高中數(shù)學選修一橢圓及其標準方程

1、- 1 - / 7 橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程 （4545 分鐘分鐘 100100 分）分） 一、選擇題一、選擇題( (每小題每小題 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.已知焦點坐標為(0,-4),(0,4),且 a=6 的橢圓方程是( ) a.+=1 b.+=1 c.+=1 d.+=1 2.(2013重慶高二檢測)橢圓+=1 的一個焦點坐標為(3,0),那么 m 的值為 ( ) a.-16 b.-4 c.16 d.4 3.(2013珠海高二檢測)已知abc 的頂點 b,c 在橢圓+y2=1 上,頂點 a 是橢圓的一個焦點,且橢圓的另外一個焦點在 bc 邊上,則abc 的周

2、長是( ) a.2 b.6 c.4 d.12 4.(2013安陽高二檢測)如圖,橢圓+=1 上的點 m到焦點 f1的距離為 2,n 為 mf1的中點,則|on|(o 為坐標原點)的值為( ) a.8 b.2 c.4 d. 5.設(0,),方程 x2sin+y2cos=1 表示焦點在 y 軸上的橢圓,則的取值范圍是( ) - 2 - / 7 a.(0,) b.(0, c.(,) d.,) 二、填空題二、填空題( (每小題每小題 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.已知橢圓+=1 的焦點在 y 軸上,且焦距為 4,則 m 等于 . 7.(2013汕頭高二檢測)已知 f1,f2為橢圓+

3、=1 的兩個焦點,過 f1的直線交橢圓于 a,b 兩點.若|f2a|+|f2b|=12,則|ab|= . 8.f1,f2分別為橢圓+=1(ab0)的左、右焦點,點 p 在橢圓上,pof2是面積為的正三角形,則 b2的值是 . 三、解答題三、解答題(9(9 題題,10,10 題題 1414 分分,11,11 題題 1818 分分) ) 9.等腰直角三角形 abc 中,斜邊 bc 長為 4,一個橢圓以 c 為其中一個焦點,另一個焦點在線段 ab 上,且橢圓經過 a,b 兩點,求該橢圓的標準方程. 10.已知橢圓的焦點在 x 軸上,且焦距為 4,p 為橢圓上一點,且|f1f2|是|pf1|和|pf2

4、|的等差中項. (1)求橢圓的標準方程. (2)若pf1f2的面積為 2,求 p 點坐標. 11.(能力挑戰(zhàn)題)已知 p 是橢圓+y2=1 上的任意一點,f1,f2為橢圓的兩焦點. (1)求|pf1|pf2|的最大值. (2)求|pf1|2+|pf2|2的最小值. - 3 - / 7 答案解析答案解析 1.【解析】選 b.由條件知,橢圓的焦點在 y 軸上,且 c=4,a=6, b2=a2-c2=36-16=20, 其標準方程為+=1. 2.【解析】選 c.由條件知,橢圓焦點在 x 軸上且 c=3. 由 25-m=32,得 m=16. 【舉一反三】若題中焦點坐標由“(3,0)”改為“(0,3)”

5、,結果如何? 【解析】焦點坐標為(0,3),焦點在 y 軸上且 c=3. 由 m-25=9,得 m=34. 3.【解析】選 c.設橢圓的另一焦點為 f,則|ba|+|bf|=2a=2, |ca|+|cf|=2a=2,由條件可得,abc 的周長是|ab|+|ac|+|bc|=|ba|+|bf|+ |ca|+|cf|=4a=4. 4.【解題指南】結合平面圖形的性質可知 on 為mf1f2的中位線,所以首先由定義求出|mf2|,進而求得 on. 【解析】選 c.o 為 f1f2的中點,n 為 mf1的中點, onmf2且|on|= |mf2|. |mf1|+|mf2|=2a=10, |mf2|=10

6、-|mf1|=10-2=8,on=4. - 4 - / 7 5.【解析】選 c.由題意可知cos0, 又(0,),解得n0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦點在y 軸上的橢圓”的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 【解析】選 c.mn00b0),有|am|+|ac|=2a,|bm|+|bc|=2a, 兩式相加,得 8+4=4a, a=2+,|am|=2a-|ac|=4+2-4=2. 在直角三角形 amc 中, |mc|2=|am|2+|ac|2=8+16=24, c2=6,b2=4. 故所求橢圓的標準方程為+=1. 10.【解題指南】(1

7、)由條件“|f1f2|是|pf1|和|pf2|的等差中項”求出 a,從而得b2后寫出橢圓方程. (2)根據面積可以先確定出點 p 的縱坐標,再代入方程求橫坐標. 【解析】(1)由題意知,2c=4,c=2. 且|pf1|+|pf2|=2|f1f2|=8, 即 2a=8,a=4. b2=a2-c2=16-4=12. 又橢圓的焦點在 x 軸上, 橢圓的方程為+=1. (2)設 p 點坐標為(x0,y0), - 6 - / 7 依題意知, |f1f2|y0|=2, |y0|=,y0=, 代入橢圓方程+=1 得,x0=2, p 點坐標為(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-). 11.【解析】(1

8、)橢圓方程為+y2=1, a=2,b=1,c=,即|f1f2|=2. 又|pf1|+|pf2|=2a=4, |pf1|pf2|()2=( )2=4, 當且僅當|pf1|=|pf2|=2 時取“=”,此時點 p 是短軸頂點, |pf1|pf2|的最大值為 4. (2)|pf1|2+|pf2|22|pf1|pf2|, 2(|pf1|2+|pf2|2)|pf1|2+|pf2|2+2|pf1| |pf2|=(|pf1|+|pf2|)2, |pf1|2+|pf2|2 (|pf1|+|pf2|)2 = 16=8, 當且僅當|pf1|=|pf2|=2 時取“=”. |pf1|2+|pf2|2的最小值為 8. 【拓展提升】揭秘焦點三角形 橢圓中的焦點三角形問題由于涉及知識面廣,探究性強,綜合性高,成為橢圓和- 7 - / 7 解三角形、三角函數(shù)以及不等式等知識交匯的命題點,是命題的“焦點”.在解決與橢圓有關的焦點三角形問題中,常用到以