幾類特殊矩陣的滿秩分解及其應(yīng)用doc

1、目 錄0 引言.11 預(yù)備知識.12 幾類特殊矩陣滿秩分解.22.1 酉對稱矩陣的滿秩分解 .22.2 行（列）對稱矩陣的滿秩分解.32.3 行（列）反對稱矩陣的滿秩分解.42.4 全對稱矩陣中具有軸對稱結(jié)構(gòu)矩陣的滿秩分解.42.5 廣義延拓矩陣的滿秩分解.53 矩陣的滿秩分解的應(yīng)用.63.1 利用矩陣A的滿秩分解求廣義逆矩陣 .63.1.1 利用矩陣A的滿秩分解求廣義逆矩陣-A.63.1.2 利用矩陣A的滿秩分解求 M-P 廣義逆矩陣A.73.2 線性方程組的極小最小二乘問題 .8參考文獻(xiàn)致謝 幾類特殊矩陣的滿秩分解及其應(yīng)用趙愛霞（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅天水 741001）摘要

2、 介紹了五類特殊矩陣，即酉對稱矩陣、行（列）對稱矩陣、行（列）反對稱矩陣、全對稱矩陣及廣義延拓矩陣，的滿秩分解和求解方法，并說明了滿秩分解在求廣義逆中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 酉對稱矩陣;行（列）對稱矩陣; 行（列）反對稱矩陣;全對稱矩陣;廣義延拓矩陣;廣義逆矩陣;滿秩分解.Full Rank Decomposition and Application for some kinds of Special MatrixZHAO Aixia(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001)Ab

3、stract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition i

4、n finding generalized inverse of matrix, Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文1 幾類特殊矩陣的滿秩分解及其應(yīng)用0 引言 自 20

5、世紀(jì) 50 年代以來矩陣的理論和計算方法的研究取得了長足的發(fā)展,矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用日益廣泛.矩陣已成為人們探索新理論的工具,矩陣分解的應(yīng)用也越來越受到人們的重視,例如在文獻(xiàn)中都有不同的研究.在數(shù)值線性代數(shù)中,我們常常需要將數(shù)域上的某個已知5, 4, 3, 2P矩陣寫成若干滿足一定條件的特殊類型的矩陣之和或矩陣之積的形式,并把這種矩陣表示成為矩陣分解.矩陣分解中有一類特殊的矩陣的分解,即矩陣的滿秩分解,矩陣的滿秩分解及其相關(guān)行滿秩列滿秩矩陣的定義和相關(guān)性質(zhì)都有廣泛的應(yīng)用,本文給出幾類特殊矩陣的滿秩分解的公式和快速算法.1 預(yù)備知識定義定義( (滿秩分解)設(shè)是秩為的矩陣,若存在列滿秩矩陣和11.1A0

6、r(r）m nm rF行滿秩矩陣,使得rnG (1)=A FG則稱（1）式為矩陣的滿秩分解.A定義定義(行酉對稱矩陣)令為任意給定的負(fù)矩陣,為任意給定的正整數(shù).定義21.2m nACk為,其中*12k 1R（A; G, G, G ）*12k 1011Tkm nkRC（A; G, G, G ）=(A , A, A)為酉變換矩陣,矩陣稱為的次行酉0,iiiAA AGA G1,2,1.ik*12k 1R（A; G, G, G ）Ak對稱矩陣.定義定義(列酉對稱矩陣)令為任意給定的負(fù)矩陣,為任意給定的正整數(shù).定義21.3m nACk為,其中*12k 1C（A; G, G, G ）*12k 1011m

7、knkCC（A; G, G, G ）=(A , A, A)為酉變換矩陣,矩陣稱為的次列酉0,iiiAA AA G G1,2,1.ik*12k 1C（A; G, G, G ）Ak對稱矩陣.定義定義設(shè),矩陣的行轉(zhuǎn)置與列轉(zhuǎn)置矩陣分別為31.4=am nijA（）RA12(1)1(1)2(1)2212211112mmmnmmmnRnnaaaaaaAaaaaaa數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文2 11(1)121122(1)2221(1)(_1)(1)(1)2(1)1(1)21nnnnCmnmnmmm nmnmmaaaaaaaaAaaaaaaaa 若,則稱為行（列）對稱矩陣;()RCAA AAA若,

8、則稱為行（列）反對稱矩陣.()RCAA AA A定義定義設(shè),若則稱為全轉(zhuǎn)置陣,記為;若,則稱為41.5m nAR() ,TBAA0BA0AAA全對稱矩陣.定義定義(廣義行延拓矩陣)設(shè),可逆矩陣為任意為給定的51.6m nAC121,m nkP PPCk正整數(shù).定義為12k 1R（A; P, P, P ）,12k 1011Tkm nkRC（A; P, P, P ）=(A , A, A)其中矩陣稱為的廣義行延拓矩陣.0,iiAA AP A1,2,1.ik12k 1R（A; P, P, P ）A定義定義(廣義列延拓矩陣)設(shè),可逆矩陣為任意為給定的51.7m nAC121,m nkP PPCk正整數(shù).

9、定義為12k 1C (A; P, P, P ）,12k 1011m knkCC (A; P, P, P ）=(A , A, A)其中矩陣稱為的廣義列延拓矩陣. 0,iiAA AA P1,2,1.ik12k 1C (A; P, P, P ）A2 幾類特殊矩陣滿秩分解2.1 酉對稱矩陣的滿秩分解酉對稱矩陣有兩種形式分別為行酉對稱矩陣和列酉對稱矩陣,下面對這兩種矩陣的滿值分解做出介紹.首先,給出行酉對稱矩陣的滿秩分解.定理定理 2.1.1 設(shè),存在使令(0)m nrACr,m rr nrrFCGC.AFG則*121,( ;,) ,TkGG FF G F G FGF1分別是行滿秩矩陣和列滿秩矩陣;*,

10、G F2.*12k 1=RG（A; G, G, G ）F對于列酉對稱矩陣,其滿秩分解同行酉對稱矩陣的滿秩分解很是相似.定理定理 2.1.2 設(shè),存在使令(0)m nrACr,m rr nrrFCGC.AFG則*121,( ;,) ,TkFF GG GG GGGG數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文3 1分別是行滿秩矩陣和列滿秩矩陣;*,G F2.*12k 1=CG（A; G, G, G ）F2.2 行（列）對稱矩陣的滿秩分解 本小節(jié)主要介紹行列對稱矩陣的滿秩分解,首先介紹行對稱矩陣的滿秩分解.定理定理 2.2.1 設(shè)的滿秩分解為則行對稱矩陣nmrRB，nrrrmr,RGRFFGB的滿秩分解為n

11、mRBJBA2rm.GFJFAm這是偶數(shù)行的對稱矩陣的滿秩分解.下面介紹奇數(shù)行的對稱矩陣的滿秩分解.定理定理 2.2.2 設(shè)的滿秩分解為nmrRB,nrrrmrGRGRFFGB，則行對稱矩陣的滿秩分解為n11,RRrnmrmRBJBA)12(.mGFJFA上面已經(jīng)對行對稱矩陣給出了滿秩分解,接下來將介紹列對稱矩陣的滿秩分解,類似的有,偶數(shù)列對稱矩陣和奇數(shù)列對稱矩陣的滿秩分解.定理定理 2.2.3（偶數(shù)列對稱矩陣的滿秩分解） 設(shè)的滿秩分解為nmrRB則列對稱矩陣的滿秩分解為，nrrrmr,RGRFFGBnmnRBJBA2r. )(nGJGFA 定理定理 2.2.4（奇數(shù)列對稱矩陣的滿秩分解） 設(shè)

12、的滿秩分解為nmrRB則列對稱矩陣，nrrrmr,RGRFFGB11r,mRRF，的滿秩分解為)12(rnnmRBJBA.)(nGJGFA前面已經(jīng)給出了行列對稱矩陣的滿秩分解,現(xiàn)在我們仿照它來研究各種形式的行列反對稱矩陣的滿秩分解.2.3 行（列）反對稱矩陣的滿秩分解定理定理 2.3.1 (偶數(shù)行反對稱矩陣) 設(shè)的滿秩分解為則nmrRB，nrrrmr,RGRFFGB數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文4 行反對稱矩陣的滿秩分解為nmRBJBA2rm-.-GFJFAm定理定理 2.3.2 (奇數(shù)行反對稱矩陣)設(shè)的滿秩分解為則行nmrRB，nrr,RGRFFGBrmr反對稱矩陣的滿秩分解為nmrm

13、RBJBA)12(-0.-0mGFJFA定理定理 2.3.3（偶數(shù)列反對稱矩陣） 設(shè)的滿秩分解為nmrRB則列對稱矩陣的滿秩分解為，nrrrmr,RGRFFGBnmnRBJBA2r. )(nGJGFA定理定理 2.3.4（奇數(shù)列反對稱矩陣） 設(shè)的滿秩分解為nmrRB則列對稱矩陣的滿秩分解為,FGB ，nrrrmrRGRF)12(r0nmnRBJBA. )0(nGJGFA下面我們來介紹另一類特殊矩陣全對稱矩陣中具有軸對稱結(jié)構(gòu)矩陣的滿秩分解,同樣地,有比較多的形式.2.4 全對稱矩陣中具有軸對稱結(jié)構(gòu)矩陣的滿秩分解定理定理 2.4.1 (偶數(shù)行偶數(shù)列全對稱矩陣) 設(shè)的滿秩分解為nmrRB,FGB 則

14、矩陣的滿秩分解為，nrrrmrRGRFnmnmRBJJBJBJBA22rmn.(n）GJGFJFAm定理定理 2.4.2 (偶數(shù)行奇數(shù)列全對稱矩陣) 設(shè)的滿秩分解為nmrRB則矩陣，1rnrrrmr,RFRGRFFGB的滿秩分解為)12(2nmrnmmmnRBJJJBJBJBA數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文5 .nmGJGFJFA定理定理 2.4.2 (奇數(shù)行偶數(shù)列全對稱矩陣) 設(shè)的滿秩分解為nmrRB，rmr,RFFGB則矩陣的滿秩分解為，nrrRG，1r,RGnmrRJBJBA2)12(nmmnnBJJBJ.nmGJGFJFA定理定理 2.4.2 (奇數(shù)行奇數(shù)列全對稱矩陣)設(shè)的滿秩分

15、解為nmrRB，rmr,RFFGB則矩陣，nrrRG，n1r1,RRG的滿秩分解為nmn000BJJBJJBJBAmn)12(12nmrR）（.0nmGJGFJFA定理定理 2.4.2 (奇數(shù)行奇數(shù)列全對稱矩陣)設(shè)的滿秩分解為nmrRB，rmr,RFFGB,則矩陣，nrrRG1m1rRRF，的滿秩分解為nmmn000BJJJBJBJBAm)12(12nmrR）（.0nmGJGFJFA2.5 廣義延拓矩陣的滿秩分解定理定理 2.5.1 (廣義行延拓矩陣) 設(shè)的滿秩分解為則廣nmrRB，rmr,RFFGB，nrrRG義行延拓矩陣的滿秩分解為nkmr1k21),;(RPPPBRA，.),;(1k21

16、GPPPFRA，定理定理 2.5.2 (廣義列延拓矩陣) 設(shè)的滿秩分解為則廣nmrRB，rmr,RFFGB，nrrRG義列矩陣的滿秩分解為nmr1k21),;(kRPPPBCA，).,;(1k21PPPGFCA，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文6 3 矩陣的滿秩分解的應(yīng)用3.1 利用矩陣的滿秩分解求廣義逆矩陣A廣義逆矩陣概念早在 1920 年就被提出,但是沒有受到人們的關(guān)注.至到 1955 年R.Penrose 通過線性方程組的研究來定義廣義逆矩陣,這才受到關(guān)注.3.1.1 利用矩陣的滿秩分解求廣義逆矩陣A-A在這里首先介紹最一般的廣義逆矩陣的概念,并利用矩陣的滿秩分解來求解一個矩陣的廣義

17、逆矩陣A.A定義定義 （廣義逆矩陣）設(shè),若存在,使得61 . 1 . 1 . 3-AnmCAmnCGAAGA則稱是的廣義逆矩陣,并記為GA. AG 有了矩陣的滿秩分解和廣義逆矩陣的定義,現(xiàn)在給出對矩陣?yán)镁仃嚨臐M秩分解求-AA廣義逆矩陣的算法A定理定理 3.1.1.13.1.1.1 設(shè),且存在可逆矩陣使得nCAmrnm,minrrankAnnmCQCP,m,有滿秩分解, 則有000rIPAQAFGA .000,rPIQAFGA或例例 3.1.1.1 試?yán)镁仃嚨臐M秩分解求如下矩陣的一個廣義逆矩陣.A-A.111100011200A解解 顯然，先求的滿秩分解:2rankAA.0000001000

18、11111100011200A取,從而.100011GFGAF，得11100120數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文7 再求:,GF.12145162111110210106112)(11HHFFFF 100210212002100101)(11-HHGGGG于是 .242-851-62-51-62-2211214516211110021021FGA3.1.2 利用矩陣的滿秩分解求 M-P 廣義逆矩陣AA接下來將介紹由 Moore 和 Penrose 研究出的 M-P 廣義逆,并研究利用矩陣滿秩分解來求解一個矩陣的 M-P 廣義逆矩陣A.A定義定義（廣義逆矩陣）設(shè),若存在,使得61 . 2

19、. 1 . 3AnmCAmnCG;AA AG;GGAG ;)(AGAGH;)(GAGAH則稱是的廣義逆矩陣,并記為GAPM . AG定理定理 3.1.2.2 設(shè),且是的滿秩分解,則有nCAmrFGA A,)()(11HHHHBBBDDDG就是的一個廣義逆矩陣并且是惟一的.APM ，AA特別地, 對于行滿秩和列滿值秩矩陣,我們有 設(shè)是一個行滿秩矩陣,則有nmCF;)(1HHFFFF 設(shè)是一個列滿秩矩陣,則有nmCG.)(1HHGGGG例例 3.1.2.1 設(shè)矩陣為A,55444411A數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文8 求的廣義逆矩陣APM .A 解解 取則的滿秩分解,由引理可得,5441,

20、11GFAFGA是) 11 ()1111(11HHFFFF）（ ,2121 ,544158154415441544111）（HHGGGG于是FGA1165291291116111652912911161212154415813.2 線性方程組的極小最小二乘問題在高等代數(shù)中,對于給定的矩陣,向量,存在矩陣使得是線nnCAnCbnnCGGbx 性方程組有解的充要條件是.同樣的，對于相容線性方程組bAx1 AG的解與廣義逆矩陣也有類似結(jié)果:）)(b( , bARAx-A對于給定的矩陣,對任何,存在矩陣使得是線性方程組nmCA)(ARbmnCGbGx 相容的充要條件是進(jìn)而, 線性方程組相容的充要條件是

21、bAx. AGbAx. bbAA事實上,由上面得到的結(jié)論是的解,于是另外,令bAxbAx. bbAA,這說明方程組有解即，故線性方程組相容.bbAAAbAx00 x,則bAx)(ARbbAx 現(xiàn)在利用線性方程組的系數(shù)矩陣的廣義逆矩陣可以給出相容線性方程組bAxA-A的通解.由于是相容線性方程組的一個特解,并根據(jù)非其次線性方程組的bAxb-Ax bAx解的結(jié)構(gòu)可以得到,的通解是由它的特解和齊次線性方程組的通解bAx0Ax組成.)( ,n為任意向量）（yyAAIx數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文9 定理定理 3.2.1 設(shè)矩陣,則相容線性方程組的通解為nmCAbAx. )( ,bn為任意向量）

22、（yyAAIAx例例 3.2.1 求線性方程組103233x3212131xxxxxx的通解.解解 因?qū)?103b,111032301A有，方程組相容.先求得：2),(rankrankbAAA000101001A于是所給方程組的通解為33213123023y1002003-0002-3byyyyAAIAx）（現(xiàn)在,假設(shè)線性方程組是不相容的,即它是矛盾方程組.雖然它在一般意義下無解,但bAx是在實際問題中所遇到的線性方程組都是不相容的.在這種情況下,實際應(yīng)用要求我們找到一個近似解使得它的誤差范數(shù)最小,即n0Cx nCxAA,b-xminb-x0并將這樣的近似解稱為不相容線性方程組的最小二乘解.然

23、而,對于一般的不相容線性方程組的最小二乘解并不唯一,通常將其中范數(shù)最小二乘解稱為極小最小二乘解,并且它是唯一的.定理定理 3.2.2 對于給定的矩陣,對任何,存在矩陣使得是線nmCA)(ARbmnCGbGx 性方程組相容的充要條件是且極小最小二乘解為.bAx， AGb Ax例例 3.2.2 求線性方程組數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文10 3642x122x0 x332x3213131321xxxxxx的極小最小二乘解.解解 因?qū)?3101b,642202101321A有,所以所給方程組不相容.先求得：3),(rank2rankbAA，而A,221148-4-22-1051-301A故方程組的極小最小二乘解為.3211013101221148-4-22-1051-3010bAx數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2012 屆畢業(yè)論文參