抽樣與參數(shù)估計實用教案

1、1.1.簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣(chu yn)(Simple Random (chu yn)(Simple Random Sampling)Sampling) 一般地，設(shè)一個總體含有一般地，設(shè)一個總體含有N N個個體，從中逐個不放個個體，從中逐個不放回地抽取回地抽取n n個個體作為樣本個個體作為樣本(nN),(nN),如果每次抽取時總?cè)绻看纬槿r總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣(chu yn)(chu yn)方法叫做簡單隨機抽樣方法叫做簡單隨機抽樣(chu yn)(chu yn)。假設(shè)要對某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進行衛(wèi)生達標(biāo)假

2、設(shè)要對某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進行衛(wèi)生達標(biāo)檢驗，我們只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗的檢驗，我們只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗的樣本。樣本。得到樣本餅干的一個方法是，將這批小包裝餅干放入得到樣本餅干的一個方法是，將這批小包裝餅干放入一個不透明的袋子中，攪拌均勻，然后不放回地摸取一個不透明的袋子中，攪拌均勻，然后不放回地摸取( (這樣可以保證每一袋餅干被抽中的機會相等這樣可以保證每一袋餅干被抽中的機會相等) )，這樣，這樣我們就可以得到一個簡單隨機樣本。我們就可以得到一個簡單隨機樣本。抽簽法抽簽法( (抓鬮法抓鬮法):):例如，高一（例如，高一（2 2）班有）班有4545名學(xué)生，現(xiàn)要從中

3、抽出名學(xué)生，現(xiàn)要從中抽出8 8名名學(xué)生去參加一個座談會，每名學(xué)生的機會相等。學(xué)生去參加一個座談會，每名學(xué)生的機會相等。我們可以把我們可以把4545名學(xué)生的學(xué)號寫在小紙片上，揉成小名學(xué)生的學(xué)號寫在小紙片上，揉成小球，放到一個不透明袋子中，充分攪拌后，再從中球，放到一個不透明袋子中，充分攪拌后，再從中逐個抽出逐個抽出8 8個號簽，從而抽出個號簽，從而抽出8 8名參加座談會的學(xué)生。名參加座談會的學(xué)生。第1頁/共31頁第一頁，共32頁。2. 分層抽樣法(類型抽樣：Stratified Sampling) 一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉( jioch)的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定

4、數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣法假設(shè)某地區(qū)有高中生假設(shè)某地區(qū)有高中生24002400人，初中生人，初中生10 90010 900人，小人，小學(xué)生學(xué)生11 00011 000人此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中人此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及形成原因，要從本地區(qū)中小學(xué)小學(xué)生的近視情況及形成原因，要從本地區(qū)中小學(xué)生中抽取的學(xué)生進行調(diào)查生中抽取的學(xué)生進行調(diào)查由于樣本容量與總體的個體數(shù)的比是由于樣本容量與總體的個體數(shù)的比是1:100, 1:100, 因此因此, ,樣樣本中包含的各部分的個體數(shù)應(yīng)該是本中包含的各部分的個體數(shù)應(yīng)該是2 400/100

5、10 900/100 11 000/1002 400/100 10 900/100 11 000/100即抽取即抽取2424名高中生，名高中生，109109名初中生和名初中生和110110名小學(xué)生作名小學(xué)生作為樣本為樣本第2頁/共31頁第二頁，共32頁。3. 等距抽樣(系統(tǒng)抽樣: Systematic Sampling)等距抽樣是在總體中每隔一定距離選取一個(y )樣本，即從數(shù)量為的總體中每隔k個單位就選取一個(y )樣本，若需選擇n個樣本，則取k=N/n, k的值需取整(如遇到N/n不是整數(shù)的情況，可以先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除)某學(xué)校為了了解高一年

6、級學(xué)生對教師教學(xué)的意見，打某學(xué)校為了了解高一年級學(xué)生對教師教學(xué)的意見，打算從高一年級算從高一年級500500名學(xué)生中抽取名學(xué)生中抽取5050名進行調(diào)查名進行調(diào)查首先將這首先將這500500名學(xué)生從名學(xué)生從1 1開始進行編號，然后按號碼開始進行編號，然后按號碼順序以一定的間隔進行抽取由于順序以一定的間隔進行抽取由于500/50=10,500/50=10,這個間這個間隔可以定為隔可以定為10,10,即從號碼為即從號碼為1 11010的第一間隔中隨機地的第一間隔中隨機地抽取一個號碼，假如抽到抽取一個號碼，假如抽到6 6號，然后從第號，然后從第6 6號開始，每號開始，每隔隔1010個號碼抽取一個，得到

7、個號碼抽取一個，得到 6, 16, 26, 36,4966, 16, 26, 36,496這樣我們就得到一個容量為這樣我們就得到一個容量為5050的樣本的樣本第3頁/共31頁第三頁，共32頁。4. 整群抽樣(chu yn)(Cluster Sampling) 整群抽樣(chu yn)就是從總體中成群成組地抽取調(diào)查單位，而不是一個一個地抽取調(diào)查單位。整群抽樣(chu yn)與分層抽樣(chu yn)有相似之處，即它們的第一步都是根據(jù)某種標(biāo)準將總體劃分為一些子群。分層抽樣(chu yn)是在所有子群中均要抽取樣本，作為總體樣本的一部分。而整群抽樣(chu yn)則不然，它是抽取若干子群并將抽出的子

8、群中全部個體作為樣本，因此總體樣本只分布在幾個群中。某大學(xué)共有某大學(xué)共有100個班級，每班個班級，每班30人，共人，共3000人。人?，F(xiàn)要抽現(xiàn)要抽300人作為樣本，就可以采取隨機的辦法人作為樣本，就可以采取隨機的辦法抽抽10個班。個班。整群抽樣的優(yōu)點是可以(ky)簡化抽樣的過程；降低收集資料的費用；擴大抽樣的應(yīng)用。其缺點是樣本分布不均勻，樣本的代表性較差。第4頁/共31頁第四頁，共32頁。5. 方便抽樣(Convenience Sampling) 方便抽樣又稱為就近(jijn)抽樣、偶遇抽樣和自然抽樣，它是一種非概率抽樣方法。方便抽樣是指調(diào)查者根據(jù)現(xiàn)實情況，以自己方便的形式抽取偶然遇到的人作為

9、調(diào)查對象，或者僅僅選擇那些離得最近的、最容易找到的人作為調(diào)查對象。為了調(diào)查某市的交通情況，研究者到離他最近的公共汽為了調(diào)查某市的交通情況，研究者到離他最近的公共汽車站，把當(dāng)時正在那里等車的人選作調(diào)查對象。車站，把當(dāng)時正在那里等車的人選作調(diào)查對象。 在圖書館閱覽室對當(dāng)時正在閱讀的讀者進行調(diào)查在圖書館閱覽室對當(dāng)時正在閱讀的讀者進行調(diào)查 。第5頁/共31頁第五頁，共32頁。6. 判斷抽樣(Judgment Sampling)判斷抽樣又稱為主觀抽樣和立意抽樣，它是一種非概率抽樣方法。判斷抽樣是根據(jù)合理的判斷而得到具有代表性的樣本的一種抽樣方法。如果判斷正確，使用(shyng)判斷抽樣既節(jié)約時間又節(jié)省成

10、本，但 通常就一個判斷而言，有時出現(xiàn)判斷錯誤是不可避免的。某記者可以抽取他認為能夠代表所有參議員觀點某記者可以抽取他認為能夠代表所有參議員觀點的兩名或三名參議員進行調(diào)查。的兩名或三名參議員進行調(diào)查。第6頁/共31頁第六頁，共32頁。7. 定額抽樣(配額抽樣：Quota Sampling)定額抽樣是一種非概率抽樣方法。 定額抽樣與分層抽樣相似，也是按調(diào)查對象的某種屬性或 特征將總體中所有(suyu)個體分成若干類或?qū)?，然后在各層中?樣，樣本中各層（類）所占比例與他們在總體中所占比例 一樣。定額抽樣的目的在于要抽選出一個總體的“模擬物” 。 某高校有某高校有2000名學(xué)生，其中男生占名學(xué)生，其中

11、男生占60，女生占，女生占40；文科學(xué)生和理科學(xué)生各占文科學(xué)生和理科學(xué)生各占50；一年級學(xué)生占；一年級學(xué)生占40，二，二年級、三年級、四年級學(xué)生分別占年級、三年級、四年級學(xué)生分別占30、20和和10?，F(xiàn)要用定額抽樣方法依上述三個變量抽取一個規(guī)模為現(xiàn)要用定額抽樣方法依上述三個變量抽取一個規(guī)模為100人的樣本?？傻枚~表如下：人的樣本?？傻枚~表如下： 男生（男生（60） 女生（女生（40） 文科（文科（30） 理科（理科（30） 文科（文科（20） 理科（理科（20）年級年級 一一 二二 三三 四四 一一 二二 三三 四四 一一 二二 三三 四四 一一 二二 三三 四四人數(shù)人數(shù) 12 9 6 3

12、 12 9 6 3 8 6 4 2 8 6 4 2第7頁/共31頁第七頁，共32頁。8. 滾雪球抽樣(Snowball Sampling) 滾雪球抽樣是一種非概率抽樣方法。 在無法了解總體情況時，可以從總體中的少數(shù)成員入手，對他們進行調(diào)查(dio ch)，向他們詢問還知道哪些符合條件的人；再去找那些人并詢問他們知道的人。如同滾雪球一樣，我們可以找到越來越多具有相同性質(zhì)的群體成員。這樣的抽樣方法就是滾雪球抽樣方法。要研究退休老人的生活，可以清晨到公園去結(jié)識幾位散步要研究退休老人的生活，可以清晨到公園去結(jié)識幾位散步老人，再通過他們結(jié)識其朋友，不用很久，你就可以交上老人，再通過他們結(jié)識其朋友，不用很

13、久，你就可以交上一大批老年朋友一大批老年朋友 。第8頁/共31頁第八頁，共32頁。二抽樣分布與參數(shù)估計1. 正態(tài)分布與總體均值的區(qū)間估計 (1) 正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為其中,0為常數(shù)(chngsh)，則稱服從參數(shù)為,的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為(,2).當(dāng)=0, =1時，為標(biāo)準正態(tài)分布，記作(0,1). 從經(jīng)驗和理論的研究告訴我們，在實踐中遇到的隨機變量，有許多是服從或近似地服從正態(tài)分布律,f(X) =21e- (x-)2 22 x +第9頁/共31頁第九頁，共32頁。正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的曲線簡稱為正態(tài)曲線下圖給出條正態(tài)曲線，它們的都等于零，但卻具有不同的值從

14、圖可以看出，正態(tài)曲線具有下述性質(zhì):1) 曲線是位于橫軸的上方，以直線x=為對稱軸，它向左 右對稱地?zé)o窮伸延，并且以橫軸為漸進(jinjn)線當(dāng)x=時曲線處于最高點，當(dāng)x向左右遠離時，曲線逐漸降低，整條曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀參數(shù)決定了正態(tài)曲線的形狀特點第10頁/共31頁第十頁，共32頁。 (2) 中心極限定理 設(shè)從均值為，方差為2的一個服從任意分布的總體中，抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值 的抽樣分布近似服從均值為，方差為2/n的正態(tài)分布中心極限定理告訴我們，當(dāng)樣本總體不是正態(tài)分布或者總體的分布未知時，只要(zhyo)樣本容量n充分大，樣本均值就服從正態(tài)分布那么n多大才叫充分

15、大呢?當(dāng)總體的分布未知時，通常要求n30.X第11頁/共31頁第十一頁，共32頁。 (3). 2已知時，總體均值的區(qū)間(q jin)估計 設(shè)(X1,X2,Xn)是來自正態(tài)總體(,)的一個樣本，其中總體方差已知，則統(tǒng)計量 N(0,1). 對于給定的顯著性水平(030時) t 分布和正態(tài)分布很接近t 分布通常是在小樣本情況下，總體方差未知時，對總體均值的估計(gj)和假設(shè)檢驗中使用則選取(xunq)統(tǒng)計量其中第15頁/共31頁第十五頁，共32頁。(2) 2未知時，總體均值(jn zh)的區(qū)間估計設(shè)(X1,X2,Xn)是來自正態(tài)總體(,)的一個樣本，但總體方差未知，這時要選取統(tǒng)計量 , 則 對于給定

16、的顯著性水平(01), 總體均值(jn zh)在置信水平1-下的置信區(qū)間為: t= X-S / nt= X-S / n t(n-1).) 1(,) 1(22nSntXnSntX第16頁/共31頁第十六頁，共32頁。案例: 研究者從人群中隨機抽取16人，調(diào)查他們的年出游天數(shù)，得到他們的年出游天數(shù)分別為13天9天 7天 15天 17天 20天 12天 6天 12天 12天 10天9 天 16天 7天 8天 11天，假設(shè)其總體服從正態(tài)分布，試在=0.1下建立年人均出游天數(shù)的置信區(qū)間.已知n=16, =0.1 計算得:查表得: t =1.753 根據(jù)公式，總體均值在置信水平90%下的置信區(qū)間為:也就是

17、說，有90%的把握相信，年人均出游天數(shù)大約在9.8天到13.2天之間 Xi =11.5X = n1i=1ni=1n( Xi-X)21n-1 = 3.96S=2(X t (n-1) ,2Sn X + t (n-1) )2Sn11.5 + 1.753 3.9616)= (11.5-1.753 3.9616,= (9.77, 13.24)第17頁/共31頁第十七頁，共32頁。第18頁/共31頁第十八頁，共32頁。 3. 總體比例(bl)的區(qū)間估計(1) 樣本比例(bl)的分布 樣本比例(bl) p 是樣本中具有某種特征的單位數(shù)量除以樣本中的單位總數(shù)n得到的. 總體中具有某種特征的單位占全部單位的比例

18、(bl)稱為總體比例(bl)，記作p. 在大樣本情況下，樣本比例(bl)分布近似于正態(tài)分布若從總體中抽取n個樣本，則樣本比例(bl) p 的均值為p,p 的方差為 p = nXn1p (1-p),即 p N (p, p (1-p)n1Z= p-pp(1-p)n則統(tǒng)計(tngj)量 N(0,1).第19頁/共31頁第十九頁，共32頁。 (2)總體比例的區(qū)間估計在 中，要確定p的區(qū)間估計，用p 代替分母中的p,得到(d do)在1-的置信水平下，總體比例p值的置信區(qū)間為: 在上式中， 是點估計， P (1-P)nZ= p-p 是估計(gj)誤差PnPPZ)1 (2)1 (,)1 (22nPPZPn

19、PPZP第20頁/共31頁第二十頁，共32頁。案例: 航空公司的飛行時間和價格是商務(wù)旅行者選擇航班的重要因素，調(diào)查結(jié)果表明，商務(wù)旅行者一般將航空 公司許諾的?？驼劭劭闯墒亲钪匾囊蛩卦谝粋€由1993名商務(wù)旅行者組成的簡單隨機樣本中，有618人認為折扣是他們最看好的東西試在0.95的置信水平下，估計認為折扣最有吸引力的人數(shù)所占的比例= (0.29, 0.33)p(1 - p)n( p Z 2,p(1 - p)n p + Z 2 已知, n=1993, p =618/1993=0.31, 1-= 0.95 查表得: Z2= Z0.025= 1.96由得知, 認為折扣最有吸引力的人數(shù)所占的比例為29

20、% 33%之間之間.第21頁/共31頁第二十一頁，共32頁。pp)第22頁/共31頁第二十二頁，共32頁。 4. 樣本容量的確定(1) 估計(gj)總體均值時，樣本容量的確定在大樣本情況下，不論是正態(tài)總體還是非正態(tài)總體，在估計(gj)總體均值時，我們都選取統(tǒng)計量 其中，-就是估計(gj)誤差，記估計(gj)誤差為，= X-, 則 得到估計(gj)總體均值時的樣本容量為: X-Z= / n, Z= / n2Zn= 222第23頁/共31頁第二十三頁，共32頁。 案例: 某飯店為了合理配置前臺接待人員，飯店管理部 門需要了解接待一名顧客所花費的時間，要求估計誤差不超過2分鐘，假定一名服務(wù)員接待一名

21、顧客花費時間的標(biāo)準差為4分鐘，問在99%的置信水平下，需要觀察多少名顧客?2Z= Z 0.005 = 2.58 查表得:n= 222Z2=(2.58)2(4)222= 26.6于是， 已知估計誤差=2, 標(biāo)準差=4, 1-=0.99, =0.01即需要觀察27名顧客。 第24頁/共31頁第二十四頁，共32頁。第25頁/共31頁第二十五頁，共32頁。(2) 估計總體比例時,樣本容量的確定估計樣本比例時,選取統(tǒng)計(tngj)量 ,估計誤差為, = p p = Z2p(1-p)nP (1-P)nZ= p-p在上式中, 總體比例(bl) p 是待估參數(shù),是未知的,選取 進行計算,這樣求出的應(yīng)是最大的樣本容量. 一家旅行社需要了解出國游人數(shù)所占的比例,要求估計誤差不超過0.05,問在95%的置信水平下,應(yīng)抽取多大容量的樣本?已知: =0.05, 選取p=0.5, 查表得Z = Z2p(1-p)n 385即應(yīng)選取385人進行調(diào)查.2= 1.96第26頁/共31頁第二十六頁，共32頁。P181.題2：(p.176) 某學(xué)校對一年級學(xué)生的考試成績(chngj)進行評估,現(xiàn)隨機抽取了10個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(chngj),得到如下數(shù)據(jù)：83,88,54,63