高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一 第3講函數(shù)性質(zhì)間的相互聯(lián)系

1、1 / 5 第第 3 講講 函數(shù)性質(zhì)間的相互聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)間的相互聯(lián)系 函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，求解時要研究函數(shù)各性質(zhì)間的相互聯(lián)系，對性質(zhì)進行綜合、靈活地應(yīng)用 例 (1)已知函數(shù) yf(x)是 r 上的偶函數(shù)，設(shè) aln 1，b(ln )2，cln ，對任意 x1，x2(0，)，x1x2，都有(x1x2) f(x1)f(x2)f(b)f(c) bf(b)f(a)f(c) cf(c)f(b)f(a) df(c)f(a)f(b) 答案 d 解析 依題意得，函數(shù) yf(x)在(0，)上為減函數(shù)，且其圖象關(guān)于 y軸對稱， 則 f(a)f(a

2、)f ln1f(ln )， f(c)f(ln )f 12ln ，而 012ln ln f(ln )f(ln )2， 即 f(c)f(a)f(b) (2)(多選)已知定義在 r 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x1)為偶函數(shù)，且在區(qū)間2,3上單調(diào)遞增，則( ) af(x)的周期為 2 bf(1)是函數(shù) f(x)的最小值 c函數(shù) f(x)的圖象的一個對稱中心為(4,0) df(x16)f(x12) 答案 cd 2 / 5 解析 由 f(x1)為偶函數(shù)，可知 f(x)的圖象關(guān)于直線 x1 對稱， 又 f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x2)f(x)， f(x)的周

3、期 t4，故 a錯； f(x)在2,3上單調(diào)遞增，且 t4， f(x)在2，1上單調(diào)遞增， f(1)不是 f(x)的最小值，故 b錯； 又 f(x)關(guān)于(0,0)對稱，且 t4， f(x)的圖象關(guān)于(4,0)對稱，故 c正確； t4，f(x16)f(x)，f(x12)f(x)， f(x16)f(x12)，故 d正確 (3)已知定義在 r 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)若方程 f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根 x1，x2，x3，x4，則 x1x2x3x4_. 答案 8 解析 f(x)是奇函數(shù)且 f(x4)f(x)， f(x4)f(4x)f(x

4、)， 即 f(x)f(4x)且 f(x8)f(x4)f(x)， 即 yf(x)的圖象關(guān)于直線 x2對稱， 并且此函數(shù)是周期為 8的周期函數(shù) f(x)在0,2上是增函數(shù)， f(x)在2,2上是增函數(shù)，在2,6上是減函數(shù) 據(jù)此可畫出 yf(x)圖象的草圖(如圖)(設(shè) x1x2x3x4)： 3 / 5 其圖象也關(guān)于直線 x6對稱， x1x212，x3x44， x1x2x3x48. 函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律因此在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定函數(shù)在另一個區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，

5、再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題 1(2020 湖南邵陽質(zhì)檢)已知奇函數(shù) f(x)在 r 上是增函數(shù)，g(x)xf(x)若 ag(log2 5.1)，bg(20.8)，cg(3)，則 a，b，c 的大小關(guān)系為( ) aabc bcba cbac dbca 答案 c 解析 f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)， g(x)xf(x)xf(x)g(x)，g(x)為偶函數(shù) g(log2 5.1)g(log2 5.1) f(x)在 r 上單調(diào)遞增， g(x)在0，)上單調(diào)遞增 而 20.82log2 5.13， g(20.8)g(log2 5.1)g(3)， 4 / 5 ba0.給出下列命題： f(3)0； 直線

6、 x6是函數(shù) yf(x)的圖象的一條對稱軸； 5 / 5 函數(shù) yf(x)在9，6上為增函數(shù)； 函數(shù) yf(x)在9,9上有四個零點 其中所有正確命題的序號為_ 答案 解析 對于任意 xr，都有 f(x6)f(x)f(3)成立，令 x3，則 f(36)f(3)f(3)又 f(x)是 r 上的偶函數(shù)，所以 f(3)0.故正確； 由知 f(x6)f(x)，所以 f(x)的周期為 6. 又 f(x)是 r 上的偶函數(shù)，所以 f(x)的圖象關(guān)于 y 軸對稱， 所以直線 x6 是函數(shù) yf(x)的圖象的一條對稱軸故正確； 當(dāng) x1，x20,3，且 x1x2時，都有f(x1)f(x2)x1x20，所以函數(shù) yf(x)在0,3上為增函數(shù)因為 f(x)是 r 上的偶函數(shù)，所以函數(shù) yf(x)在3,0上為減函數(shù)，而