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文檔簡介

1、。-可編輯修改 - 1.2 余弦定理南京師范大學附屬中學張躍紅教學目標:1. 掌握余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題;2. 能夠運用余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題教學重點:重點是余弦定理及其證明過程教學難點:難點是余弦定理的推導和證明教學過程:1. 創(chuàng)設情景,提出問題 問題 1:修建一條高速公路,要開鑿隧道將一段山體打通現要測量該山體底側兩點間的距離,即要測量該山體兩底側a,b 兩點間的距離(如圖1) 請想辦法解決這個問題設計意圖:這是一個學生身邊的實際應用問題,在其解決的過程中得到余弦定理,自然引出本課的學習內容2. 構建模型,解決問題 學生活動:提出的方法有,先航拍

2、,然后根據比例尺算出距離;利用等高線量出距離等;也有學生提出在遠處選一點c,然后量出 ac ,bc的長度,再測出acb abc 是確定的,就可以計算出ab的長接下來,請三位板演其解法法 1: (構造直角三角形)如圖 2,過點 a作垂線交 bc于點 d,則ad ac sin c,cd ac cosc ,bd bc cd bc ac cosc,所以,22|bdadabcbcacbcaccos|2|22圖 1 a b 圖 2 dacb。-可編輯修改 - 法 2: (向量方法)如圖 3,因為abaccb,所以,22()abaccb222cos(),accbaccbc即cbcacbcacabcos|2|

3、22法 3: (建立直角坐標系)建立如圖 4 所示的直角坐標系,則a (ac cosc, ac sin c) ,b (bc , 0 ) ,根據兩點間的距離公式,可得22)0sin|(|)|cos|(|cacbccacab,所以,cbcacbcacabcos|2|22活動評價:師生共同評價板演3. 追蹤成果,提出猜想 師:回顧剛剛解決的問題,我們很容易得到結論:在abc中,a,b,c是角 a,b,c的對邊長,則有cabbaccos2222成立類似的還有其他等式,acbbcacos2222,bcaacbcos2222正弦定理反映的是三角形中邊長與角度之間的一種數量關系,因為與正弦有關,就稱為正弦定

4、理;而上面等式中都與余弦有關,就叫做余弦定理問題 2:剛才問題的解題過程是否可以作為余弦定理的證明過程?設計意圖:作為定理要經過嚴格的證明,在解決問題中培養(yǎng)學生嚴謹的思維習慣學生活動:經過思考得出,若把解法一作為定理的證明過程,需要對角c進行分類討論,即分角 c為銳角、直角、鈍角三種情況進行證明;第二種和第三種解法可以作為余弦定理的證明過程教師總結:證明余弦定理,就是證明一個等式而在證明等式的過程中,我們可以將一般三角形的問題通過作高,轉化為直角三角形的問題; 還可以構造向量等式,然后利用向量的數量積將其數量化;還可以建立直角坐標系, 借助兩點圖 3 cba圖 4 yxacb。-可編輯修改 -

5、 間的距離公式來解決,等等4. 探幽入微,深化理解 問題 3:剛剛認識了余弦定理這個“新朋友” ,看一看它有什么特征?學生活動:勾股定理是余弦定理的特例反過來也可以說,余弦定理是勾股定理的推廣;當角c 為銳角或鈍角時,邊長之間有不等關系222cba,222cba;cabbaccos2222是邊長 a、b、c 的輪換式,同時等式右邊的角與等式左邊的邊相對應;等式右邊有點象完全平方,等等教師總結:我們在觀察一個等式時,就如同觀察一個人一樣,先從遠處看,然后再近處看,先從外表再到內心深處觀察等式時,先從整體(比如輪換)再到局部(比如等式左右邊角的對稱) ,從一般到特殊,或者從特殊到一般(比如勾股定理

6、是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推廣)問題 4:我們?yōu)槭裁匆獙W余弦定理,學它有什么用?設計意圖:讓學生真正體會到學習余弦定理的必要性同時又可以得到余弦定理能解決的三角形所滿足的條件,以及余弦定理的各種變形 讓學生體會在使用公式或定理時,不但要會“正向使用”還要學會“逆向使用”學生活動:解已知三角形的兩邊和它們夾角的三角形;如果已知三邊,可以求角,進而解出三角形,即abcbacacbcabbcacba2cos,2cos,2cos2222222225. 學以致用,拓展延伸 練習:1在 abc中,若 a3,b5,c7,求角 c 2 (1)在 abc中,若045,6, 13acb,解這個三角形(2)在 abc 中,1,60,30cbb,求 a學生活動:練習后相互交流得出, 解答題 1 時,利用的是余弦定理的變形形式abcbac2cos222;而題 2 既可以利用正弦定理, 也可以利用余弦定理解決思考: 正弦定理與余弦定理間是否存在著聯系呢?你能用正弦定

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