高中數(shù)學(xué)必修二第六章 6.2.3

1、1 / 14 6.2.3 向量的數(shù)乘運算向量的數(shù)乘運算 學(xué)習(xí)目標 1.了解向量數(shù)乘的概念.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會運用向量數(shù)乘的運算律進行向量運算.3.理解并掌握向量共線定理及其判定方法. 知識點一 向量數(shù)乘的定義 實數(shù) 與向量 a 的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作 a，其長度與方向規(guī)定如下： (1)|a|a|. (2)a (a0)的方向 當0時，與a的方向相同；當0時，與a的方向相反. 特別地，當 0 時，a0. 當 1時，(1)aa. 知識點二 向量數(shù)乘的運算律 1.(1)(a)()a. (2)()aaa. (3)(ab)ab. 特別地，()aa(a)，(ab)ab.

2、 2.向量的線性運算 向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量 a，b，以及任意實數(shù) ，1，2，恒有 (1a 2b)1a 2b. 知識點三 向量共線定理 向量 a (a0)與 b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù) ，使 ba. 思考 向量共線定理中為什么規(guī)定 a0? 2 / 14 答案 若將條件 a0 去掉，即當 a0 時，顯然 a與 b 共線. (1)若 b0，則不存在實數(shù) ，使 ba. (2)若 b0，則對任意實數(shù) ，都有 ba. 1.若向量 b與 a共線，則存在唯一的實數(shù) 使 ba.( ) 提示 當 b0，a0 時，實數(shù) 不唯一. 2.若 ba，則 a與 b共線.( )

3、3.若 a0，則 a0.( ) 提示 若 a0，則 a0 或 0. 4.|a|a|.( ) 提示 |a| |a|. 一、向量的線性運算 例 1 (1)若 a2bc，化簡 3(a2b)2(3bc)2(ab)等于( ) a.a b.b c.c d.以上都不對 答案 c 解析 原式3a6b6b2c2a2b a2b2c2bc2b2cc. (2)若 3(xa)2(x2a)4(xab)0，則 x_. 答案 4b3a 解析 由已知，得 3x3a2x4a4x4a4b0， 3 / 14 所以 x3a4b0， 所以 x4b3a. 反思感悟 向量線性運算的基本方法 (1)類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算

4、，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”、“公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù). (2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當?shù)倪\用運算律，簡化運算. 跟蹤訓(xùn)練 1 計算：(ab)3(ab)8a. 解 (ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a 2a4b8a10a4b. 二、用已知向量表示其他向量 例 2 如圖，在abcd 中，e是 bc 的中點，若aba，adb，則de等于( ) a.12ab b.12ab c.a12b d.a12b 答案

5、 d 解析 因為 e 是 bc 的中點， 所以ce12cb12ad12b， 所以dedcceabcea12b. 反思感悟 用已知向量表示其他向量的兩種方法 4 / 14 (1)直接法 (2)方程法 當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程. 跟蹤訓(xùn)練 2 在abc 中，若點 d 滿足bd2dc，則ad等于( ) a.13ac23ab b.53ab23ac c.23ac13ab d.23ac13ab 答案 d 解析 示意圖如圖所示， 由題意可得adabbd ab23bc ab23(acab)13ab23ac. 三、

6、向量共線的判定及應(yīng)用 例 3 設(shè) a，b 是不共線的兩個向量. (1)若oa2ab，ob3ab，oca3b，求證：a，b，c三點共線； (2)若 8akb與 ka2b 共線，求實數(shù) k的值. 5 / 14 (1)證明 aboboa(3ab)(2ab)a2b， 而bcocob(a3b)(3ab)(2a4b)2ab， ab與bc共線，且有公共點 b， a，b，c 三點共線. (2)解 8akb 與 ka2b 共線， 存在實數(shù) ，使得 8akb(ka2b)， 即(8k)a(k2)b0， a 與 b 不共線， 8k0，k20， 解得 2，k2 4. 反思感悟 (1)證明或判斷三點共線的方法 一般來說，

7、要判定 a，b，c 三點是否共線，只需看是否存在實數(shù) ，使得abac(或bcab等)即可. (2)利用向量共線求參數(shù)的方法 已知向量共線求 ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解. 跟蹤訓(xùn)練 3 已知向量 e1，e2不共線，如果abe12e2，bc5e16e2，cd7e12e2，則共線的三個點是_. 答案 a，b，d 解析 abe12e2，bdbccd 5e16e27e12e22(e12e2)2ab， ab，bd共線，且有公共點 b， a，b，d 三點共線. 6 / 14 三點共線的常用結(jié)論 典例 如圖所示，在abc中，點 o是 bc 的中點.過點 o的直線分別交直線 ab，ac于不

8、同的兩點 m，n，若abmam，acnan，則 mn 的值為( ) a.1 b.2 c.3 d.4 答案 b 解析 連接 ao(圖略)，o是 bc的中點， ao12(abac). 又abmam，acnan，aom2amn2an. 又m，o，n 三點共線，m2n21，則 mn2. 素養(yǎng)提升 (1)本題主要是應(yīng)用判斷三點共線的一個常用結(jié)論：若 a，b，c 三點共線，o為直線外一點存在實數(shù) x，y，使oaxobyoc，且 xy1. (2)應(yīng)用時一定注意 o 是共同的起點，主要是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng). 1.下列運算正確的個數(shù)是( ) (3) 2a6a； 2(ab)(2ba)3a； 7 / 14

9、(a2b)(2ba)0. a.0 b.1 c.2 d.3 答案 c 解析 根據(jù)向量數(shù)乘運算和加減運算規(guī)律知正確；(a2b)(2ba)a2b2ba0，是零向量，而不是 0，所以該運算錯誤.所以運算正確的個數(shù)為 2. 2.如圖，已知 am是abc的邊 bc 上的中線，若aba，acb，則am等于( ) a.12(ab) b.12(ab) c.12(ab) d.12(ab) 答案 c 解析 因為 m是 bc的中點，所以am12(ab). 3.設(shè) p 是abc所在平面內(nèi)一點，bcba2bp，則( ) a.papb0 b.pcpa0 c.pbpc0 d.papbpc0 答案 b 解析 因為bcba2bp

10、，所以點 p 為線段 ac 的中點，故選項 b 正確. 4.化簡 4(a3b)6(2ba)_. 答案 10a 解析 4(a3b)6(2ba)4a12b12b6a10a. 8 / 14 5.設(shè) e1與 e2是兩個不共線向量，ab3e12e2，cbke1e2，cd3e12ke2，若 a，b，d三點共線，則 k_. 答案 94 解析 因為 a，b，d 三點共線， 故存在一個實數(shù) ，使得abbd， 又ab3e12e2，cbke1e2，cd3e12ke2， 所以bdcdcb3e12ke2(ke1e2) (3k)e1(2k1)e2， 所以 3e12e2(3k)e1(2k1)e2， 所以 3(3k)，2(2

11、k1)，解得 k94. 1.知識清單： (1)向量的數(shù)乘及運算律. (2)向量共線定理. 2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、分類討論. 3.常見誤區(qū)：忽視零向量這一個特殊向量. 1.下列說法中正確的是( ) a.a與 a的方向不是相同就是相反 9 / 14 b.若 a，b共線，則 ba c.若|b|2|a|，則 b 2a d.若 b 2a，則|b|2|a| 答案 d 解析 顯然當 b 2a時，必有|b|2|a|. 2.(多選)下列各式計算正確的有( ) a.(7)6a42a b.7(ab)8b7a15b c.a2ba2b2a d.4(2ab)8a4b 答案 acd 解析 acd正確，b 錯，7(ab)8

12、b7a7b8b7ab. 3.設(shè) e1，e2是兩個不共線的向量，若向量 me1ke2 (kr)與向量 ne22e1共線，則( ) a.k0 b.k1 c.k2 d.k12 答案 d 解析 向量 m與向量 n共線， 設(shè) mn(r)，e1ke2e22e1， e1與 e2不共線， k，12， 12，k12. 10 / 14 4.下列各組向量中，一定能推出 ab 的是( ) a3e，b2e； ae1e2，be1e22e1； ae1e2，be1e2e1e22. a. b. c. d. 答案 b 解析 中，a32b，所以 ab； 中，be1e22e1e2e1212a，所以 ab； 中，b3e13e2232(

13、e1e2)，若 e1與 e2共線，則 a 與 b 共線，若 e1與 e2不共線，則 a 與b 不共線. 5.已知 m，n是實數(shù)，a，b是向量，則下列說法中正確的是( ) m(ab)mamb； (mn)amana； 若 mamb，則 ab； 若 mana，則 mn. a. b. c. d. 答案 b 解析 由向量數(shù)乘的運算律知正確；中當 m0 時，mamb，但 a 不一定等于 b，故錯誤；中當 a0 時等式成立，但 m 不一定等于 n，故錯誤. 6.已知向量 a，b滿足|a|3，|b|5，且 ab，則實數(shù) 的值是_. 答案 35 11 / 14 解析 由 ab，得|a|b|b|. |a|3，|b

14、|5，|35，即 35. 7.14(a2b)16(5a2b)14a_. 答案 13a56b 解析 原式14a12b56a13b14a145614a1213b13a56b. 8.設(shè) d，e 分別是abc 的邊 ab，bc 上的點，ad12ab，be23bc.若aba，acb，則de_.(用 a，b表示) 答案 16a23b 解析 dedbbe12ab23bc12ab23(baac)16ab23ac16a23b. 9.計算： (1)6(3a2b)9(2ab)； (2)6(abc)4(a2bc)2(2ac). 解 (1)原式18a12b18a9b3b. (2)原式6a6b6c4a8b4c4a2c (

15、6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c) 6a2b. 10.設(shè) a，b是兩個不共線的非零向量，若向量 2kab 與 8akb的方向相反，求 k的值. 解 由題意可知存在實數(shù) 使 2kab(8akb)， 即 2kab8akb， 所以 2k8，1k， 12 / 14 解得 12，k2或 12，k2， 2kab 與 8akb 的方向相反， 則 k2 不符合題意，舍去， k2. 11.設(shè) d，e，f 分別為abc 的三邊 bc，ca，ab的中點，則ebfc等于( ) a.bc b.12ad c.ad d.12bc 答案 c 解析 如圖，ebfceccbfbbc ecfb12(acab) 122ada

16、d. 12.在abc 中，已知 d是 ab邊上的一點，若cd13cacb，則 等于( ) a.13 b.23 c.12 d.34 答案 b 解析 a，b，d三點共線， 13 / 14 131，23. 13.如果實數(shù) p 和非零向量 a 與 b滿足 pa(p1)b0，則向量 a和 b_.(填“共線”或“不共線”) 答案 共線 解析 由題知實數(shù) p0，則 pa(p1)b0 可化為 ap1pb，由向量共線定理可知 a，b 共線. 14.已知在abc 中，點 m 滿足mambmc0，若存在實數(shù) m 使得abacmam成立，則 m_. 答案 3 解析 mambmc0， 點 m 是abc 的重心. abac3am，m3. 15.已知在四邊形 abcd 中，aba2b，bc4ab，cd5a3b，求證：四邊形abcd 為梯形. 證明 如圖所示. adabbccd (a2b)(4ab)(5a3b) 8a2b2(4ab)， ad2bc. 14 / 14 ad與bc共線，且|ad|2|bc|. 又這兩個向量