高等數(shù)學(xué)第五章菏澤學(xué)院

1、習(xí)題51(A)1判斷下列敘述是否正確？并說(shuō)明理由：（1）如果函數(shù)僅在區(qū)間上有界，它在上未必可積，要使其可積，它在上必須連續(xù)；（2）如果積分（）存在，那么；（3）性質(zhì)5也常稱為積分不等式，利用它（包括推論）結(jié)合第三章的有關(guān)知識(shí)，可以估計(jì)積分的值、判定積分的符號(hào)，也可證明關(guān)于定積分的某些不等式；（4）定積分的中值定理是一個(gè)非常重要的定理，利用它既能達(dá)到去掉積分號(hào)的目的，還能計(jì)算被積函數(shù)在積分區(qū)間上的平均值.答：（1）前者正確如狄利克雷函數(shù)在區(qū)間（其中）上有界，但是它在區(qū)間上不可積，事實(shí)上：將任意分成個(gè)小區(qū)間，（其中）記第個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為，先在上取為有理數(shù)，則，再在上取為無(wú)理數(shù)，則，對(duì)于的不同取法黎曼

2、和的極限不同，所以在區(qū)間上不可積；后者不正確，參見(jiàn)定理1.1（2）正確事實(shí)上：由于在區(qū)間上可積，則對(duì)的任意分法，的任意取法，都有，現(xiàn)在對(duì)區(qū)間等分，去在小區(qū)間的右分點(diǎn)，則，并且等價(jià)于，所以（3）正確它是證明關(guān)于定積分不等式的基礎(chǔ)，參見(jiàn)例題1.3、1.4、1.5等（4）正確它可以起到去掉積分號(hào)的作用；也可以用來(lái)表示連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值，但是由于位置不好確定，一般不用它來(lái)計(jì)算平均值，而是直接計(jì)算.2自由落體下落的速度，用定積分表示前10秒物體下落的距離. 解：根據(jù)定積分引入的實(shí)例，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，所以3一物體在力作用下，沿軸從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，用定積分表示力所做的功.解：將位移區(qū)間任意分成個(gè)小區(qū)間

3、，（其中）記第個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為，在上任取一點(diǎn)，用近似代替物體從移動(dòng)到時(shí)所受的力，則，于是，記，則（假定極限存在）.4用定積分的幾何意義求下列積分值：（1）； （2）.解：（1）如圖，上半圓的面積，根據(jù)定積分幾何意義，所以， （2）如圖，面積，根據(jù)定積分幾何意義，所以，5若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用定積分的幾何意義說(shuō)明：（1） 當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，；（2） 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，. 解：（1）如圖1，當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，由對(duì)稱性，面積，根據(jù)定積分幾何意義，. （2）如圖2，當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，由對(duì)稱性，面積，根據(jù)定積分幾何意義，.6比較下列各對(duì)定積分的大?。海?）與； （2）與；（3）與；（4）與.解：（1）因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，

4、即 （2）因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，即 （3）因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，即 （4）因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以，即7估計(jì)下列定積分的值：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）設(shè)，在區(qū)間上顯然，又，于是函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值，而區(qū)間長(zhǎng)度，根據(jù)，得 （2）設(shè)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，于是在區(qū)間上的最小值為，最大值，而區(qū)間長(zhǎng)度，根據(jù)，得 （3）設(shè)，則，在區(qū)間上，于是函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)減少，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值，而區(qū)間長(zhǎng)度，根據(jù)，得 （4）設(shè)，則，有，在區(qū)間內(nèi)得駐點(diǎn)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值，而區(qū)間長(zhǎng)度，根據(jù)，得8證明下列不等式：（1）； （2）.證明：（1）在區(qū)間上顯然有，所以.

5、 （2）設(shè)，在區(qū)間上，于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，從而，即在區(qū)間上，所以.習(xí)題51(B)1右圖給出了做直線運(yùn)動(dòng)的某質(zhì)點(diǎn)在0到9s內(nèi)的速度圖象，求它在這段時(shí)間間隔內(nèi)所走的路程.解：質(zhì)點(diǎn)在0到9s內(nèi)所走的有效路程為陰影面積的 代數(shù)和，即（單位）； 質(zhì)點(diǎn)在0到9s內(nèi)所實(shí)際走的路程為陰影面積的和，即（單位）2用定積分中值定理求下列極限：（1）； （2） 解：（1）由定積分中值定理，（其中），于是 （2）由定積分中值定理，（其中），由，有等價(jià)于，于是3若函數(shù)在區(qū)間（）上連續(xù)，且不恒等于，證明證明：設(shè)，由題目已知，在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且又不恒等于零，于是有，使得，由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在區(qū)間內(nèi)恒有，設(shè)區(qū)間（），所以

6、，即，再由定積分的線性性，得4證明下列不等式： （1）；（2）（其中是正整數(shù)）.證明：（1）設(shè)，則，由，在區(qū)間內(nèi)得駐點(diǎn)，又，于是函數(shù)在區(qū)間的最小值為，最大值為，從而，因?yàn)?，所以 （2）在區(qū)間上顯然有，且等號(hào)不恒成立，而函數(shù)、 都連續(xù)，根據(jù)本節(jié)習(xí)題（B）3，有，而由用定積分的幾何意義得，所以習(xí)題52(A)1判斷下列敘述是否正確？并說(shuō)明理由：（1）在定理2.1的證明中，被積函數(shù)連續(xù)的條件是不可缺少的；（2）在連續(xù)、可導(dǎo)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的值；（3）在連續(xù)、及可導(dǎo)時(shí)，通過(guò)將化成兩個(gè)變上限定積分，可求得；（4）使用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算定積分，首先要找到被積函數(shù)在積分區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，然

7、后求該原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量答：（1）正確定理的證明中兩次用到連續(xù)性，一次是使用定積分中值定理時(shí)，再一次是最后求極限時(shí)（2）不正確應(yīng)該是，即被積函數(shù)在上限處的值與上限處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之積（3）正確將函數(shù)改寫(xiě)為，再根據(jù)（2）求導(dǎo)（4）正確這就是牛頓萊布尼茲公式（其中是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)），但是要注意被積函數(shù)的連續(xù)性，對(duì)分段函數(shù)（或分區(qū)間連續(xù)函數(shù)）要分區(qū)間求2計(jì)算下列定積分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）（11）； （12）；（13）； （14），其中解：（1） （2） （3） （4） （5）（6） （7） （8） （9）（10） （

8、11） （12） （13） （14）3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）； （2）；（3）； （4）.解：（1） （2） （3） （4）4求下列極限： （1）； （2）； （3）； （4）.解：（1） （2） （3） （4）習(xí)題52(B)1 求變力沿?cái)?shù)軸從點(diǎn)到點(diǎn)所做的功.解：如圖，此圖形面積為兩個(gè)曲邊梯形面積之差 2設(shè)函數(shù)由方程，求.解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，解得3若函數(shù)連續(xù)，設(shè)，求.解：，根據(jù)乘積求導(dǎo)法則，4證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.證明：函數(shù)在內(nèi)有定義，由得唯一駐點(diǎn)，又，于是是函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)，從而也是最小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.5若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，設(shè)，在區(qū)間內(nèi)證明.

9、證明： （方法1）由定積分中值定理， （其中），由，有函數(shù)單調(diào)減少，而，得， 所以在區(qū)間內(nèi)證明. （方法2）因?yàn)椋裕ǎ?由，有函數(shù)單調(diào)減少，而，于是，得，所以在區(qū)間內(nèi)證明. （方法3）設(shè)，則， 于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)減少，所以.6若函數(shù)可導(dǎo)，且，求極限.解： （注：由于未必連續(xù)，因此極限不能再用洛必達(dá)法則）7設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，且，證明方程在開(kāi)區(qū)間有且僅有一個(gè)實(shí)根.證明：設(shè)，根據(jù)已知函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，又 ，由于連續(xù)函數(shù)，則，從而，由零點(diǎn)定理，方程在開(kāi)區(qū)間至少有一個(gè)實(shí)根.而，單調(diào)增加，于是方程至多有一個(gè)實(shí)根，即方程在開(kāi)區(qū)間至多有一個(gè)實(shí)根. 綜上，證明方程在開(kāi)區(qū)間有且僅有一個(gè)實(shí)根.8若函數(shù)求函

10、數(shù)在內(nèi)的表達(dá)式解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，習(xí)題53(A)1判斷下列敘述是否正確？并說(shuō)明理由：（1）在定積分的換元積分法中，要求被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，換元函數(shù)在以為端點(diǎn)的區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，就能保證在或上可積；（2）對(duì)定積分進(jìn)行換元時(shí)，需要注意的是換元的同時(shí)要換積分限，這時(shí)還要特別注意換元后積分的下限要小于上限；（3）定積分也有與不定積分類似的湊微分法與三角代換法等換元法，具體采取哪種換元法，其依據(jù)與不定積分是相同的；（4）在利用奇、偶函數(shù)的積分性質(zhì)時(shí)，不僅要注意被積函數(shù)的奇偶性，而且還要注意積分區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)必須是對(duì)稱的.答：（1）正確此時(shí)在或上是連續(xù)的，因此它可積.（2）不正確如，則，

11、其中下限大，上限??；對(duì)積分作換元，原積分下限對(duì)應(yīng)的值在換元后積分的下限上，原積分上限對(duì)應(yīng)的值在換元后積分的上限上. （3）正確.（4）正確但是還需注意函數(shù)是可積的2計(jì)算下列定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10）（11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）.解：（1）令，則，于是 （2）令，則，于是 （3）令，則，于是 （4）令，則，于是 （5）令，則，于是（6）令，則，于是 （7）令，則，于是 （8） （9） （10）（11） （12） （13） （14） （15） （16）3計(jì)算下列定積分：（1）； （2）；

12、（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）. 解：（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）因?yàn)?， 有，所以 （8）對(duì)積分，令，則，于是，所以，4試選擇簡(jiǎn)便的方法計(jì)算下列定積分：(1) ； (2) ；(3) ； （4）.解：（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以 （2）設(shè)，于是是奇函數(shù)，所以 （3）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以 （4）因?yàn)槭菫橹芷诘钠婧瘮?shù)，所以5若函數(shù)連續(xù)，證明下列定積分等式：（1）； （2）.（3）；（4） .證明：（1）令，則 （2）令，則 （3）令，則 （4）令，則習(xí)題53(B)1計(jì)算下列定積分：（1）； （2）； （3）， 其中（4）， 其中.解：（1）令，則，于是 .（

13、2）令，則，于是 或：令，則，于是 （3）令，則 （4） 對(duì)積分，令，則，所以2設(shè)，證明并計(jì)算.證明：.3證明，并由此計(jì)算該積分值.證明：記，令，則.4若函數(shù)連續(xù)，設(shè)，求.解：（方法1）令，則，所以 （方法2）設(shè)的原函數(shù)為（連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)），則 ， 所以，5若函數(shù)連續(xù)，證明下列定積分等式：（1）；（2）；（3）.證明：（1）令，則 ，于是，所以， （2）令，則 （3），在右式第二個(gè)積分中，令，則，所以6設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且滿足，求.解：記，則，此等式兩邊同時(shí)乘，然后再區(qū)間上求積分，有，即 ，所以，習(xí)題54(A)1下列敘述是否正確？并按照你的判斷說(shuō)明理由：(1)無(wú)論是無(wú)窮（限）積分還是無(wú)

14、界函數(shù)的積分（瑕積分），它們的收斂性都是利用“定積分”與“極限”這兩個(gè)基本概念作“已知”來(lái)定義的；（2）積分收斂，是指與都收斂，若發(fā)散，則與都發(fā)散；(3) 無(wú)論是無(wú)窮（限）積分還是無(wú)界函數(shù)的積分（瑕積分），在它們收斂時(shí)，要計(jì)算其值，一般可以利用推廣的牛頓萊布尼茲公式，而不必再利用定義轉(zhuǎn)化為求定積分的極限.答：（1）正確見(jiàn)定義4.1及定義4.2.（2）前者正確見(jiàn)4.4式及以下（注意積分限中的“0”可以是某一個(gè)實(shí)數(shù)）；后者不正確若發(fā)散，則兩個(gè)積分與中可能只有一個(gè)發(fā)散，如，也可以兩個(gè)都發(fā)散如（3）正確參加教材第13至17行，第1至7行2先判斷下列廣義積分是否收斂，對(duì)于收斂的積分再計(jì)算其值：（1）；

15、（2）；（3）（）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）；（11）； （12）.解：（1），所以，此無(wú)窮積分收斂，且積分值為 （2），所以，此無(wú)窮積分發(fā)散 （3），所以，此無(wú)窮積分收斂，且積分值為 （4），所以，此無(wú)窮積分發(fā)散（5）因?yàn)椋?， 以上兩個(gè)積分都收斂，所以收斂，且 （6）， 所以，此無(wú)窮積分收斂，且積分值為（7），所以，此無(wú)窮積分收斂，且積分值為 （8）因?yàn)?，所以下限是瑕點(diǎn)，所以，此瑕積分發(fā)散（9）因?yàn)?，所以上限是瑕點(diǎn)， 所以，此瑕積分收斂，且積分值為 （10）因?yàn)?，所以上限是瑕點(diǎn)，所以，此瑕積分收斂，且積分值為 （11）因?yàn)?，所以是瑕點(diǎn)此積分應(yīng)分為與

16、討論，因?yàn)椋?，瑕積分發(fā)散，從而瑕積分發(fā)散（12）因?yàn)?，所以下限是瑕點(diǎn)，所以，此瑕積分收斂，且積分值為 習(xí)題54(B)1有一個(gè)長(zhǎng)為的細(xì)桿均勻帶電，總電量為，若在桿的延長(zhǎng)線上距點(diǎn)為處有一個(gè)單位正電荷，現(xiàn)將單位正電荷從處沿桿的延長(zhǎng)線方向移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，試求克服電場(chǎng)引力所做的功.解：如圖取坐標(biāo)，點(diǎn)為原點(diǎn)，設(shè)單位正電荷位于處時(shí)，受細(xì)桿產(chǎn)生的電場(chǎng)力為，則（其中是引力系數(shù)） 2下列廣義積分是否收斂？（1）； （2）（）. 解：（1） （2）因?yàn)?，所以下限是瑕點(diǎn)（方法1）令，則，于是 （方法2）令，則，于是 （方法3）令，則，于是3建立的遞推公式，并由此計(jì)算.解：.4已知廣義積分 求廣義積分.解：由于，所

17、以不是瑕點(diǎn).，令，則5當(dāng)為何值時(shí)，廣義積分收斂？當(dāng)為何值時(shí)，這個(gè)廣義積分發(fā)散？又問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，這個(gè)廣義積分取得最小值？解：當(dāng)時(shí)，廣義積分發(fā)散；當(dāng)時(shí)，廣義積分發(fā)散；當(dāng)時(shí)，廣義積分收斂所以，當(dāng)時(shí)，該廣義積分收斂于，當(dāng)時(shí)，該廣義積分發(fā)散在時(shí)，記，則，由，得唯一駐點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，從而是的最小值點(diǎn)，所以當(dāng)廣義積分取最小值習(xí)題55(A)1下面的敘述是否正確？并說(shuō)明理由：利用微元法時(shí)首先要確定所求的量可以看作是定義在哪個(gè)區(qū)間上的非均勻變化的連續(xù)量，在該區(qū)間上任取一個(gè)微小區(qū)間，在上 “以勻（常）代變”，即：將區(qū)間上對(duì)應(yīng)的量的局部量看作從起是連續(xù)均勻變化的，從而用初等方法求出

18、的近似值，即的微元.答：正確這就是建立“微元”的方法，核心是在區(qū)間上“以勻（常）代變”，但是要注意微元必須滿足：（1）函數(shù)連續(xù)，（2）（這一點(diǎn)通常是憑經(jīng)驗(yàn)）2求由下列各平面圖形的面積A：（1） 由拋物線與直線及圍成；（2） 由曲線，與直線圍成；（3） 由拋物線，與直線圍成；（4） 由雙曲線及三條直線圍成；（5） 橢圓周所圍的內(nèi)部；（6） 星形線所圍的內(nèi)部；（7） 位于圓周外部及圓周內(nèi)部；（8） 由阿基米德螺線上對(duì)應(yīng)于從到一段與極軸圍成.解：（1）由 得（舍去），于是. （2）由 得，又由圖形的對(duì)稱性，于是. （3）按型區(qū)域計(jì)算，由 得，于是. （4）由 得，于是. （5）由對(duì)稱性. （6）由對(duì)

19、稱性. （7）兩圓的極坐標(biāo)方程分別為，由 得， 由對(duì)稱性， . （8） 3求下列各平面圖形繞指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積： （1）由，與圍成，繞軸旋轉(zhuǎn)；（2）由，及軸圍成，繞軸旋轉(zhuǎn)；（3）由，及軸圍成，分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)；（4）由擺線的第一拱與軸圍成，繞軸旋轉(zhuǎn).解：（1）.（2） . （3）由 得，于是；. （4） 4一個(gè)垂直于軸的正三角形沿軸移動(dòng)，而在移動(dòng)過(guò)程中底邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別在曲線、（）上，求由移動(dòng)到它所生成的立體體積.解：在區(qū)間上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的正三角面積為 ，所以 5由半徑為球體上截取一個(gè)高為（）球缺，求該球缺的體積.解：如圖取坐標(biāo)，球缺的體積可以看作陰影部分圖形繞軸旋轉(zhuǎn)

20、的旋轉(zhuǎn)體體積，于是 6計(jì)算下列平面曲線的弧長(zhǎng)：（1）上，從到的一段；（2）懸鏈線上從到的一段；（3）星形線的全長(zhǎng)；（4）心臟線的全長(zhǎng).解：（1），所以 （2），所以 （3）， ，由對(duì)稱性，（4）， ， 由對(duì)稱性， 7一物體在力的作用下，從處移動(dòng)到處，求力所作的功.解： 8由物理實(shí)驗(yàn)知道：彈簧在拉伸過(guò)程中，需要的力（單位：）與伸長(zhǎng)量（單位：cm）成正比，即（為比例系數(shù)），如果把彈簧由原長(zhǎng)拉伸6 cm，計(jì)算力所做的功.解：（J）9一個(gè)半徑為1m，高為4m的圓柱形儲(chǔ)水罐，其內(nèi)盛滿了水，現(xiàn)將水全部從上口吸出，求克服重力所做的功.解：鉛直向上取為軸，原點(diǎn)在罐底（如圖），則積分區(qū)間為， 在上任取一個(gè)小區(qū)間

21、，將該層水吸出克服重力 所作的功的微元為： ，所以（kJ）10一個(gè)容器的側(cè)面是由介于之間的一段拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)拋物面，其內(nèi)盛滿了密度為的液體，現(xiàn)將液體全部從上口吸出，求克服重力所做的功. 解：如圖，積分區(qū)間為，在上任取一個(gè)小區(qū)間，將該層水吸出克服重力所作的功的微元為： ，所以11有一長(zhǎng)為3 m，寬為2 m的長(zhǎng)方形薄板鉛直沉入水中，頂部距水面2 m，且短邊與水面平行，求薄板所受的水壓力.解：如圖取坐標(biāo)，軸鉛直向下，原點(diǎn)在水面，則積分區(qū)間為， 在上任取一個(gè)小區(qū)間，則該小條薄板所受 側(cè)壓力的微元為： ，所以 (kN) 12有一條橫截面邊緣為拋物線（）（單位：m）的水渠，渠內(nèi)有一個(gè)鉛直的閘門(mén)，

22、就下列兩種情形分別計(jì)算閘門(mén)一側(cè)受到的水的壓力（1）渠內(nèi)水深2 m時(shí)；（2）渠內(nèi)水滿時(shí).解：（1）積分區(qū)間為，在上任取一個(gè)小區(qū)間，則該小條薄板所受側(cè)壓力的微元為：，所以 (kN) （2）積分區(qū)間為，在上任取一個(gè)小區(qū)間，則該小條薄板所受側(cè)壓力的微元為：，所以(kN) 習(xí)題55(B)1若曲線（）與兩坐標(biāo)軸圍成區(qū)域面積被拋物線平分，求值.解：由 得，則 ， 而 ，由，有，所以，即，得 2求拋物線及其在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線所圍成的圖形的面積.解：， 在點(diǎn)，切線斜率，切線方程為 ，即， 在點(diǎn)，切線斜率，切線方程為，即.所以 .3過(guò)點(diǎn)求一條開(kāi)口向下的拋物線，使它與軸圍成區(qū)域面積最小.解：根據(jù)拋物線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)所求拋

23、物線方程為， 又拋物線過(guò)點(diǎn)，有，得，所以，令，得，拋物線與軸圍成區(qū)域面積為： . 由，得駐點(diǎn)， 在兩側(cè)附近不變號(hào)，不是極值點(diǎn)；在左側(cè)附近，在右側(cè)附近，所以函數(shù)只有唯一極小值點(diǎn)，因此也是最小值點(diǎn)，所以當(dāng)拋物線與軸圍成區(qū)域面積最小，所求拋物線方程是4求雙紐線位于圓外的面積及位于圓內(nèi)的面積.解：由 在內(nèi)得，于是 ， ，5求圓盤(pán)繞直線（）旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積.解：6求由曲線與直線及圍成的區(qū)域繞直線旋轉(zhuǎn)一軸所形成的立體體積.解：按平行截面面積已知立體體積計(jì)算，在區(qū)間上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)用垂直于軸的平面截立體，則截面是一個(gè)圓，其面積為，所以 7將半徑為的球體沿一條直徑打一個(gè)直徑為圓孔，求剩余部分的體積.

24、解：如圖取坐標(biāo)，剩余部分的體積是陰影部分區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積.由得，所以，剩余部分的體積為 8設(shè)直線與拋物線圍成圖形面積記作；由直線、拋物線及直線圍成圖形面積記作.（1）求值，使最??；（2）求取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積.解：由 得.（1） . 記（），由，在內(nèi)得唯一駐點(diǎn)，又，于是是唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，最?。?） 當(dāng)，得9兩個(gè)半徑為的圓柱體的中心線垂直相交，求這兩個(gè)圓柱體公共部分的體積.解：如圖，取為積分變量，積分區(qū)間為，在 上任取一點(diǎn)，用垂直于軸的平面截立體，截得一個(gè)邊長(zhǎng)為正方形，其面積為，由對(duì)稱性， 10求由在區(qū)間定義的兩條曲線及軸所圍成的圖形分別

25、繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積. 解： ； 11一個(gè)密度為的瓷質(zhì)容器，其內(nèi)壁和外壁分別是拋物線和繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)面，外高為10 cm，將它鉛直放入密度為1的水中，再注入密度為3的液體，為使容器不沉沒(méi)，問(wèn)注入液體的最大深度為多少？解：設(shè)注入液體最大深度為，當(dāng)容器上端與水面相齊時(shí)，排水量為： 此時(shí)容器與注入液體的總重量為： 由，有，得，（舍去），所以，注入液體的最大深度為5 12求曲線上，從到的一段弧的弧長(zhǎng)解：，于是 13一顆人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量為173kg，在高于地面630km處進(jìn)入軌道問(wèn)把這顆衛(wèi)星從地面送到630km的高空處，克服地球引力要做多少功？解：將軸取為鉛直向上，原點(diǎn)位于地心，則衛(wèi)星

26、位于處時(shí)，所受地球引力為（其中是衛(wèi)星質(zhì)量，是地球質(zhì)量，是引力系數(shù)）, 地球半徑為，把這顆衛(wèi)星從地面送到630km的高空處，克服地球引力做功為 （J）(kJ)14用鐵錘將一鐵釘垂直擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘被擊入木板的深度成正比.在擊第一次時(shí)，將鐵釘擊入木板1cm 如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功都相等，問(wèn)第二次打擊時(shí)，鐵釘又被擊入多少？第三次呢？ 解：設(shè)鐵釘入木(cm)時(shí)，木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇椋瑒t，設(shè)第次擊打鐵釘，鐵釘又入木(cm)，克服阻力所做的功為（， ， 由，有，即，得(cm)，（舍去）； ，由，有，即，得(cm)，（舍去），所以，第二次打擊，鐵釘被擊入(cm)；第三次打擊，鐵釘被擊入

27、(cm) 15設(shè)有一長(zhǎng)度為，線密度為的均勻細(xì)棒，另有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，若（1）質(zhì)點(diǎn)在棒的延長(zhǎng)線上，距離棒的近端為個(gè)單位處；（2）質(zhì)點(diǎn)在與棒的一端垂直距離為個(gè)單位處在這兩種情況下求細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 解：（1）如圖1取坐標(biāo)，在區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間，該小段細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力微元為，所以，細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為（其中為引力系數(shù)） （2） 如圖2取坐標(biāo)，在區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間，該小段細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的微元為，于是 ； 所以，細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為總習(xí)題五1填空題： （1）定積分 ；（2）定積分 ；（3）若函數(shù)連續(xù)，設(shè)，則 ；（4）當(dāng)正數(shù)滿足 時(shí)，廣義積分收斂；（5）用定積分表示由曲線圍成第一象限區(qū)域的面積為 解：（

28、1），填： （2），填： （3）令，則，于是 ，填：（4）因?yàn)椋陨舷奘氰c(diǎn)當(dāng)時(shí)，廣義積分發(fā)散；當(dāng)時(shí)，廣義積分收斂；當(dāng)時(shí)，廣義積分發(fā)散綜上，只有在時(shí)廣義積分收斂，填： （5）由得；由得； 由得；由得， ，填：2單項(xiàng)選擇題： （1）在下列式子中，不正確的是（ ）；（A）； （B）；（C）； （D）（2）設(shè)、，則、的大小關(guān)系是（ ）； （A）； （B）； （C）； （D）（3）設(shè)是區(qū)間上連續(xù)單調(diào)減少的凹曲線，設(shè)、，則、的大小關(guān)系是（ ）； （A）； （B）；（C）； （D）（4）雙紐線所圍成圖形的面積可表示為（ ）；（A）； （B）；（A）； （B）（5）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且（為常數(shù)）則由曲線

29、及直線和所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積（ ） （A）；（B）；（C）；（D）解：（1）選B，事實(shí)上：因?yàn)槎ǚe分的結(jié)果是與積分限有關(guān)的數(shù)值（是的函數(shù)，而與積分變量無(wú)關(guān)，所以，都是正確的，只有B不正確 （2）選A，事實(shí)上：根據(jù)定積分的保號(hào)性，及奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì)，有、，所以 （3）選D，事實(shí)上：由是區(qū)間上連續(xù)單調(diào)減少的凹曲線，有，在區(qū)間上求定積分得，而，所以 （注：本題可以根據(jù)定積分的幾何意義：長(zhǎng)方形面積，曲邊梯形面積，梯形面積，如圖則）（4）選A， （5）選B， 3估計(jì)定積分的值（）.解：設(shè)函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)增加，于是在區(qū)間上的最小值，最大值，而區(qū)間長(zhǎng)度，由，得4設(shè)函數(shù)在

30、區(qū)間上連續(xù)，試證： .證明：由，得，根據(jù)定積分的保號(hào)性，有 ， 再根據(jù)定積分的線性性，得.5當(dāng)時(shí)，證明.證明：在區(qū)間上，有，且等號(hào)不恒成立，又三個(gè)函數(shù)、都連續(xù)，所以，而，所以6求下列極限： （1）； （2）； （3）.解：（1）因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以， 而，由“夾逼準(zhǔn)則”，得. （注：如果用定積分中值定理，由有，使得，盡管，但是不能保證，） （2） （3）由于，不妨設(shè)，于是，當(dāng)時(shí)，所以是“”型未定式極限，用洛必達(dá)法則，7求的值，使得，其中解：由存在且不為零，又分子極限，必定有分子極限是零，于是（介于0與之間），而，所以此時(shí)，左式存在，必須有，得 于是，所以，8設(shè)函數(shù)由方程確定，求 解：將代入方程，

31、有，得，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，有，用代入上式，有，得9計(jì)算下列定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）（ 為自然數(shù)）解：（1） （2）令，則 （3）令，則 （4）令，則，于是（5） （6） （7） （8） （9） （10）令，則，記根據(jù)教材第五章例3.14，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則 ； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則10判斷下列廣義積分的斂散性，對(duì)收斂的積分求其值： （1）； （2）；（3）； （4）解：（1）令，則 所以，該廣義積分收斂，且積分值為 （2） 所以，該廣義積分收斂，且積分值為（3）因?yàn)椋苑e分上限是瑕點(diǎn)所以，該廣義積分收斂，且積分

32、值為 （4）因?yàn)?，所以積分下限是瑕點(diǎn)所以，該廣義積分收斂，且積分值為11設(shè)函數(shù)，求積分.解：12設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，試根據(jù)下面的條件分別求 （1）； （2）解：（1）設(shè)，則，該式兩邊同時(shí)在上求定積分，有 ，即，得 ，所以 （2），則，于是，該式兩邊同時(shí)在上求定積分，有，即，得，所以13設(shè)函數(shù) , 證明證明：，對(duì)積分作換元，則 所以，14設(shè)函數(shù)連續(xù)，證明證明：對(duì)左式進(jìn)行分部積分，得 15證明證明：（方法1），對(duì)作換元，所以 （方法2）令 則 16若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，設(shè) 證明：（1）；（2）方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根證明：（1）由，利用均值不等式，得 （2）由，知道單獨(dú)增加，于是方程在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)實(shí)根；又因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)，所以在區(qū)間上連續(xù)，而，（用到習(xí)題5-1（B）3結(jié)論），根據(jù)零點(diǎn)定理，得方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根綜上，方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根17若函數(shù)連續(xù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，求解：對(duì)積分作換元，則，于是，即，兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，即，所以18求圓與心臟線圍成公共部分的面積解：由得，（方法1）（方法2） 19在拋物線（）