高中數(shù)學(xué)必修二高中數(shù)學(xué)必修二人A新教材課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十三

1、- 1 - / 14 溫馨提示：溫馨提示： 此套題為此套題為 wordword 版，請(qǐng)按住版，請(qǐng)按住 ctrl,ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉看比例，答案解析附后。關(guān)閉 wordword 文檔返回原板塊。文檔返回原板塊。 課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十三十三 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例距離問(wèn)題距離問(wèn)題 (15 分鐘 30 分) 1.輪船 a 和輪船 b 在中午 12 時(shí)同時(shí)離開(kāi)海港 o,兩船航行方向的夾角為 120,兩船的航行速度分別為 25 n mile/h,15 n mile/h,則 14 時(shí)兩船之間的距離是

2、( ) a.50 n mile b.70 n mile c.90 n mile d.110 n mile 【解析】選 b.到 14 時(shí),輪船 a 和輪船 b 分別走了 50 n mile,30 n mile,由余弦定理得兩船之間的距離為 l= =70(n mile). 【補(bǔ)償訓(xùn)練】 已知 a、b 兩地的距離為 10 km,b、c 兩地的距離為 20 km,現(xiàn)測(cè)得abc=120,則 a、c 兩地的距離為 ( ) a.10 km b. km c.10 km d.10 km 【解析】選 d.在abc 中,ab=10 km,bc=20 km,abc=120,則由余弦定理,得ac2=ab2+bc2-2a

3、bbccos abc=100+400-21020cos 120 =100+400-21020=700, - 2 - / 14 所以 ac=10 km, 即 a、c 兩地的距離為 10km. 2.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿 bc=10 m,吊桿 ac=15 m,吊索 ab=5 m,起吊的貨物與岸的距離 ad 為 ( ) a.30 m b. m c.15 m d.45 m 【解析】選 b.在abc 中, cos abc=, abc(0,), 所以 sin abc=, 所以在 rtabd 中,ad=absin abc =5=(m). 3.已知 a 船在燈塔 c 北偏東 80,且 a 到 c 的

4、距離為 2 km,b 船在燈塔 c 北偏西40,a,b 兩船的距離為 3 km,則 b 到 c 的距離為 . 【解析】如圖所示,在abc 中,acb=40+80=120,ab=3 km,ac=2 km. - 3 - / 14 設(shè) bc=a km.由余弦定理的推論, 得 cos acb=, 即 cos 120=, 解得 a=-1 或 a=-1(舍去), 即 b 到 c 的距離為 a=(-1)千米. 答案:(-1)千米 4.有一個(gè)長(zhǎng)為 1 千米的斜坡,它的傾斜角為 75,現(xiàn)要將其傾斜角改為 30,則坡底要伸長(zhǎng) 千米. 【解析】如圖,bao=75,c=30,ab=1 千米, 所以abc=bao-bc

5、a=75-30=45. 在abc 中,=, 所以 ac=(千米). 答案: - 4 - / 14 5.如圖,甲船以每小時(shí) 30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于 a1處時(shí),乙船位于甲船的南偏西 75方向的 b1處,此時(shí)兩船相距 20 海里,當(dāng)甲船航行 20 分鐘到達(dá) a2處時(shí),乙船航行到甲船的南偏西 60方向的 b2處,此時(shí)兩船相距 10海里.問(wèn):乙船每小時(shí)航行多少海里? 【解析】如圖, 連接 a1b2,由已知 a2b2=10 海里, a1a2=30=10 (海里), 所以 a1a2=a2b2. 又a1a2b2=60,所以a1a2b2是等邊三角形,所以 a1b2=a

6、1a2=10 海里. 由已知,a1b1=20 海里,b1a1b2=180-75-60=45, 在a1b2b1中,由余弦定理得 b1=a1+a1-2a1b1a1b2cos 45=202+(10)2-22010=200, 所以 b1b2=10 海里. 因此,乙船的速度為60=30(海里/時(shí)). - 5 - / 14 所以乙船每小時(shí)航行 30海里. (30 分鐘 60 分) 一、選擇題(每小題 5 分,共 30 分) 1.某人從 a 處出發(fā),沿北偏東 60行走 3 km 到 b 處,再沿正東方向行走 2 km到 c 處,則 a,c 兩地的距離為 ( ) a.4 km b.6 km c.7 km d.

7、9 km 【解析】選 c.如圖所示,由題意可知 ab=3 km,bc=2 km,abc=150, 由余弦定理得 ac2=27+4-232cos 150=49, 所以 ac=7 km,所以 a,c 兩地的距離為 7 km. 2.一船自西向東勻速航行,上午 10 時(shí)到達(dá)一座燈塔 p 的南偏西 75距燈塔 68海里的 m 處,下午 2 時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的 n 處,則這只船的航行速度為 ( ) a.海里/小時(shí) b.34海里/小時(shí) c.海里/小時(shí) d.34海里/小時(shí) 【解析】選 a.如圖所示, 在pmn 中,=. - 6 - / 14 所以 mn=34(海里), 所以 v=(海里/小時(shí)). 3.

8、已知甲船位于小島 a 的南偏西 30的 b 處,乙船位于小島 a 處,ab=20 千米,甲船沿的方向以每小時(shí) 6 千米的速度行駛,同時(shí)乙船以每小時(shí) 8 千米的速度 沿正東方向行駛,當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),他們行駛的時(shí)間為 ( ) a. 小時(shí) b. 小時(shí) c. 小時(shí) d. 小時(shí) 【解析】選 c.設(shè)當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),他們行駛的時(shí)間為 t 小時(shí),此時(shí)甲船位于 c 處,乙船位于 d 處,則 ac=(20-6t)千米,ad=8t 千米, 由余弦定理可得,cd2=(20-6t)2+(8t)2-2(20-6t)8tcos 120=52t2-80t+400,故當(dāng)cd 取最小值時(shí),t=. 4.如圖,某炮兵

9、陣地位于 a 點(diǎn),兩觀察所分別位于 c,d 兩點(diǎn).已知acd 為正三角形,且 dc= km,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在 b 點(diǎn)時(shí),測(cè)得cdb=45,bcd=75,則炮兵陣地與目標(biāo)的距離是(精確到 0.1) ( ) - 7 - / 14 a.1.1 km b.2.2 km c.2.9 km d.3.5 km 【解析】選 c.cbd=180-bcd-cdb=60. 在bcd 中,由正弦定理, 得 bd=. 在abd 中,adb=45+60=105, 由余弦定理, 得 ab2=ad2+bd2-2adbdcos 105 =3+2 =5+2. 所以 ab=2.9(km). 所以炮兵陣地與目標(biāo)的距離約是 2.9 km.

10、 【誤區(qū)警示】解題時(shí),要分清不同的三角形,在不同的三角形中,根據(jù)條件分別選用正弦定理和余弦定理. 5.某人先向正東方向走了 x km,然后他向右轉(zhuǎn) 150,向新的方向走了 3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為 km,那么 x 的值為 ( ) a.或 2 b.2 - 8 - / 14 c.3 d.3 【解析】選 a.如圖,在abc 中由余弦定理得 3=9+x2-6xcos 30,即 x2-3x+6=0, 解之得 x=2或. 6.甲船在湖中 b 島的正南 a 處,ab=3km,甲船以 8km/h 的速度向正北方向航行,同時(shí)乙船從 b 島出發(fā),以 12km/h 的速度向北偏東 60方向駛?cè)?則行駛 15

11、min 時(shí),兩船的距離是 ( ) a. km b. km c. km d. km 【解析】選 b.由題意知 am=8=2(km),bn=12=3(km),mb=ab-am=3-2=1(km),所以由余弦定理得 mn2=mb2+bn2-2mbbncos 120=1+9-213=13,所以 mn= km. 二、填空題(每小題 5 分,共 10 分) 7.九章算術(shù)中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題,2019 年第 1 號(hào)臺(tái)風(fēng)“帕布”(熱帶風(fēng)暴級(jí))登陸時(shí)再現(xiàn)了這一現(xiàn)象,不少大樹(shù)被大風(fēng)折斷.某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后(如圖所示,沒(méi)有完全斷開(kāi)),樹(shù)干與地面成 75角,折斷部分與地- 9 - / 14 面成 45角

12、,樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距 10 米,則大樹(shù)原來(lái)的高度是 米(結(jié)果保留根號(hào)). 【解題指南】根據(jù)題意,畫(huà)出示意圖,大樹(shù)原來(lái)的高度分為兩部分,利用正弦定理或余弦定理分別求出兩部分的長(zhǎng)度,求和即為大樹(shù)原來(lái)的高度. 【解析】如圖所示,設(shè)樹(shù)干底部為 o,樹(shù)尖著地處為 b,折斷點(diǎn)為 a,則aob=75,abo=45, 所以oab=60. 由正弦定理知,=, 所以 oa=米,ab=米, 所以 oa+ab=(5+5)米. 答案:(5+5) 8.如圖,海岸線上有相距 5 海里的兩座燈塔 a,b.燈塔 b 位于燈塔 a 的正南方向.海上停泊著兩艘輪船,甲船位于燈塔 a 的北偏西 75,與 a 相距 3海里的 d

13、 處;乙船位于燈塔 b 的北偏西 60方向,與 b 相距 5 海里的 c 處,此時(shí)乙船與燈塔 a之間的距離為 海里,兩艘輪船之間的距離為 海里. - 10 - / 14 【解析】連接 ac,由題意可知 ab=bc=5 海里,abc=acb=bac=60,cad= 45, 可得:ac=5 海里,根據(jù)余弦定理可得 cd2=ac2+ad2-2acadcoscad=25+18- 253=13,故乙船與燈塔 a 之間的距離為 5 海里,兩艘輪船之間的距離為海里. 答案:5 三、解答題(每小題 10 分,共 20 分) 9.如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn) a 處下山至 c 處有兩種路徑.一種是從 a 沿直線

14、步行到 c,另一種是先從 a 沿索道乘纜車到 b,然后從 b 沿直線步行到 c.山路ac 長(zhǎng)為 1 260 m,經(jīng)測(cè)量,cos a=,cos c= .求索道 ab 的長(zhǎng). 【解析】在abc 中,因?yàn)?cos a=,cos c= , - 11 - / 14 所以 sin a=,sin c= . 從而 sin b=sin-(a+c)=sin(a+c) =sin acos c+cos asin c= + =. 由=得 ab=sin c= =1 040(m).所以索道 ab 的長(zhǎng)為 1 040 m. 10.如圖,一人在 c 地看到建筑物 a 在正北方向,另一建筑物 b 在北偏西 45方向,此人向北偏西

15、 75方向前進(jìn) km 到達(dá) d 處,看到 a 在他的北偏東 45方向,b 在北偏東 75方向,試求這兩座建筑物之間的距離. 【解析】依題意得,cd= km, adb=bcd=30=bdc, dbc=120,adc=60,dac=45. 在bdc 中,由正弦定理得 bc=(km). 在adc 中,由正弦定理得 ac=3(km). 在abc 中,由余弦定理得 ab2=ac2+bc2-2acbccos acb - 12 - / 14 =(3)2+()2-23cos 45=25. 所以 ab=5 km, 故這兩座建筑物之間的距離為 5 km. 1.某觀測(cè)站 c 在 a 城的南偏西 20的方向,由 a

16、城出發(fā)有一條公路,公路走向是南偏東 40,在公路上測(cè)得距離 c 31 km 的 b 處有一人正沿公路向 a 城走去,走了 20 km 后到達(dá) d 處,此時(shí) c,d 之間相距 21 km,問(wèn)此人還要走 km 才能到達(dá) a 城. 【解析】如圖,cab=60,bd=20 km, cb=31 km,cd=21 km. 在bcd 中,由余弦定理的推論, 得 cos bdc= =- , 則 sin bdc=. 在acd 中,acd=bdc-cad=bdc-60. 由正弦定理,得 ad=. 因?yàn)?sin acd=sin(bdc-60) - 13 - / 14 =sin bdccos 60-cos bdcsi

17、n 60=, 所以 ad=15(km). 答案:15 【補(bǔ)償訓(xùn)練】 如圖,為了測(cè)量 a,c 兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上 b,d 兩點(diǎn),測(cè)出四邊形abcd 各邊的長(zhǎng)度(單位:km):ab=5,bc=8,cd=3,da=5,a,b,c,d 四點(diǎn)共圓,則 ac 的長(zhǎng)為 km. 【解析】因?yàn)?a,b,c,d 四點(diǎn)共圓, 所以 d+b=. 在abc 和adc 中, 由余弦定理可得 82+52-285cos(-d)=32+52-235cos d, 整理得 cos d=- , 代入得 ac2=32+52-235=49,故 ac=7 km. 答案:7 - 14 - / 14 2.一次機(jī)器人足球比賽中,甲隊(duì) 1 號(hào)機(jī)器人由 a 點(diǎn)開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)b 時(shí),發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn) d 處正以自己速度的 2 倍向點(diǎn) a 做勻速直線滾動(dòng),如圖所示,已知 ab=4 dm,ad=17 dm,bad=45,若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間,則該機(jī)器人最快可在何處截住足球? 【解