高中數(shù)學(xué)必修二第七章 7.2.1

1、1 / 12 7.2 復(fù)數(shù)的四則復(fù)數(shù)的四則運算運算 7.2.1 復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題. 知識點一 復(fù)數(shù)加法與減法的運算法則 1.設(shè) z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)是任意兩個復(fù)數(shù)，則 (1)z1z2(ac)(bd)i； (2)z1z2(ac)(bd)i. 2.對任意 z1，z2，z3c，有 (1)z1z2z2z1； (2)(z1z2)z3z1(z2z3). 知識點二 復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 如圖，設(shè)復(fù)數(shù) z1，z2對應(yīng)向量分別為oz1，o

2、z2，四邊形 oz1zz2為平行四邊形，向量oz與復(fù)數(shù) z1z2對應(yīng)，向量z2z1與復(fù)數(shù) z1z2對應(yīng). 思考 類比絕對值|xx0|的幾何意義，|zz0|(z，z0c)的幾何意義是什么？ 答案 |zz0|(z，z0c)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點 z到點 z0的距離. 2 / 12 1.兩個虛數(shù)的和或差可能是實數(shù).( ) 2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加法時，實部與實部相加得實部，虛部與虛部相加得虛部.( ) 3.復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減后結(jié)果只能是實數(shù).( ) 4.復(fù)數(shù)的加法不可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加的情形.( ) 一、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算 例 1 (1)計算：(56i)(2i)(34i)； (2)設(shè) z1x2i，z

3、23yi(x，yr)，且 z1z256i，求 z1z2. 解 (1)原式(523)(614)i11i. (2)因為 z1x2i，z23yi，z1z256i， 所以(3x)(2y)i56i， 所以 3x5，2y6，所以 x2，y8， 所以 z1z2(22i)(38i)(23)2(8)i110i. 反思感悟 解決復(fù)數(shù)加減運算的思路 兩個復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個復(fù)數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減).復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算.當(dāng)多個復(fù)數(shù)相加(減)時，可將這些復(fù)數(shù)的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減). 跟蹤訓(xùn)練 1 復(fù)數(shù)(12i)(34i)(53i)對應(yīng)的點在( ) a.第一象限 b.第二象限 c

4、.第三象限 d.第四象限 答案 a 解析 復(fù)數(shù)(12i)(34i)(53i)(135)(243)i9i，其對應(yīng)的點為3 / 12 (9,1)，在第一象限. 二、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 例 2 如圖所示，平行四邊形 oabc的頂點 o，a，c分別表示 0,32i，24i.求： (1)ao表示的復(fù)數(shù)； (2)對角線ca表示的復(fù)數(shù)； (3)對角線ob表示的復(fù)數(shù). 解 (1)因為aooa， 所以ao表示的復(fù)數(shù)為32i. (2)因為caoaoc， 所以對角線ca表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i. (3)因為oboaoc， 所以對角線ob表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i. 反思感悟 復(fù)數(shù)與向量的

5、對應(yīng)關(guān)系的兩個關(guān)注點 (1)復(fù)數(shù) zabi(a，br)是與以原點為起點，z(a，b)為終點的向量一一對應(yīng)的. (2)一個向量可以平移，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)不變，但是其起點與終點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)可能改變. 跟蹤訓(xùn)練 2 已知平行四邊形 abcd 中，ab與ac對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是 32i 與 14i，兩對角線 ac 與 bd相交于點 o.求： (1)ad對應(yīng)的復(fù)數(shù)； 4 / 12 (2)db對應(yīng)的復(fù)數(shù). 解 (1)因為 abcd是平行四邊形， 所以acabad，于是adacab， 而(14i)(32i)22i， 即ad對應(yīng)的復(fù)數(shù)是22i. (2)因為dbabad， 而(32i)(22i)5，即db對應(yīng)的復(fù)數(shù)是

6、5. 三、復(fù)數(shù)模的綜合問題 例 3 如果復(fù)數(shù) z 滿足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是( ) a.1 b.12 c.2 d. 5 答案 a 解析 設(shè)復(fù)數(shù) z，i，i，1i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為 z，z1，z2，z3， 因為|zi|zi|2， |z1z2|2，所以點 z 的集合為線段 z1z2. 所以 z 點在線段 z1z2上移動，|z1z3|min1， 所以|zi1|min1. 反思感悟 |z1z2|表示復(fù)平面內(nèi) z1，z2對應(yīng)的兩點間的距離.利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解. 跟蹤訓(xùn)練 3 abc 的三

7、個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 z1，z2，z3，復(fù)數(shù) z 滿足|zz1|zz2|zz3|，則 z對應(yīng)的點是abc 的( ) a.外心 b.內(nèi)心 5 / 12 c.重心 d.垂心 答案 a 解析 由復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)減法運算的幾何意義，結(jié)合條件可知復(fù)數(shù) z 的對應(yīng)點 p 到abc 的頂點 a，b，c的距離相等，p 為abc的外心. 1.復(fù)數(shù)(1i)(2i)3i等于( ) a.1i b.1i c.i d.i 答案 a 解析 原式1i2i3i1i. 2.已知 z12i，z212i，則復(fù)數(shù) zz2z1對應(yīng)的點位于( ) a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案 c 解析 zz2z1(12i)

8、(2i)13i. 故 z 對應(yīng)的點為(1，3)，位于第三象限. 3.若復(fù)數(shù) z滿足 z(34i)1，則 z的虛部是( ) a.2 b.4 c.3 d.4 答案 b 解析 z(34i)1， z24i，故 z 的虛部是 4. 4.已知復(fù)數(shù) z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(ar)，且 z1z2為純虛數(shù)，則 a_. 6 / 12 答案 1 解析 z1z2(a2a2)(a4a22)i(ar)為純虛數(shù)， a2a20，a2a60，解得 a1. 5.設(shè)平行四邊形 abcd 在復(fù)平面內(nèi)，a 為原點，b，d 兩點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是 32i 和 24i，則點 c 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_. 答案 52i 解析 設(shè)

9、 ac與 bd 的交點為 e，則 e 點坐標(biāo)為52，1 ，設(shè)點 c 坐標(biāo)為(x，y)，則 x5，y2，故點 c對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 52i. 1.知識清單： (1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算法則. (2)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義. (3)復(fù)平面上兩點間的距離公式. 2.方法歸納：類比、數(shù)形結(jié)合. 3.常見誤區(qū)：忽視模的幾何意義. 1.已知 z56i34i，則復(fù)數(shù) z 為( ) a.420i b.210i c.820i d.220i 答案 b 7 / 12 解析 z34i(56i)(35)(46)i210i. 2.復(fù)數(shù)(3mi)(2i)對應(yīng)的點在第四象限內(nèi)，則實數(shù) m 的取值范圍是( ) a.m23 b.m1

10、c.23m1 答案 b 解析 (3mi)(2i)3mi2i1(m1)i， m10，m1. 3.若 z12i，z23ai(ar)，且 z1z2所對應(yīng)的點在實軸上，則 a的值為( ) a.3 b.2 c.1 d.1 答案 d 解析 z1z22i3ai(23)(1a)i 5(1a)i. z1z2所對應(yīng)的點在實軸上， 1a0，a1. 4.如果一個復(fù)數(shù)與它的模的和為 5 3i，那么這個復(fù)數(shù)是( ) a.115 b. 3i c.115 3i d.1152 3i 答案 c 解析 設(shè)這個復(fù)數(shù)為 abi(a，br)， 則|abi| a2b2. 8 / 12 由題意知 abi a2b25 3i， 即 a a2b2

11、bi5 3i， a a2b25，b 3，解得 a115，b 3. 所求復(fù)數(shù)為115 3i. 5.在平行四邊形 abcd 中，若 a，c 對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1i 和43i，則該平行四邊形的對角線 ac 的長度為( ) a. 5 b.5 c.2 5 d.10 答案 b 解析 依題意，ac對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(43i)(1i)34i， 因此 ac 的長度為|34i|5. 6.已知復(fù)數(shù) z 滿足 z(12i)5i，則 z_. 答案 43i 解析 z(5i)(12i)43i. 7.已知|z|4，且 z2i 是實數(shù)，則復(fù)數(shù) z_. 答案 2 32i 解析 因為 z2i是實數(shù)，可設(shè) za2i(ar)， 由|z|4 得

12、 a2416， 所以 a212，所以 a 2 3， 所以 z 2 32i. 8.設(shè)復(fù)數(shù) z滿足 z|z|2i，則 z_. 答案 34i 9 / 12 解析 設(shè) zxyi(x，yr)，則|z| x2y2. xyi x2y22i. x x2y22，y1，解得 x34，y1. z34i. 9.計算：(1)212i 122i ； (2)(32i)( 32)i； (3)(12i)(ii2)|34i|； (4)(63i)(32i)(34i)(2i). 解 (1)原式212122 i5252i； (2)(32i)( 32)i3(2 32)i3 3i； (3)(12i)(ii2)|34i|12ii1553i；

13、 (4)(63i)(32i)(34i)(2i)633(2)32(4)1i82i. 10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3i 與 5i 對應(yīng)的向量分別是oa與ob，其中 o 是原點，求向量oaob與ba對應(yīng)的復(fù)數(shù)及 a，b兩點之間的距離. 解 因為復(fù)數(shù)3i 與 5i 對應(yīng)的向量分別是oa與ob，其中 o 是原點，所以oa(3，1)，ob(5,1)， 所以oaob(3，1)(5,1)(2,0)， 所以向量oaob對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 2， 又baoaob(3，1)(5,1)(8，2)， 所以ba對應(yīng)的復(fù)數(shù)是82i， 10 / 12 a，b 兩點之間的距離|ba|82i| (8)2(2)22 17. 11.在復(fù)平面內(nèi)點

14、a，b，c 所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 13i，i，2i，若adbc，則點 d 表示的復(fù)數(shù)是( ) a.13i b.3i c.35i d.53i 答案 c 解析 點 a，b，c 對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 13i，i,2i， bc對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 22i.設(shè) d(x，y)， adbc，(x1，y3)(2,2)， x12，y32， 解得 x3，y5. 點 d表示的復(fù)數(shù)為 35i. 12.復(fù)數(shù) z11icos ，z2sin i，則|z1z2|的最大值為( ) a.32 2 b. 21 c.32 2 d. 21 答案 d 解析 |z1z2|(1sin )(cos 1)i| (1sin )2(1cos )2 32(cos

15、sin ) 32 2cos4. 11 / 12 cos4max1， |z1z2|max32 2 21. 13.a，b 分別是復(fù)數(shù) z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的兩點，o 為原點，若|z1z2|z1z2|，則aob 為_. 答案 直角三角形 解析 由復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義可知， 當(dāng)|z1z2|z1z2|時，aob90 . 14.在復(fù)平面內(nèi)，o 是原點，oa，oc，ab對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2i，32i,15i，那么bc對應(yīng)的復(fù)數(shù)為_. 答案 44i 解析 因為oa，oc，ab對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2i,32i,15i，bcocoboc(oaab)32i(2i)(15i)44i. 15.若復(fù)數(shù) z 滿足 z1cos isin ，則|z|的最小值為_，|z|的最大值為_. 答案 0 2 解析 |z1|1， 復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點的軌跡為以(1,0)為圓心，1 為半徑的圓， |z|的最小值為 0，最大值為 2. 16.已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形 abcd，a 點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2i，向量ba對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 12i，向量bc對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 3i. (1)求點 c，d對應(yīng)的復(fù)數(shù)； (2)求平行四邊形 abcd 的面積. 12 / 12 解 (1)向量ba對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 12i，向量bc對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 3i，acbcba， 向量ac對應(yīng)的復(fù)