高中數(shù)學(xué)必修二第八章 8.2

1、1 / 15 8.2 立體圖形的直觀圖立體圖形的直觀圖 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖.2.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)、球以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖. 知識(shí)點(diǎn)一 水平放置的平面圖形的直觀圖的畫(huà)法 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟 知識(shí)點(diǎn)二 空間幾何體直觀圖的畫(huà)法 立體圖形直觀圖的畫(huà)法步驟 (1)畫(huà)軸：與平面圖形的直觀圖畫(huà)法相比多了一個(gè) z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是 z軸. (2)畫(huà)底面：平面 xoy表示水平平面，平面 yoz和 xoz表示豎直平面，按照平面圖形的畫(huà)法，畫(huà)底面的直觀圖. (3)畫(huà)側(cè)棱：已知圖形中平行于 z軸(或在 z軸上)的線段，在其直觀

2、圖中平行性和長(zhǎng)度都不變. (4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線. 1.在斜二測(cè)畫(huà)法中，各條線段的長(zhǎng)度都發(fā)生了改變.( ) 2.在幾何體的直觀圖中，原來(lái)平行的直線仍然平行.( ) 2 / 15 3.在斜二測(cè)畫(huà)法中平行于 y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變.( ) 一、平面圖形的直觀圖的畫(huà)法 例 1 畫(huà)出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖. 解 畫(huà)法：(1)如圖所示，取 ab 所在直線為 x 軸，ab 中點(diǎn) o 為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系 xoy，使xoy45 . (2)以 o為中點(diǎn)在 x軸上取 abab，在 y軸上取 oe12oe，以 e為中點(diǎn)畫(huà)cdx軸，并使 cdcd. (

3、3)連接 bc，da，所得的四邊形 abcd就是水平放置的等腰梯形 abcd的直觀圖. 反思感悟 在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過(guò)作平行于坐標(biāo)軸的線段來(lái)作出其對(duì)應(yīng)線段.關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可. 跟蹤訓(xùn)練 1 已知正五邊形 abcde，如圖，試畫(huà)出其直觀圖. 解 畫(huà)法： (1)在圖中作 agx 軸于點(diǎn) g，作 dhx軸于點(diǎn) h. 3 / 15 (2)在圖中畫(huà)相應(yīng)的 x軸與 y軸，兩軸相交于點(diǎn) o，使xoy

4、45 . (3)在圖中的 x軸上取 obob，ogog，ococ，ohoh，y軸上取 oe12oe，分別過(guò) g和 h作 y軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取ga12ga，hd12hd. (4)連接 ab，ae，ed，dc，并擦去輔助線 ga，hd，x軸與y軸，便得到水平放置的正五邊形 abcde 的直觀圖 abcde(如圖). 4 / 15 二、空間幾何體的直觀圖 例 2 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別為 4 cm、3 cm、2 cm 的長(zhǎng)方體 abcdabcd的直觀圖. 解 (1)畫(huà)軸.如圖，畫(huà) x 軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn) o，使xoy45 ，xoz90 . (2)畫(huà)底面.以點(diǎn) o 為中點(diǎn)

5、，在 x 軸上取線段 mn，使 mn4 cm；在 y 軸上取線段 pq，使pq32 cm.分別過(guò)點(diǎn) m 和 n作 y 軸的平行線，過(guò)點(diǎn) p和 q 作 x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為 a，b，c，d，四邊形 abcd就是長(zhǎng)方體的底面 abcd. (3)畫(huà)側(cè)棱.過(guò) a，b，c，d各點(diǎn)分別作 z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取 2 cm長(zhǎng)的線段 aa，bb，cc，dd. (4)成圖.順次連接 a，b，c，d(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖. 反思感悟 空間幾何體的直觀圖的畫(huà)法 (1)對(duì)于一些常見(jiàn)幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便可以較快較

6、準(zhǔn)確地畫(huà)出. (2)畫(huà)空間幾何體的直觀圖時(shí)，比畫(huà)平面圖形的直觀圖增加了一個(gè) z軸，表示豎直方向. (3)z軸方向上的線段，方向與長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致. 跟蹤訓(xùn)練 2 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出六棱錐 pabcdef 的直觀圖，其中底面 abcdef 為正六邊形，點(diǎn) p 在底面上的投影是正六邊形的中心 o.(尺寸自定) 解 畫(huà)法： (1)畫(huà)出六棱錐 pabcdef 的底面.在正六邊形 abcdef 中，取 ad 所在的直線為 x 軸，對(duì)稱軸 mn 所在的直線為 y 軸，兩軸相交于點(diǎn) o，如圖(1)；畫(huà)出相應(yīng)的 x軸、y軸、z軸，三軸相交于 o，使xoy45 ，xoz90 ，如圖(2)；在圖(2)中，以 o

7、為中點(diǎn)，在 x軸上取 adad，在 y軸上取 mn12mn，以點(diǎn) n為中5 / 15 點(diǎn)，畫(huà)出 bc平行于 x軸，并且長(zhǎng)度等于 bc，再以 m為中點(diǎn)，畫(huà)出 ef平行于x軸，并且長(zhǎng)度等于 ef；連接 ab，cd，de，fa得到正六邊形abcdef水平放置的直觀圖 abcdef. (2)畫(huà)出正六棱錐 pabcdef 的頂點(diǎn)，在 z軸正半軸上截取點(diǎn) p，點(diǎn) p異于點(diǎn) o. (3)成圖.連接 pa，pb，pc，pd，pe，pf，并擦去 x軸、y軸和 z軸，便可得到六棱錐 pabcdef 的直觀圖 pabcdef，如圖(3). 三、直觀圖的還原與計(jì)算 例 3 如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖

8、是等腰直角三角形 abo，若ob1，那么原三角形 abo 的面積是( ) a.12 b.22 c. 2 d.2 2 答案 c 解析 直觀圖中等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為 1，因此面積為12，又直觀圖與原平面圖形面積比為 24，所以原圖形的面積為 2，故選 c. 反思感悟 平面多邊形與其直觀圖面積間關(guān)系：一個(gè)平面多邊形的面積為 s原，斜二測(cè)畫(huà)法得到直觀圖的面積為 s直，則有 s直24s原. 跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，矩形 oabc是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中oa6 cm，oc2 cm，cd2 cm，則原圖形是( ) 6 / 15 a.正方形 b.矩形 c.菱形 d.一般的平行四邊形 答案 c 解

9、析 如圖，在原圖形 oabc 中， 應(yīng)有 od2od22 2 4 2(cm)， cdcd2 cm， 所以 oc od2cd2 (4 2)2226(cm)， 所以 oaocbcab， 故四邊形 oabc是菱形. 1.關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法所得直觀圖，以下說(shuō)法正確的是( ) a.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形 b.正方形的直觀圖為平行四邊形 c.梯形的直觀圖不是梯形 d.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形 7 / 15 答案 b 解析 由于直角在直觀圖中有的成為 45 ，有的成為 135 ；當(dāng)線段與 x 軸平行時(shí)，在直觀圖中長(zhǎng)度不變且仍與 x 軸平行，因此答案為 b. 2.在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的abc

10、 時(shí)，若a 的兩邊分別平行于 x 軸、y 軸，則在直觀圖中a等于( ) a.45 b.135 c.90 d.45 或 135 答案 d 解析 因?yàn)閍 的兩邊分別平行于 x 軸、y 軸，所以a90 ，在直觀圖中，按斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知xoy45 或 135 ，即a45 或 135 . 3.下面每個(gè)選項(xiàng)的 2 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正abc的直觀圖不是全等三角形的一組是( ) 答案 c 解析 可分別畫(huà)出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論. 4.利用斜二測(cè)畫(huà)法得到： 三角形的直觀圖是三角形； 平行四邊形的直觀圖是平行四邊形； 正方形的直觀圖是正方形； 菱形的直觀圖是菱形. 以上結(jié)論中，正確的是_.(填序號(hào)) 8

11、/ 15 答案 解析 斜二測(cè)畫(huà)法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關(guān)系不會(huì)改變，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形. 5.水平放置的abc 的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知 ac3，bc2，則 ab 邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi). 答案 2.5 解析 由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且 acac3，bc2bc4，計(jì)算得 ab5，所求中線長(zhǎng)為 2.5. 1.知識(shí)清單： (1)水平放置的平面圖形的直觀圖的畫(huà)法. (2)空間幾何體直觀圖的畫(huà)法. (3)直觀圖的還原與計(jì)算. 2.方法歸納：轉(zhuǎn)化思想. 3.常見(jiàn)誤區(qū)：同一圖形選取坐標(biāo)系的角度不同，得到的直觀圖可能不同. 1.(多

12、選)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)其中的線段說(shuō)法正確的是( ) a.原來(lái)相交的仍相交 b.原來(lái)垂直的仍垂直 c.原來(lái)平行的仍平行 d.原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn) 9 / 15 答案 acd 2.如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是( ) 答案 c 解析 根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可知，此直觀圖的平面圖形可能是 c. 3.已知等邊三角形 abc 的邊長(zhǎng)為 a，那么等邊三角形 abc 的直觀圖abc的面積為( ) a.34a2 b.38a2 c.68a2 d.616a2 答案 d 解析 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 xoy. 如圖所示，建立坐標(biāo)系 xoy，使xoy45 ，由直觀圖畫(huà)法，知 a

13、baba，oc12oc34a. 過(guò)點(diǎn) c作 cdox于點(diǎn) d，則 cd22oc68a. 所以abc的面積是 s12 ab cd12 a68a616a2. 4.下列關(guān)于用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的說(shuō)法中，正確的是( ) 10 / 15 a.水平放置的正方形的直觀圖不可能是平行四邊形 b.平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形 c.兩條相交直線的直觀圖可能是平行直線 d.兩條垂直的直線的直觀圖仍互相垂直 答案 b 5.水平放置的abc 的直觀圖如圖所示，其中 boco1，ao32，那么原abc 是一個(gè)( ) a.等邊三角形 b.直角三角形 c.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 d.三邊互不相等的三角形 答案 a

14、 解析 由abc 的直觀圖，知在原abc 中，aobc. ao32，ao 3. boco1，bc2，abac2， abc為等邊三角形. 6.在斜二測(cè)畫(huà)法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn) m(4,4)在直觀圖中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 m，則點(diǎn)m的坐標(biāo)為_(kāi). 答案 (4,2) 解析 由直觀圖畫(huà)法“橫不變，縱折半”可得點(diǎn) m的坐標(biāo)為(4,2). 7.如圖，是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的aob的直觀圖，則aob的面積是_. 11 / 15 答案 16 解析 由圖可知 ob4，則對(duì)應(yīng)aob中，ob4. 又和 y軸平行的線段的長(zhǎng)度為 4，則對(duì)應(yīng)aob邊 ob 上的高為 8. 所以aob 的面積為124816. 8.如圖，平行四邊形

15、 opqr是四邊形 opqr 的直觀圖，若 op3，or1，則原四邊形 opqr的周長(zhǎng)為_(kāi). 答案 10 解析 由四邊形 opqr 的直觀圖可知原四邊形是矩形，且 op3，or2，所以原四邊形opqr的周長(zhǎng)為 2(32)10. 9.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為 4 cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖. 解 (1)如圖所示，以 bc邊所在的直線為 x軸，以 bc邊上的高線 ao所在的直線為 y 軸. (2)畫(huà)對(duì)應(yīng)的 x軸、y軸，使xoy45 . 在 x軸上截取 oboc2 cm，在 y軸上截取 oa12oa. 12 / 15 連接 ab，ac，則abc即為正abc 的直觀圖，如圖所示. 10.一個(gè)

16、幾何體，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為 3 cm，高(兩底面圓心連線的長(zhǎng)度)為 4 cm，圓錐的高(頂點(diǎn)與底面圓心連線的長(zhǎng)度)為 3 cm，畫(huà)出此幾何體的直觀圖. 解 (1)畫(huà)軸.如圖所示，畫(huà) x軸、z 軸，使xoz90 . (2)畫(huà)圓柱的下底面.在 x 軸上取 a，b 兩點(diǎn)，使 ab3 cm，且 oaob，選擇橢圓模板中適當(dāng)?shù)臋E圓且過(guò) a，b兩點(diǎn)，使它為圓柱的下底面. (3)在 oz 上截取 oo4 cm，過(guò)點(diǎn) o作平行于 ox 軸的 ox軸，類(lèi)似圓柱下底面的畫(huà)法畫(huà)出圓柱的上底面. (4)畫(huà)圓錐的頂點(diǎn).在 oz 上截取點(diǎn) p，使 po3

17、 cm. (5)成圖.連接 aa，bb，pa，pb，整理(去掉輔助線，將被遮擋部分改成虛線)得到此幾何體的直觀圖，如圖所示. 11.如圖所示，aob表示水平放置的aob 的直觀圖，b在 x軸上，ao與x軸垂直，且 ao2，則aob 的邊 ob 上的高為( ) a.2 b.4 c.2 2 d.4 2 答案 d 13 / 15 解析 設(shè)aob 的邊 ob 上的高為 h，因?yàn)?s原圖形2 2s直觀圖，所以12obh2 2122ob.又 obob，所以 h4 2. 12.如圖所示，一個(gè)水平放置的正方形 abco，它在直角坐標(biāo)系 xoy 中，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為(2,2)，則用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖

18、中，頂點(diǎn) b到 x軸的距離為_(kāi). 答案 22 解析 畫(huà)出直觀圖，則 b到 x軸的距離為2212oa24oa22. 13.如圖，正方形 oabc的邊長(zhǎng)為 1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是_. 答案 8 cm 解析 由題意知正方形 oabc的邊長(zhǎng)為 1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，所以 ob 2 cm，對(duì)應(yīng)原圖形平行四邊形 oabc 的高 ob2ob2 2 cm，如圖所示. 所以原圖形中，oabc1 cm，aboc(2 2)2123 cm， 故原圖形的周長(zhǎng)為 2(13)8(cm). 14.如圖所示，四邊形 abcd 是一平面圖形的水平放置的斜二測(cè)直觀圖，四邊形 abcd 是一14 / 15 直角梯形，abcd，adcd，且 bc 與 y 軸平行，若 ab6，dc4，ad2，則這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積是_. 答案 20 2 解析 由題意知，s梯形abcd12(abcd) ad10， 故這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積 s42s梯形abcd20 2. 15.如圖所示，abc表示水平放置的abc 用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，ab在x軸上，bc與 x軸垂直，且 bc3，則abc 的邊 a