c 3c 由題意可知，當(dāng) x1200 時(shí)，y7.00元，故選 c 4解 由題意得窗框總長(zhǎng) l2xx2y， y2l