第一講元素與集合

1、第一講 元素與集合一集合的概念集合是一個(gè)原始的概念，是數(shù)學(xué)中一個(gè)不定義的概念盡管如此，對(duì)一個(gè)具體的集合而言，很多情況下我們還是可以采用列舉法或描述法給出它的一個(gè)準(zhǔn)確而清晰的表示用描述法表示一個(gè)集合基于下面的概括原則：概括原則 對(duì)任給的一個(gè)性質(zhì)P，存在一個(gè)集合S，它的元素恰好是具有性質(zhì)P的所有對(duì)象，即 S，其中表示“具有性質(zhì)P”由此，我們知道集合的元素是完全確定的，同時(shí)它的元素之間具有互異性和無序性集合的元素個(gè)數(shù)為有限數(shù)的集合稱為有限集，元素個(gè)數(shù)為無限數(shù)的集合稱為無限集如果有限集A的元素個(gè)數(shù)為n，則稱A為n元集，記作空集不含任何元素例1 設(shè)集合M（1）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)集合M；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值

2、范圍由概括原則我們知道，判斷一個(gè)對(duì)象是否為集合S的元素，等價(jià)于判斷是否具有性質(zhì)例2 設(shè)A是兩個(gè)整數(shù)平方差的集合，即證明：（1）若，則（2）若，則，其中是有理數(shù)二、集合與集合的關(guān)系在兩個(gè)集合的關(guān)系中，子集是一個(gè)重要的概念，它的兩個(gè)特例是真子集和集合相等從下面“充分必要條件”的角度來理解子集、真子集和集合相等的概念無疑是十分有益的：子 集：對(duì)任意，恒有；真子集：；集合相等：AB，且容易證明兩個(gè)集合關(guān)系的如下性質(zhì)：1A，A（A）；2AB，BCAC；3“元集A總共有個(gè)不同的子集，有個(gè)不同的真子集例1 設(shè)集合，則下列關(guān)系中成立的是（ ）（A）PQ （B）QP （C）PQ （D）PQ解題切入： 正確理解集

3、合Q，并解出Q導(dǎo)析： 對(duì)于Q，可設(shè)，由<0恒成立，知函數(shù)圖象全位于軸下方，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，有由、知，故PQ即A正確評(píng)注： 利用函數(shù)思想解決方程與不等式等問題是最常用的數(shù)學(xué)思想之一，在平常的學(xué)習(xí)中要有意識(shí)強(qiáng)化這種重要數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用本題易錯(cuò)點(diǎn)：容易忽略m0的情況，習(xí)慣地將視為二次函數(shù)，從而出現(xiàn)漏解情況相關(guān)鏈接：（1）設(shè)A、B為兩個(gè)集合，下列四個(gè)命題：A不包含于B 對(duì)任意有；A不包含于B AB；A不包含于B A不包含B；A不包含于B 存在且其中正確命題的序號(hào)是 導(dǎo)析： （舉特例）取A1，2，B1，3，排除；取A1，B，排除評(píng)注： 本題綜合考查集合的包含關(guān)系例2 設(shè)集合，則集合MN中元素的

4、個(gè)數(shù)為（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解題切入： 關(guān)鍵是分清數(shù)集與點(diǎn)集（數(shù)形結(jié)合）：M是由單位圓上的點(diǎn)組成，而N是由拋物線上的點(diǎn)組成畫圖可知MN中的公共元素（即交點(diǎn)）有兩個(gè)，故選B評(píng)注： 利用數(shù)形結(jié)合思想，可避開復(fù)雜的運(yùn)算過程，從而提高同學(xué)們的解題速度與準(zhǔn)確性相關(guān)鏈接： 設(shè)A，B，I為3個(gè)非空集合，且滿足，則以下各式中錯(cuò)誤的是（ ）（A）（I A）BI （B）（I A）（I B）I（C）（I B）A （D）（I A）（I B）I B導(dǎo)析：由知（I A）I B，（I A）（I B）I AA，I AI，故B錯(cuò) 例3 設(shè)函數(shù)（），集合A， B（1）證明：；（2）當(dāng)Al，3時(shí)，求集合B分析

5、 欲證，只需證明方程的根必是方程的根例4 設(shè)關(guān)于的不等式和 的解集依次為A、B，求使的實(shí)數(shù)的取值范圍分析 要由求出的范圍，必須先求出A和B習(xí) 題1已知三元實(shí)數(shù)集A，B，且AB，則等于（ ）（A）0 （B）2 （C）1 （D）l2集合與的關(guān)系為（ ）（A）MN （B）MN，NM （C）MN （D）NM3設(shè)，是直角坐標(biāo)平面xOy上的點(diǎn)集則所成圖形的面積是（ ）（A）6 （B）6.5 （C）2 （D）74已知非空數(shù)集M1，2，3，4，5，則滿足條件“若，則”的集合M的個(gè)數(shù)是（ ）（A）3個(gè) （B）7個(gè) （C）15個(gè) （D）31個(gè)5集合的真子集的個(gè)數(shù)是 6已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 7已知，則M與N

6、的關(guān)系是 8非空集合S滿足：（1）S1，2，2n1，；（2）若，則有那么，同時(shí)滿足（1）、（2）的非空集合S的個(gè)數(shù)是 9集合，計(jì)算A中的二元子集兩元素之和組成集合B3，4，5，6，7，8，9，10，11，13則A 10設(shè)集合M1，2，3，1000，現(xiàn)對(duì)M的任一非空子集X，令表示X中最大數(shù)與最小數(shù)之和求所有這樣的的算術(shù)平均值11用表示非空的整數(shù)集合S的所有元素的和設(shè)A是正整數(shù)的集合，且；又設(shè)對(duì)每個(gè)正整數(shù)n1500，都存在A的子集S，使得n求的最小可能值分析 要求的最小值，顯然應(yīng)使1500又由題設(shè)，應(yīng)使盡可能大，且前10個(gè)數(shù)之和不小于750，故取750考慮整數(shù)的二進(jìn)制表示，由1227255知，前8

7、個(gè)數(shù)應(yīng)依次為1，2，4，8，16，32，64，128這時(shí)495，從而有2481設(shè)E1，2，3，200，GE，且G具有下列兩條性質(zhì)：（1）對(duì)任何1i<j100，恒有；（2）試證明：G中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)，且G中所有數(shù)字的平方和為一個(gè)定數(shù)跟著的是死算, 我x            a12+a22+a1002+(201-a1)2+(201-a2)2+(201-a100)2=200x(200+1)x(2x200+1)/6=2686700         

8、                                                                     &

9、#160;                           平方和公式-           2(a12+a22+a1002)-402(a1+a2+a100) + 100x(2012) = 2686700      =>  a12+a22+a1002=1349380 

10、    因?yàn)槠鏀?shù)的平方除以4余1 , 偶數(shù)的平方被4整除, 而1349380除以4余0,也就是說1349380被4整除      那么G中奇數(shù)必定是4的倍數(shù),才滿足平方和被4整除2稱有限集S的所有元素的乘積為S的“積數(shù)”，給定數(shù)集M 求集M的所有含偶數(shù)個(gè)元素的子集的“積數(shù)”之和構(gòu)造函數(shù)F(x)=(x-1/2)*(x-1/3)*.*(x-1/100),由定義可知X,X3,X5.X97的系數(shù)和即為數(shù)集M的所有含偶數(shù)個(gè)元素的子集的“積數(shù)”之和；設(shè)F(X)=a0+a1*x+a2*x2+.a98*x98+x99;則F(1)=a0+a1

11、+.+a98+1=1/2*2/3*.*99/100=1/100;F(-1)=a0-a1+.+a98-1=-3/2*4/3*.100/99*101/100=-101/2;所以a1+a3+.+a97=F(1)-F(-1)-2/2=4851/200選A。這了打字方便，先規(guī)定個(gè)符號(hào)，記含有n個(gè)元素的子集的積數(shù)合為An， 構(gòu)建函數(shù)f(x)=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)（x+1/100) 則f(1)=3/2*4/3*5/4*101/100=101/2 f(-1)=(-1/2)*(-2/3)*(-3/4)*(-99/100)=-1/100 將f(x)展開

12、得 f(x)=x99+A1x98+A2x97+A98x+A99 f(1)=1+A1+A2+A99=101/2 f(-1)=-1+A1-A2+A3-A98+A99=-1/100 設(shè)A1+A3+A5+A99=m,A2+A4+A6+A98=n 則1+m+n=101/2,-1+m-n=-1/100 解得n=50.51即為答案3考慮實(shí)數(shù)在3進(jìn)制中的表達(dá)式K是區(qū)間0，1內(nèi)所有這樣的數(shù)的集合，并且的每位數(shù)字是0或2如果S，求證：S0，24設(shè)S1，2，3，4，項(xiàng)的數(shù)列：有如下性質(zhì)：對(duì)于S的任何一個(gè)非空子集B（B的元素個(gè)數(shù)記為），在該數(shù)列中有相鄰的項(xiàng)恰

13、好組成集合B求的最小值首先證明S中的每個(gè)數(shù)在數(shù)列a1，a2，an中至少出現(xiàn)2次事實(shí)上，若S中的某個(gè)數(shù)在這個(gè)數(shù)列中只出現(xiàn)1次，由于含這個(gè)數(shù)的二元子集共有3個(gè)，但在數(shù)列中含這個(gè)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)至多只有兩種取法，因而3個(gè)含這個(gè)數(shù)的二元子集不可能都在數(shù)列相鄰兩項(xiàng)中出現(xiàn)由此可見n8另一方面，8項(xiàng)數(shù)列：3，1，2，3，4，1，2，4滿足條件，因此，所求最小值為85設(shè)集合M1，2，3，1000，現(xiàn)對(duì)M的任一非空子集X，令表示X中最大數(shù)與最小數(shù)之和求所有這樣的的算術(shù)平均值對(duì)于任意一個(gè)集合，用1001減去每個(gè)元素的值，得到一個(gè)新集合。如果這個(gè)集合就是原來的集合，那么這個(gè)集合一定是由一對(duì)對(duì)加起來是1001的數(shù)組成，顯

14、然最大最小之和是1001.如果不是的話，這兩個(gè)集合的最大最小（共四個(gè)數(shù)）之和是2002，而且這兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)，平均數(shù)也是1001.所有的集合只有這兩種，所以1001解:將M中非空子集進(jìn)行配對(duì),對(duì)每個(gè)非空子集X包含于M,令X'=1001-x| x屬于x,則當(dāng)X1也是M的非空子集,且X不等于X1時(shí),有X'不等于X'1,于是所有非空子集除1,2,3,.,1000以外,分兩類:(1)X'不等于X,(2)X'=x.對(duì)于(2)中的X,必有a(x)=1001.對(duì)于(1)中的每一對(duì)X與X',有a(x)+a(x')=1001×2=2002.由此可見

15、,所有a(x)的算術(shù)平均值為1001.6設(shè)S為滿足下列條件的有理數(shù)集合：（1）若，則；（2）對(duì)任一個(gè)有理數(shù)r，3個(gè)關(guān)系中有且僅有一個(gè)成立證明：S是由全體正有理數(shù)組成的集合定義滿足如果aA,bA ，那么a±bA，且abA，且a/bA的集合A為“閉集”， N,Z,Q,R是否為閉集？舉反例就可對(duì)N 為自然數(shù): 令a=1,b=2 ,因?yàn)閍/b=1/2 不屬于N ,所以N不是閉集對(duì)Z 為整數(shù): 令a=1,b=2,因?yàn)閍/b=1/2 不屬于Z ,所以Z不是閉集對(duì)Q 顯然 有理數(shù)和有理數(shù)的四則運(yùn)算都為有理數(shù),所以Q是閉集R時(shí)實(shí)數(shù),顯然是閉集7為非空整數(shù)集合，對(duì)于1、2、3的任意一個(gè)排列，若，則；（

16、1）證明：3個(gè)集合中至少有兩個(gè)相等（2）3個(gè)集合中是否可能有兩個(gè)集合無公共元素?設(shè)x s1,且y s2那么x-y s3。根據(jù)已知條件，因?yàn)閤-y s3,且x s1所以-y s2。同理可證，-x s1，以及y-x s3因此，對(duì)于任意一個(gè)集合，它的元素都是成對(duì)（一正一負(fù)）出現(xiàn)的。容易知道，x+y s3，-x-y s3。如果某個(gè)集合（如S2）中含有元素0，那么由x-0=x，知道S1和S3的元素全部相同，S1=S3。如果x（ S1），y（ S2）都不是0，那么S3中的元素x+y和x-y中必有一個(gè)的絕對(duì)值小于x和y中絕對(duì)值較大的一個(gè)（分同號(hào)和異號(hào)討論）。設(shè)|x|>|x-y|，那么取S2中的y和S3

17、中的x-y重復(fù)使用上述規(guī)則，從而得到一串絕對(duì)值遞減的數(shù)列：|x|，|x-y|，|x-2y|，但是絕對(duì)值遞減的整數(shù)列不能無限下去，因此必然最終得到0（無窮遞降法）。所以，我們證明了必然有一個(gè)集合中含有0元素。8若1，其中求證：（其中，為有理數(shù)集，為無理數(shù)集）集合與函數(shù)綜合問題例1、數(shù)集M由2003個(gè)不同的實(shí)數(shù)組成，對(duì)于M中任何兩個(gè)不同的元素a和b，數(shù)都是有理數(shù)證明：對(duì)于數(shù)集M中任何一個(gè)數(shù)a，都是有理數(shù)（2003年俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析及答案 分析：欲證是一個(gè)有理數(shù)，只需把表示為幾個(gè)有理數(shù)的和即可證明：設(shè)a，b，c是數(shù)集M中任意三個(gè)兩兩不同的元素，由題設(shè)知都是有理數(shù)，于是是有理數(shù)是有理數(shù)，從

18、而是有理數(shù)，進(jìn)而是有理數(shù)所以是有理數(shù)例2、稱有限集S的所有元素的乘積為S的“積數(shù)”給定數(shù)集求數(shù)集M的所有含偶數(shù)個(gè)元素的子集的“積數(shù)”之和分析及答案 分析：數(shù)集M的所有子集的積數(shù)之和為設(shè)數(shù)集M的所有含偶數(shù)個(gè)元素的子集的積數(shù)和為x，所有含奇數(shù)個(gè)元素的子集的積數(shù)之和為y，則只需再建立一個(gè)關(guān)于x，y的方程，就可解出x，y解答：設(shè)數(shù)集M的所有含偶數(shù)個(gè)元素的子集的積數(shù)之和為x，所有含奇數(shù)個(gè)元素的子集的積數(shù)之和為y，則構(gòu)造函數(shù)F(x)=(x-1/2)*(x-1/3)*.*(x-1/100),由定義可知X,X3,X5.X97的系數(shù)和即為數(shù)集M的所有含偶數(shù)個(gè)元素的子集的“積數(shù)”之和；設(shè)F(X)=a0+a1*x+

19、a2*x2+.a98*x98+x99;則F(1)=a0+a1+.+a98+1=1/2*2/3*.*99/100=1/100;F(-1)=a0-a1+.+a98-1=-3/2*4/3*.100/99*101/100=-101/2;所以a1+a3+.+a97=F(1)-F(-1)-2/2=4851/200選A。這了打字方便，先規(guī)定個(gè)符號(hào)，記含有n個(gè)元素的子集的積數(shù)合為An， 構(gòu)建函數(shù)f(x)=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)（x+1/100) 則f(1)=3/2*4/3*5/4*101/100=101/2 f(-1)=(-1/2)*(-2/3)*(-3/4)

20、*(-99/100)=-1/100 將f(x)展開得 f(x)=x99+A1x98+A2x97+A98x+A99 f(1)=1+A1+A2+A99=101/2 f(-1)=-1+A1-A2+A3-A98+A99=-1/100 設(shè)A1+A3+A5+A99=m,A2+A4+A6+A98=n 則1+m+n=101/2,-1+m-n=-1/100 解得n=50.51即為答案例3、設(shè)集合Sn=1，2，n若X是Sn的子集，把X中的所有數(shù)的和稱為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0）若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為Sn的奇（偶）子集（1）求證

21、：Sn的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；（2）求證：當(dāng)n3時(shí)，Sn的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等；（3）當(dāng)n3時(shí)，求Sn的所有奇子集的容量之和.（1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）分析及答案 分析：要證明兩個(gè)集合的元素的個(gè)數(shù)一樣多，一種方法是直接把這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)算出來，另一種方法是在這兩個(gè)集合之間建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)本題我們將用后一種方法來解解答：（1）設(shè)A是Sn的任一奇子集，構(gòu)造映射f如下：（注：A1表示從集合A中去掉1后得到的集合）所以，映射f是將奇子集映為偶子集的映射易知，若A1，A2是Sn的兩個(gè)不同的奇子集，則f（A1）f（A2），即f是單射又對(duì)Sn的每一個(gè)偶子集B，若1B，

22、則存在A=B1，使得f（A）=B；若，則存在使得f（A）=B，從而f是滿射所以，f是Sn的奇子集所組成的集到Sn的偶子集所組成的集之間的一一對(duì)應(yīng)，從而Sn的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等，故均為個(gè)（2）設(shè)an(bn)表示Sn中全體奇（偶）子集容量之和若n(3)是奇數(shù)，則Sn的奇子集由如下兩類：（1）Sn1的奇子集；（2）Sn1的偶子集與集n的并，于是得an=an1（bn1n·2n2），又Sn的偶子集可由Sn1的偶子集和Sn1的奇子集與n的并構(gòu)成，所以bn = bn1（an1n·2n2），由，便得an= bn若n（4）是偶數(shù)，同上可知an=an1（an1n·2n2），bn = bn1（bn1n·2n2），由于n1是奇數(shù)，由上面已證an1= bn1，從而an = bn綜上即知，an = bn，n=3，4（3）由于Sn的每一個(gè)元素均在2n1個(gè)Sn的子集中出現(xiàn)，所以，Sn的所有子集容量之和為2n1（12n）=2n2n（n1)又由（2）知，an=bn，所以說明（2）的證明中，建立了遞推關(guān)