愛因斯坦相對論習題集實用教案

1、5-15-25-35-45-55-65-75-85-95-105-115-125-135-145-155-165-175-185-195-205-215-225-23相對論習題(xt)習題(xt)總目錄第1頁/共76頁第一頁，共77頁。 5-1 一個質點，在慣性系K中作勻速圓周運動(yndng)，軌道方程為： 試證：在慣性系K中的觀察者測得該質點作橢圓運動，橢圓的中心以速度(sd)u 移動。a2x=+y220=z結束(jish)目錄第2頁/共76頁第二頁，共77頁。解：設K系相對K系以速度(sd) v 沿x 軸正向運 動，由洛侖茲坐標變換a2x=+y220=z代入式t=xxvv21c2=zz=

2、yz2y=+txvv21c22a2在K系中的觀察者測得該質點(zhdin)作橢圓運動，橢圓的中心以速度v 移動。2y=+txvv21c22a2a()1結束(jish)目錄第3頁/共76頁第三頁，共77頁。 5-2 一觀察者測得運動(yndng)著的米尺長0.5m，問此尺以多大的速度接近觀察者？ 結束(jish)目錄(ml)第4頁/共76頁第四頁，共77頁。l0v21c2=l10.5c2=c0l21l2=v0.08c=2.6108 m/s解：由長度收縮(shu su)公式：結束(jish)目錄(ml)第5頁/共76頁第五頁，共77頁。 5-3 一張宣傳畫5m見方(jinfng)，平行地貼于鐵路旁

3、邊的墻上，一高速列車以 2108m/s速度接近此宣傳畫，這張畫由司機測量將成為什么樣子？ 結束(jish)目錄(ml)第6頁/共76頁第六頁，共77頁。2353.7m2()l0v21c2=l=1=hl0=5解：由長度(chngd)收縮公式：畫面(humin)的尺寸為 53.7 m2結束(jish)目錄第7頁/共76頁第七頁，共77頁。 5-4 遠方(yunfng)的一顆星以0.8c的速度離開我們，接受到它輻射出來的閃光按 5晝夜的周期變化，求固定在此星上的參考系測得的閃光周期。 結束(jish)目錄(ml)第8頁/共76頁第八頁，共77頁。 解：固定(gdng)在此星上的參照系測得的閃光周期為

4、固有時間0 時間t =5既包括(boku)地球上測得的閃光周期在此星上測得的閃光周期(zhuq)為5/3晝夜結束 目錄t=vc+0=v21c2=tvc+1()v21c2510.82=1+0.8=35t=vc+1() ,還包括光信號傳遞的時間v/c ，即：第9頁/共76頁第九頁，共77頁。 5-5 假設(jish)宇宙飛船從地球射出，沿直線到達月球，距離是3.84108m，它的速率在地球上被量得為0.30c。根據地球上的時鐘，這次旅行花多長時間？根據宇宙飛船所做的測量，地球和月球的距離是多少？怎樣根據這個算得的距離，求出宇宙飛船上時鐘所讀出的旅行時間？ 結束(jish)目錄(ml)第10頁/共7

5、6頁第十頁，共77頁。3.84108Htv0=0.33.01084.27s解：設地球至月球的距離為H0,飛船(fi chun)的速度為v,地球上的觀察者測得飛船(fi chun)從地球到月球的時間為t在飛船上測量，地球到月球(yuqi)的距離H為H0=v21c2H3.67108m=3.8410221-0.3在飛船上測量(cling)，飛船的旅行時間為：3.67108Htv=0.33.01084.08s結束 目錄第11頁/共76頁第十一頁，共77頁。 飛船的飛行時間也可以(ky)這樣求得：對于飛船上的觀察者來說，從地球出發(fā)及到達月球這兩事件都發(fā)生在飛船上，他所測得的時間為固有時間0由時間膨脹公式

6、可得:4.08s4.2710.32=結束(jish)目錄(ml)t0=v21c2第12頁/共76頁第十二頁，共77頁。 5-6 在K系中觀察到兩個事件(shjin)同時發(fā)生在x 軸上，其間距離是1m，在K系中觀察這兩個事件(shjin)之間的空間距離是2m，求在K系中這兩個事件(shjin)的時間間隔。 結束(jish)目錄(ml)第13頁/共76頁第十三頁，共77頁。vc23=v xv21c2= xt解：設 K系相對于K 系以速度v 沿x 軸正向運動,K系中觀測到兩事件同時發(fā)生(fshng)t =0，空間間隔x =1m；K系中觀測到這兩事件發(fā)生(fshng)的時間間隔為t，空間間隔x=2m。

7、0=t12= xv21c2= x解得：結束(jish)目錄(ml)第14頁/共76頁第十四頁，共77頁。0.57710-8s=t=v21c2tv tc2()=20c231c2所以在K系中觀測兩事件相隔0.57710-8s發(fā)生。若K系相對于K系沿 x 軸負向運動，則 ,t= 0.57710-8 s=c23v結束(jish)目錄(ml)第15頁/共76頁第十五頁，共77頁。 5-7 在K系中觀察(gunch)到的兩事件發(fā)生在空間同一地點，第二事件發(fā)生在第一事件以后2s。在另一相對K系運動的K系中觀察(gunch)到第二事件是在第一事件3s之后發(fā)生的，求在K系中測量兩事件之間的位置距離。 結束(ji

8、sh)目錄(ml)第16頁/共76頁第十六頁，共77頁。2s=t0t=3sv xv21c2= xt=230c352()=6.71108 m0 x=解：由已知條件t0=v21c2由時間膨脹公式：c()=120t=c35v可得：所以在K系測得兩事件發(fā)生的空間間隔為：6.71108 m結束(jish)目錄(ml)第17頁/共76頁第十七頁，共77頁。 5-8 +介于是一不穩(wěn)定粒于，平均壽命是2.6l0-8 s（在它自己參考系中測得） （1）如果此粒于相對于實驗室以0.8c的速度運動，那么實驗室坐標系中測量(cling)的+介子壽命為多長？（2）+介于在衰變前運動了多長距離？ 結束(jish)目錄(m

9、l)第18頁/共76頁第十八頁，共77頁。解：由已知條件可得+介子衰變的固有(gyu) 時間為：(1)在實驗室中觀測到+介子(jiz)的壽命為： 2.610-8 s=0t0=v21c2=2.610-8 10.824.3310-8 s= (2)在實驗室坐標系中觀測(gunc)到+介子的飛行距離為： 10.4m=Ltv =0.83.01084.33108結束 目錄第19頁/共76頁第十九頁，共77頁。 5-9 地球上一觀察者，看見一飛船(fi chun)A以速度2.5l03 ms從他身邊飛過，另一飛船(fi chun)B以速度2.0l08ms 跟隨A飛行。求： （1）A上的乘客看到B的相對速度；

10、（2）B上的乘客看到A的相對速度。 中國航天A中國航天B結束(jish)目錄(ml)第20頁/共76頁第二十頁，共77頁。1u=xvvc2uxux=1.125108 m/s 2.5108=2.01089.010162.51082.01081=ux2.0108 m/s =v2.5108 m/s 解：(1)設地球為K系，飛船A為K系。由已知條件(tiojin)可知K系相對K系是速度為飛船(fi chun)B 在K系中的速度為飛船(fi chun)B 在K系中的速度為中國航天A中國航天BKKuvx結束目錄第21頁/共76頁第二十一頁，共77頁。 (2) 設地球為K系，飛船(fi chun)B為K系。

11、由已知條件可知K系相對K系是速度為=ux2.5108 m/s =v2.0108 m/s 飛船(fi chun)A 在K系中的速度為1u=xvvc2uxux=1.125108 m/s 2.0108=2.51089.010162.01082.51081飛船(fi chun)A在K系中的速度為中國航天A中國航天BKuxKvux結束目錄第22頁/共76頁第二十二頁，共77頁。 5-10 二只宇宙飛船相對某遙遠的恒星以0.8c 的速率向相反方向移開。試用速度變換(binhun)法則證明，二飛船的相對速度是1.6c/1.64，并與們利略變換(binhun)所得的結果進行比較。 結束(jish)目錄(ml)

12、第23頁/共76頁第二十三頁，共77頁。1u=xvvc2uxux(2) 設恒星為K系，飛船(fi chun)A為K系。由已知條件可知K系相對K系是速度為：飛船(fi chun)B 在K系中的速度為：飛船(fi chun)B在K系中的速度為：=v0.8c=ux0.8c=+0.8c0.8c0.8c()2c21=0.98c而根據咖利略速度變換u=xvuxc=0.8c0.8c1.6c結束目錄第24頁/共76頁第二十四頁，共77頁。 5-11 一原子核以0.5c 的速度離開一觀察者而運動。原子核在它運動方向上向前發(fā)射一電子，該電子相對(xingdu)于核有0.8c 的速度；此原子核又向后發(fā)射了一光子指向

13、觀察者。對靜止觀察者來講， （1）電子具有多大的速度； （2）光子具有多大的速度。結束(jish)目錄(ml)第25頁/共76頁第二十五頁，共77頁。解：設觀測者為K系，原子核為K系。電子(dinz)在K系中的速度為：K系相對(xingdu)K系是速度為：0.8c=ux=v0.5c+=+0.8c0.5c0.81=0.50.93c+1u=xvvc2uxux電子(dinz)在K 系中的速度為：根據光速不便原理，光子的速度為 c 。結束目錄第26頁/共76頁第二十六頁，共77頁。 5-12 一光源在K坐標系的原點0 發(fā)出一光線。光線在 xy平面內與x軸的交角為。設 K相對K以速度 u 沿 x 軸運動

14、(yndng)。試求在 K 坐標中看到這光線的傳播方向。結束(jish)目錄(ml)第27頁/共76頁第二十七頁，共77頁。+1u=xvvc2uxuxqc cos=ux0=uzsinqc=uy+1vvc2uxqc cos=()+1u=yvc2uxuygsinqcv21c2+1vc2ux=解：設該一光線(gungxin)在K系 x 軸的交角為。 光子在K系中的速度為：在K 系中觀察(gunch)=tgquyuxsinqcv21c2+vqc cos=結束(jish)目錄第28頁/共76頁第二十八頁，共77頁。 5-13 如一觀察者測出電子質量(zhling)為2m。，問電子速度為多少？（m。為電子

15、的靜止質量(zhling)） 結束(jish)目錄(ml)第29頁/共76頁第二十九頁，共77頁。21=v21c20.866vc=23c2m0=v21c2m0解：結束(jish)目錄(ml)第30頁/共76頁第三十頁，共77頁。 5-14 某人測得一靜止棒長為人質量為m，于是求得此棒線密度為=m/l 。假定此棒以速度 v 在棒長方向(fngxing)上運動，此人再測棒的線密度應為多少，若棒在垂直長度方向(fngxing)上運動，它的線密度又為多少？ 結束(jish)目錄(ml)第31頁/共76頁第三十一頁，共77頁。=v21c2m=v21c2ml=v21c2l解：(1)=lmm=lv21c2(

16、)解得：結束(jish)目錄(ml)第32頁/共76頁第三十二頁，共77頁。m=v21c2m=v21c2l=l(2)=lmm=lv21c2解得：結束(jish)目錄(ml)第33頁/共76頁第三十三頁，共77頁。 5-15 設有一靜止質量為 m0 、帶電荷量為 q 的粒子，其初速為零，在均勻電場E 中加速，在時刻 t 時它所獲得的速度是多少？如果不考慮(kol)相對論效應，它的速度又是多少？這兩個速度間有什么關系？討論之。 結束(jish)目錄(ml)第34頁/共76頁第三十四頁，共77頁。mv0=v21c22Etq22mv0=v21c222=+2Etq22c22Etq22mc022v2=+E

17、tqc2Etq22mc022vEtq=mv0若不考慮(kol)相對論效應Etq=mv0Etq=mv解：結束(jish)目錄(ml)第35頁/共76頁第三十五頁，共77頁。 5-16 設電子的速度為 (1)1.0106 m/s;(2) 2.0108m/s,試計算(j sun)電子的動能各是多少？如用經典力學公式計算(j sun)電子動能又各為多少？ 結束(jish)目錄(ml)第36頁/共76頁第三十六頁，共77頁。Emck112=mc02=v21c2mc02mc021()=v21c2mc021=4.5510-19 J=0.5111061.60210-19()11213001解： (1)按相對論

18、計算(j sun)當電子(dinz)的速度為v1=1.0106 m/s時的動能結束(jish)目錄第37頁/共76頁第三十七頁，共77頁。Emck222=mc02=v21c2mc02mc021()=v21c2mc021=2.7910-14 J=0.5111061.60210-19()11213.02.0當電子的速度(sd)為v2=1.0108 m/s時的動能結束(jish)目錄(ml)第38頁/共76頁第三十八頁，共77頁。(2)按經典力學(jn din l xu)計算mv12021Ek1=21 9.110-31 (1.0106 )2=1.8210-14 J=4.5510-19 J= 9.11

19、0-31 (1.0108 )221mv22021Ek2=結束(jish)目錄(ml)第39頁/共76頁第三十九頁，共77頁。 5-17 兩個氖核組成(z chn)質量數為4、原子量為4.0015u 的氦核。試計算氦核放出的結合能。 結束(jish)目錄(ml)第40頁/共76頁第四十頁，共77頁。m0=2.0136u1u=1.65810-27 kg2=E mc=1.60210-191.65810-27 9.0101622.01364.0015()=23.9106 eV=23.9 MeVEHe2+H2H4解：氘核靜止(jngzh)質量其中(qzhng)u為原子質量單位結束(jish)目錄第41頁

20、/共76頁第四十一頁，共77頁。 5-18 太陽由于向四面空間輻射能量，每秒損失了質量(zhling) 4109kg。求太陽的輻射功率。 結束(jish)目錄(ml)第42頁/共76頁第四十二頁，共77頁。=3.61026 J/s=3.61026 W4109(3108)=21P=2 mc t2 mc解：結束(jish)目錄(ml)第43頁/共76頁第四十三頁，共77頁。 5-19 在什么速度(sd)下粒子的動量比非相對論動量大兩倍？在什么速度(sd)下的動能等于它的靜止能量？ 結束(jish)目錄(ml)第44頁/共76頁第四十四頁，共77頁。=m0v21c2c2m0c2Ek=E0當時()=v

21、21c2m0c211m0c2Emck2=mc02(2)2mv0=v21c2mv0(1)由題意解：0.08c=v2.6108 m/s解得=E0m0c2解得0.866vc=23c結束(jish)目錄(ml)第45頁/共76頁第四十五頁，共77頁。 5-20 一個電子從靜止開始加速到0.1c 的速度，需要(xyo)對它作多少功？速度從0.9 c 加速到0.99 c 又要作多少功？ 結束(jish)目錄(ml)第46頁/共76頁第四十六頁，共77頁。=v21c2mc02mc02()=v21c2m0c211()=1110.120.511106=2.57103eV=keV2.57=mc2mc02A解：(1

22、)結束(jish)目錄(ml)第47頁/共76頁第四十七頁，共77頁。=2.45103eV=keV2.45(2)=mc2mc12A2()=v21c2m0c212v21c211()=110.9920.511106110.92結束(jish)目錄(ml)第48頁/共76頁第四十八頁，共77頁。 5-21 設有一+介子，在靜止下來(xi li)后，衰變?yōu)?子和中微子，三者的靜止質量分別為m，m和 0。求+子和中微子的動能。 結束(jish)目錄(ml)第49頁/共76頁第四十九頁，共77頁。nEkn中微子的動能為解：mc2介子的靜能為設+mcm2Ekmm+介子的靜能為動能為Pmm+介子的動量為Pn中

23、微子的動量為由能量守恒和動量(dngling)守恒可得2()+Emckm2=+mPmc22mcm42Emckm2=+mc2mEkn0P=mPn=Ek2Pc22nn結束(jish)目錄(ml)第50頁/共76頁第五十頁，共77頁。2()+Emckm2=+mPmc22mcm42Emckm2=+mc2mEkn0P=mPn=Ek2Pc22nn(1)(4)(3)(2)22=Pmmcm2Ek+mEkmc由式(3)可得：n=PnEkc由式(4)可得：=Ekn22mcm2Ek+mEkm代入式(4)可得：將上式代入式(1)可得：22mcm2Ek+mEkmEmckm2=+mc2m結束(jish)目錄(ml)第51

24、頁/共76頁第五十一頁，共77頁。=mcm2m()2m2Ekm=Eknmcm2m()2m2222mcm2Ek+mEkmEmckm2=+mc2m經整理(zhngl)后可得：代入式(1)可得：結束(jish)目錄(ml)第52頁/共76頁第五十二頁，共77頁。 5-22 一中性介子相對于觀察者以速度 v= kc 運動，后衰變?yōu)閮蓚€光子。兩光子的運動軌跡與介子原來方向(fngxing)成相等的角度（見題圖）證明： （1）兩光子有相等的能量； （2） cos = k 。結束(jish)目錄(ml)第53頁/共76頁第五十三頁，共77頁。nqhmv10cos=+k21cnh2cqcossin=qnh1+

25、cnh2csinq0qqyxvgg21解：由動量(dngling)守恒和能量守恒得：+nh1nh2mc0=k212結束(jish)目錄(ml)第54頁/共76頁第五十四頁，共77頁。nqhm0cos=k21ckc2nqhm v10cos=+k21cnh2cqcossin=qnh1+cnh2csinq0+nh1nh2m c0=k212(1)(2)(3)n1n2=n=由式(2)可得：所以兩光子能量相等v= kc把及代入式(1)、(3)可得：n1n2=n=nhmc0=k2122=kqcos結束(jish)目錄(ml)第55頁/共76頁第五十五頁，共77頁。 5-23 質量為m0 的一個受激原子，靜止

26、在參考系 K 中，因發(fā)射一個光子(gungz)而反沖，原子的內能減少了E，而光子(gungz)的能量為h。試證： m0c2=nh()EE21結束(jish)目錄(ml)第56頁/共76頁第五十六頁，共77頁。E=m0c2m0c2令vc=m0解：設反沖原子的靜質量為速率為 v由動量(dngling)守恒、能量守恒及已知條件可得：+nh=m0c2m0v21c2c2(1)c=nhm0v21c2v(2)E=m0c2m0c2(3)由式(3)可得：結束(jish)目錄(ml)第57頁/共76頁第五十七頁，共77頁。()=+()nhEm0c2c2m0c2Em0c2()+nh2Em0c222c2m0c2=nh

27、()EE21=nh()+nh2Em0c222m0c2()+nh212E=m0c2Em0c222m0將代入式(2)可得：m0將及上式代入式(2)可得：經整理(zhngl)后得：結束(jish)目錄(ml)第58頁/共76頁第五十八頁，共77頁。習題(xt)總目錄第59頁/共76頁第五十九頁，共77頁。1234567890.aqaABCDEFGKMNPHLOIJgzxnsfhmrtuvyelpcbdkjiom1203dij kzxyoacbdsincosv221v22T m1MAmA2()12v21c2xdtdxdtdt=xxvv21c2x=tt vv21c2c21u=xvvc2uxux=()()

28、()()()()=+gv21c22.6108 m/s第60頁/共76頁第六十頁，共77頁。1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112141516171819202122231324第61頁/共76頁第六十一頁，共77頁。 5-24 假定觀察者o測得兩個事件(shjin)相距3.6108米、相隔2秒發(fā)生。發(fā)生這兩個事件(shjin)之間的固有時間是多少？第62頁/共76頁第六十二頁，共77頁。1234567890.aqaABCDEFGKMNPHLOIJgzxnsfhmrtuvyelpcbdkjiom1203dijkzxyoacbdsincosv221v22Tm1MAmA2()t=xxvv2

29、1c2x=ttvv21c2c2=()()()()()()=+g2.6108 m/s22第63頁/共76頁第六十三頁，共77頁。 5-25 宇宙飛船A和B的靜止(jngzh)長度分別是90米和200米，如兩者相向飛行，宇宙飛船A中的宇航員測定出宇宙飛船B的頭部越過A的長度須 510-7秒。這兩艘宇宙飛船的相對速度是多少？若按照B頭部的一個宇航員的測定，通過A的頭尾之間的時間間隔是多少？第64頁/共76頁第六十四頁，共77頁。1234567890.aqaABCDEFGKMNPHLOIJgzxnsfhmrtuvyelpcbdkjiom 1203di jkzxyoacbdsincosv221v22Tm

30、1MAmA2()12v21c2xdtdxdtdt=xxvv21c2x=tt vv21c2c21u=xvvc2uxux=()()()()()()=+gv21c22.6108 m/s第65頁/共76頁第六十五頁，共77頁。 5-26 O和O 的相對速度是0.8c 。在t=210-7秒時，一粒高速子彈由x=100m米處射出,該子彈以一恒定速度向負x方向飛行，在 610-7 s時擊中x原點的一個(y )靶子。按O的測定，這粒子彈的速度是多少？飛行了多遠？第66頁/共76頁第六十六頁，共77頁。1234567890.aqaABCDEFGKMNPHLOIJgzxnsfhmrtuvyelpcbdkjiom1

31、203dijkzxyoacbdsincosv221v22Tm1MAmA2()12v21c2xdtdxdtdt=xxvv21c2x=tt vv21c2c21u=xvvc2uxux=()()()()()()=+gv21c22.6108 m/s第67頁/共76頁第六十七頁，共77頁。 5-27 一個靜質量為m0 、以0.8c 的速度運動的粒子，與一個靜質量為 3m0 、開始時處于(chy)靜止狀態(tài)的粒子發(fā)生完全非彈性碰撞。這樣組合的單個物體的靜質量是多少？第68頁/共76頁第六十八頁，共77頁。 5-28 在海拔100公里的地球大氣層中產生了一個靜止能量為140兆電子伏的+介子，這個(zh ge)+

32、介子的總能量是1.5105兆電子伏，豎直向下運動，按它自身參考系中的測定，它在產生后2110-8秒衰變。它將在海平面以上多大高度發(fā)生衰變？第69頁/共76頁第六十九頁，共77頁。第70頁/共76頁第七十頁，共77頁。第71頁/共76頁第七十一頁，共77頁。第72頁/共76頁第七十二頁，共77頁。第73頁/共76頁第七十三頁，共77頁。0101 、。0111 “”0121 【0131 】 0141 0151 0161 0171 0181 0191 恥蟲仇0201 0211 0221 0231 0241 0251 0261 0271 0281 0291 0701 0711 0721 0731 06

33、01 0611 0621 063106410651 第74頁/共76頁第七十四頁，共77頁。)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPeMa

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