關于聲波和電磁波的類比模型(翻譯)

1、關于聲波電磁波的類比模型Jose M. Carcione，F(xiàn)abio Cavallini1994.07.01收到；1994.11.02修改摘要我們通過研究波傳播的運動學特征及能量平衡，對電磁波和聲波進行了類比。研究表明，從理論上來看，TEM（橫向）模式的電磁波的傳播與在單斜晶系介質(zhì)的對稱面中的粘彈性SH波的傳播完全類似。與電磁方程式相對應的粘彈性模型是三維的Maxwell基本定律。類比模型把質(zhì)點速度類比于磁場，把應力類比于電場，柔度類比于介電常數(shù)，黏度的倒數(shù)類比于電導率，密度類比于磁導率。所以，用相同的方法計算兩種波的相速、慢度、衰減量、品質(zhì)因子和能速是可行的。因為有物理色散和各向異性的耗散時

2、，精確性是很重要的，所以在做數(shù)值實驗時我們選用了時域譜技術，從而證實了由于黏度和電導率的各向異性而產(chǎn)生的耗散效應。針對各向異性的彈性介質(zhì)，找到了一種解析方法，并運用對應原則將其擴展到粘彈性介質(zhì)和電磁領域。最后，用數(shù)值方法解決了兩個對應的問題，并用原本為解決粘彈性介質(zhì)中波的傳播問題而設計的計算機代碼解決了一個電磁問題。1. 引言電磁波已經(jīng)被廣泛用于研究地球電氣特性的探測技術。我們知道，傳導性嚴重依賴于巖石特性如孔隙幾何形狀、黏土含量和水的電導率等。特別是在煤礦開采中，電磁波可用于定位地質(zhì)擾動的區(qū)域，如沙道和斷層等。另一方面，聲波是地球物理學中對碳氫化合物勘查的主要工具。地震勘探法是以不均勻地質(zhì)層

3、和界面對聲波的反射為基礎的。早在17世紀，人們就知道光波和聲波具有相似性。Hooke認為光是介質(zhì)中的質(zhì)點振動位移，它以無限的速度傳播。后來，在19世紀，Maxwell和Lord Kelvin廣泛地運用物理和數(shù)學上的類比來研究聲學和電磁學中的現(xiàn)象。實際上，Maxwell正是通過與彈性位移的類比，才把位移電流的概念引入到電磁方程中。重新改造粘彈性動力學方程組，使其格式上與Maxwell方程組嚴格對應，這是有可能的。很多情況下，這種格式上的類比可以變成數(shù)學上的等價，例如兩個領域中的問題可以用相同的解析（或數(shù)值）方法解決。本論文闡釋了描述各向異性介質(zhì)中TEM波傳播的二維Maxwell方程組與在Maxw

4、ell各向異性的粘彈性固體中傳播的SH波的波動方程組是完全相似的。Maxwell很有可能知道這種等價，他意識到了導電過程（絕緣體的靜電感應）和介質(zhì)黏性（彈性）的相似。事實上，Maxwell在他分別于1861年和1862年分兩期發(fā)表的論文On physical lines of force中，已經(jīng)完成了光的電磁理論工作，其中包括傳導電流和位移電流的概念。另一方面，他于1867年提出了粘彈性模型。他似乎通過與描述電能在電纜中傳導和耗散過程的Thomson的電報方程組的對比，總結出了粘彈性流變學?？梢詫⑦@種類比關系應用于以下幾個方面。第一，可以簡單地修改現(xiàn)存的粘彈性動力學模型代碼，來模擬電磁波傳播；

5、第二，根據(jù)對應原則獲得的一組解決粘彈性SH波問題的方法，可用于測試電磁方面的代碼；再者，各向異性的粘彈性介質(zhì)中平面諧波的傳播理論也可用于各向異性的電磁波的傳播。尤其是，各向異性效應的引入與關于儲存有石油和天然氣的沉積結構有關。確實，人們都知道，聲波在嵌入在各向異性的頁巖中的裂紋石灰?guī)r和薄層飽和砂巖層中傳播，其速度和衰減量的各向異性特征是很重要的。此外，電導率的值跨度很大（可能從10-14到106S/m），這可能意味著各向異性程度很高。在某些情況下，像在頁巖和砂巖的夾層間，縱向傳導率是橫向傳導率的9倍之多。從這個意義上講，電磁衰減效應在碳氫化合物的指示上非常重要。本論文的結構如下：第2、3節(jié)介紹

6、了電磁波和聲波的方程組；第4節(jié)確立了類比模型，包括和電路的對應關系；第5節(jié)分析了描述波的傳播過程的運動和能量方面的問題。最后，在第6節(jié)，我們用數(shù)值方法求解了場方程組，并將結果與理論預測進行了對比。另外，用關于各向異性的電磁波傳播的問題對數(shù)值模型的計算程序進行了測試。2. Maxwell方程組Maxwell方程組用三維矢量符號表示如下： ×E=-Bt+M (1) ×H=-Dt+J (2)其中，E、B、H、D分別是電場強度、磁感應強度、磁場強度、電位移矢量，J和M分別是電流密度和磁流密度。一般而言，以上矢量是在笛卡爾坐標系x=(x,y,z)和時間變量t之上設立的。假設M已知和J

7、是由后文的方程(5)明確給出的電場已知函數(shù)，則方程(1)和(2)由6個標量方程和12個未知標量組成。另外六個標量方程是本構關系，在各向同性介質(zhì)中，可表示如下： D=E (3) B=H (4)其中和分別是介電常數(shù)和磁導率矩陣，圓點表示普通矩陣乘法。此外，電流密度表示如下： J=E+Js (5)其中，是電導率矩陣，Js是已知的源基準值（在第四節(jié)中值為0）。將方程(3)、(4)、(5)代入到方程(1)、(2)中得： ×E=-Ht+M (6) ×H=E+Et+Js (7)3. 聲場方程組聲場的基本方程組可用質(zhì)點速度和應力的一階時間導數(shù)來表示。根據(jù)Auld8，柯西方程組可表示如下：

8、T=Vt-F (8)其中， T=xx，yy，zz，yz，xz，xyT (9)是應力矢量，V是質(zhì)點速度矢量，是密度，F(xiàn)是體力矢量。而且，本文規(guī)定微分算子 =/x000/z/y0/y0/z0/x00/z/y/x0 (10)應變S可由位移u=uxuyuzT給出： S=xx，yy，zz，2yz，2xz，2xyT (11)其中，xx=ux/x，xy=(ux/y+uy/x)/2，等等。應變和質(zhì)點速度關系如下： TV=St (12)Auld（見參考文獻8,p.101）在建立聲波電磁波類比模型時使用了三維Kelvin-Voigt模型： T=cKS+KSt (13)其中，cK和K分別是（Kelvin-Voigt

9、）彈性和黏性矩陣。將此關系與一維Kelvin-Voigt應力應變關系進行對比，參考文獻9,公式(10.43)。用方程(12)消去應力的時間導數(shù)，并定義如下矩陣：K=cK-1K可得下面的方程： TV+KTVt=cK-1Tt (14)Auld確立了方程(8)、(14)與(6) 、(7)的類比關系，其中，T對應于E，V對應于H。為獲得更好的對應關系，我們引入三維Maxwell本構關系10來代替方程(13): St=cM-1Tt+M-1T (15)其中，cM和M分別是（Maxwell）彈性和黏性矩陣。將上面的關系和一維Maxwell應力應變關系（9,方程(10.34)）作對比。用方程(12)消去應變，

10、可得類比于(7)的方程： TV=M-1T+cM-1Tt (16)定義兼容矩陣： sM=cM-1 (17)和矩陣： K=M-1 (18)方程(16)變?yōu)椋?TV=KT+sMTt (19)一般而言，這種類比并不意味著聲波方程和電磁波方程能解決相同的數(shù)學問題。事實上，T是一個六維的矢量，E是一個三維矢量。此外，聲波方程涉及到的是6×6的矩陣（介質(zhì)特性），而電磁波方程涉及的是3×3矩陣。然而，在二維情況下，通過使用Maxwell模型能建立兩者之間的完全等價，這將在下一節(jié)中討論。4. 聲波電磁波的類比模型一般而言，現(xiàn)實存在的介質(zhì)的特性可由對稱的各向異性的介電常數(shù)張量和電導率張量描述。

11、例如，假設： =11013022013033 (20) =11013022013033 (21)張量(20)和(21)對應于一種單斜晶體，它的對稱面垂直于y軸。通過坐標變換，這些對稱矩陣總可以對角化。這種變換被稱為介質(zhì)的主系，并給出了這兩個張量矩陣的三個主元素。在各向同性的立方體介質(zhì)中，三個主元素相等。在四方和六方物質(zhì)中，這三個參數(shù)中的兩個是相等的。在斜方晶系、單斜晶系和三斜晶系介質(zhì)中，這三個參數(shù)均不相等。對大多數(shù)物質(zhì)來說，磁導率張量是各向同性的。在這種情況下，我們設磁導率張量=I，其中，是磁導率，I是3×3的單位矩陣?，F(xiàn)在，假設電磁波在(x,z)面?zhèn)鞑?，在y軸方向上物質(zhì)的特性保持不

12、變。那么，分量Ex、Ez、Hy和分量Ey、Hx、Hz是不相關的。不考慮電源電流，前面的三個場分量遵循TEM波（橫向的電場和磁場）微分方程： Ezx-Exz=Hyt-My (22) -Hyz=11Ex+13Ez+11Ext+13Ezt (23) Hyx=13Ex+33Ez+13Ext+33Ezt (24)這些各向異性方程可推廣到Greenfield和Wu1使用的各向同性模型。一方面，在聲波傳播過程中，如果介質(zhì)在y軸方向的特性相同，則SH波有它自身的（不相關的）微分方程，在文獻中被稱為SH波動方程（參考文獻11）。在單斜晶系介質(zhì)的鏡面對稱面中，這是完全正確的。在這種平面上的傳播是純粹的反平面應變運

13、動，而且這是在所有傳播角度上有純SH波存在的最普遍的狀態(tài)。另一方面，純SH波在六方介質(zhì)中的傳播是一個衰減的過程。一組嵌入在橫向上各向同性的結構中的平行斷裂可由單斜晶系介質(zhì)代替。當這種介質(zhì)的鏡面對稱面是垂直的，純粹的反平面應變波是SH波。此外，單斜晶系介質(zhì)還包括很多其他的對稱性更高的介質(zhì)。弱四方介質(zhì)、強三方介質(zhì)和斜方晶系介質(zhì)都包含于單斜晶系集。在一種單斜晶系介質(zhì)中，彈性和黏性矩陣及它們的逆矩陣有以下形式8： a11a12a13a12a22a23a13a23a330a1500a2500a350000a15a25a35000a440a460a550a460a66 (25)衰減所具有的任何對稱性都遵循

14、物質(zhì)的晶體形態(tài)對稱性。被稱為諾依曼原理的經(jīng)驗法則可證明這種論斷12。描述SH波運動的相關元素為： a44a46a46a66 (26)然后，可由方程組(8)的第二行和(19)的第四、六行得出微分方程： xyx+yzz=vyt-Fy (27) -vyz=-44yz- 46xy-s44yzt-s46xyt (28) vyx=46yz+ 66xy+s46yzt+s66xyt (29)其中， 44=66/，66=44/，46=-46/，=4466-462 (30) s44=c66/c，s66=c44/c，s46=-c46/c，c=c44c66-c462 (31)硬度cIJ和黏度IJ(I,J=4,6)分別

15、是矩陣cM和M的(I,J)元素。通過下面的替換，可將方程(22)-(24)轉(zhuǎn)化為方程(27)-(29)，反之亦然。 Vvyyzxy Hy-ExEz (32) FyMy (35) ss44s46s46s6611-13-1333' (34) 4446466611-13-1333' (35) (36)其中，為簡單起見，s和被重新定義為2×2的矩陣。引入2×2的硬度和黏性矩陣： c=c44c46c46c66，44464666 (37)我們可得到二維等式s=c-1和=-1，這兩個等式分別與三維方程(17)和(18)相類似。因此，基于Maxwell流變學的各向異性SH波

16、動方程在數(shù)學上等價于強迫項是磁流的各向異性的Maxwell方程。為了對場方程有一個直觀的概念，并引入品質(zhì)因子的概念，我們進行了下面的研究（可由圖1和圖2表示）。眾所周知，Maxwell流變模型的機械表示是一個彈簧和一個阻尼器的串聯(lián)。例如，圖1表示的模型可構建出c46=46的方程(29)，其中1和2分別是阻尼器和彈簧的應變。事實上，xy=441t和xy=c442及t1+2=vyx表明方程(29)成立；確實，如果c46=46=0，那么s44=1/c44、44=1/44。圖1. 對應于應力-應變本構關系中xy分量的Maxwell粘彈性模型，其中c46=46=0，阻尼器和彈簧產(chǎn)生的應變分別是1和2。圖

17、2. 等價于圖1所示的粘彈性模型的電路圖，其中R和C分別是電阻和電容，V是電壓，I1和I2是電流。其類比關系是電阻損耗的能量等價于阻尼器失去的能量，貯存在電容器中的能量等價于貯存在彈簧中的勢能。另一方面，磁能等價于彈性動能。用圖表示電磁場方程并不容易。然而，如果我們用相應的集總參數(shù)系統(tǒng)來代替分布參數(shù)系統(tǒng)，那么這樣的解釋將會變得更直觀。確實，若我們考慮一下方程(23)，并為簡單起見，假定13=13=0，那么方程的等號右邊變?yōu)椋?1Ex+11Ext參考電路方程：1RV+CdVdtI1+I2I正如圖2所表示的，它對應于一個電容器和一個電阻器的并聯(lián)，其中R和C分別是電阻值和電容值，V是電壓（也就是電場

18、的積分），I1和I2是電流值（V/R對應于E）。圖1所示的串聯(lián)線路可能類比于圖2所示的并聯(lián)電路。這咋一看讓人很驚訝，但這是體現(xiàn)在場方程和對應關系(32)-(36)的數(shù)學原理的結果。圖2所示的電路圖的一個重要參數(shù)是電容的損耗因數(shù)。該電路可被認作電阻消耗了電容貯存的能量。在角頻率為的諧波電壓的作用下，總電流I并不和電壓正交，而是兩者的相角相差2-（I1和電壓V同相，而I2與V正交）。結果，損耗因數(shù)為： tan=I1I2=Icos(2-)Isin(2-) (38)使上述式子的分子和分母分別都乘以電壓V，可得出電阻的耗散功率和電容的無功功率之間的關系： tan=VIcos(2-)VIsin(2-)=V

19、2/RCV2=1CR (39)電路的品質(zhì)因子是損耗因數(shù)的倒數(shù)。用介電常數(shù)和電導率分別替換電容和電阻，可得到電磁場的品質(zhì)因子為： Q= (40)在下節(jié)結束，上述的品質(zhì)因子公式將會從聲波和電磁波的類比模型中得到。5. 運動和能量問題的研究描述波運動的運動量有慢度、相速度和衰減矢量。本節(jié)首先對聲波進行了分析，然后通過等價關系(32)-(36)將分析結果應用于電磁波。對于角頻率為的簡諧平面波，在不考慮體力的情況下，柯西方程(8)變?yōu)椋?T-iv=0 (41)另一方面，廣義的Maxwell應力應變關系(15)有下面的形式： T=pS (42)其中，p是復硬度矩陣，表示如下： p=(s-i)-1 (43)

20、上述方程的所有矩陣都是六維的。然而，由于只存在SH模式，通過(21)形式的矩陣，可以得到一個相似的方程。在這種情況下，應力和應變分別簡化為： T=yzxyT，S=uyzuyxT (44)其中uy是位移場。在均勻的粘彈性SH平面波中，位移有下面的形式： u=uye2， uy=U0ei(t-kx)，e2=010T (45)其中，x=(x,z)是位置矢量， k=(-i)=k (46)是復波矢量， =lxlzT (47)通過方向余弦lx和lz定義了波的傳播方向。將應力應變方程(42)代入到柯西方程(41)，得到下列所示的色散關系： p66lx2+2p46lxlz+p44lz2-(k)2=0 (48)這

21、個關系明確了復速度表示如下： Vk=(p66lx2+2p46lxlz+p44lz2)1/2 (49)結合復速度，實的慢度和衰減矢量表示如下： s=R(1V) (50) =-I(1V) (51)然而，相速度是慢度的倒數(shù)，下面給出了它的矢量形式： Vp=R1V-1 (52)運算符R()和I()分別表示取實部和取虛部。能速（波前）被定義為平均能量密度除以平均能流密度。能流是坡印廷矢量的實部，而平均能量是動能和勢能密度峰值之和的二分之一（參考13）。附錄B對這些量進行了計算。因此，能速表示為： Ve=VpR(V)R1Vp66lx+p46lze1+p44lz+p46lxe3 (53)其中，e1和e3分別

22、是沿著x軸和z軸方向的單位矢量。附錄B給出了品質(zhì)因子如下： Q=R(V2)I(V2) (54)根據(jù)聲波電磁波的對應關系(32)-(36)，從方程(43)可以知道復硬度矩陣p對應于復介電常數(shù)矩陣*的逆，即： p-1*='-i' (55)然后，將此等價關系及密度與磁導率的對應關系(36)應用到方程(49)，即可通過方程(50)、(51)、(52)、(53)、(54)計算出電磁波的慢度、衰減量、相速、能速和品質(zhì)因子。在斜方晶系介質(zhì)，格式為a46的所有元素都不存在。所以復硬度矩陣是對角化的，其元素為 (cII-1-i-1II-1)-1 (56)其中，在聲波的情況下，I=4或6，且上式變

23、為： (II-1-i-1II)-1 (57)在電磁波的情況下，I=1或3。在各向同性的介質(zhì)中，a44=a66，則在聲波的情況下，復速度變?yōu)椋?V=G-1-i-1-1-1/2 (58)在電磁波的情況下，復速度為： V=-i-1-1/2 (59)其中，G是剛性模量，是黏度，是介電常數(shù)，是電導率。很明顯，動能和應變能密度與磁能和電能密度有聯(lián)系。用電路元器件來做類比，動能、應變能分別類比于貯存在電感、電容中的能量，耗散能量類比于電阻損失的能量。Maxwell使用過相似的類比，在質(zhì)點機械運動和電路之間也可以確立這種類比關系。在各向同性介質(zhì)中，聲波和電磁波的品質(zhì)因子分別為： Qac=G (60) Qem=

24、 (61)0且這種情況很普遍，但是且0卻對應彈性極限的情況。需要注意的是，/G和/都是波傳播過程的弛豫時間。6. 波動方程和模擬方程(28)和(29)可寫作如下的緊湊形式： sTt=2vy-T (62)上式也可使用二維表示法從方程(19)推出，其中2=/z /xT。用c乘以方程(62)，可得： Tt=c(2vy-T) (63)柯西方程(27)變?yōu)椋?vyt=12TT-Fy (64)方程(63)和(64)可以推出速度應力公式，從而求解出由(32)定義的未知矢量V。波動方程有如下形式： Vt=MV+F' (65)其中，M是一個空間微分算子矩陣。為了在時域內(nèi)求解，用到最多的是一種顯式或隱式的

25、有限差法。這種技術基于進化算子的一種泰勒展開。在這里，可用參考文獻15介紹的一種譜時間集成技術來解方程(65)，其形式解為： Vt=0teMF't-d (66)其中，初始條件假設為0，exp(M)被稱作系統(tǒng)的演化算符。相應的數(shù)值運算是基于在算子M的特征值的復數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)在一組最優(yōu)插值點上的的一種多項式內(nèi)插法。這些最優(yōu)插值點應該都位于由復頻率平面的虛軸和負實半軸形成的T型域上。這樣，內(nèi)插多項式近乎是最優(yōu)的。在各向同性的情況下，算子M的特征值=i（是復數(shù)）滿足下列特征方程： +G+G+G2=0 (67)其中，是真實的波數(shù)。(67)的解中有一個為靜態(tài)模式的解，為=-/G，另外兩個為傳播模式

26、的解，位于虛軸附近。需要注意的是，/G是系統(tǒng)的弛豫時間，G/等于高頻相速度的平方。在各向異性情況下，算子M的特征值同樣位于T型域上。為了平衡時間積分和空間精度，使用了傅里葉偽譜法計算空間導數(shù)，當然也可以用有限差分或有限元來計算。表1 介質(zhì)的物質(zhì)屬性圖3 頻率為600kHz的電磁平面波的慢度(a)，衰減量(b)，能速(c)和品質(zhì)因子(d)的極坐標圖表1給出了介質(zhì)的物質(zhì)屬性，其中，0和0分別是自由空間的介電常數(shù)和磁導率。圖3分別展示了頻率為600kHz的均勻電磁平面波的慢度(a)，衰減量(b)，能速(c)和品質(zhì)因子(d)。曲線的方向和形狀依賴于介電張量和電導率張量。從圖中可以看出，衰減量的各向異性

27、程度非常高，在與水平軸夾角為30°的方向上衰減量最大。類似地，慢度也有各向異性的特征，而能速表明了波前的形狀。矩形數(shù)值網(wǎng)格的每邊都有NX=NZ=105個網(wǎng)格點，在電磁波模擬中統(tǒng)一的網(wǎng)格間距為DX=DZ=30米，而在聲波模擬中網(wǎng)格間距為DX=DZ=20米。場源初始化為一個線源，垂直于(x,z)平面。電磁波的源中心頻率為300kHz，聲波的源中心頻率為50Hz。截止頻率都為各自中心頻率的兩倍。圖4對位于接收機處的磁場的數(shù)值解和解析解進行了比較，其中接收機相對于場源的位置(x,z)在圖上已標出。場源與接收機之間的距離為600米。正如所料，盡管相速度在低頻的情況下無規(guī)律，但是兩種解幾乎完全一

28、致。圖4 電磁波的數(shù)值解和解析解之間的比較。源中心頻率為300kHz，場源和接收機之間的距離為600米圖5 彈性(a)聲波和粘彈性(b)聲波的速度vy在0.44s時的瞬態(tài)圖。彈性波前比粘彈性波前稍寬，這是因為在Maxwell物質(zhì)中， 頻率為零時相速度消失，頻率無限大時相速度接近彈性速度。圖6 在13.5s時，電磁波場在純絕緣介質(zhì)(a)和導電介質(zhì)(b)中的 瞬態(tài)圖。其各向異性耗散特征與圖3b所描述的衰減曲線一致。圖5展示了質(zhì)點速度vy在時間0.44s時的瞬態(tài)圖，其中(a)對應彈性極限下的情況（），(b)對應粘彈性的情況。最后，圖6展示了磁分量Hy在時間1.35s時的瞬態(tài)圖，其中(a)對應彈性極限

29、下的情況（0），(b)對應在耗散下的情況。圖5和圖6展示的結果是用相同的計算機代碼和不同的輸入數(shù)據(jù)得到的。可以看出，有損耗介質(zhì)的瞬態(tài)圖比無損耗介質(zhì)的瞬態(tài)圖呈現(xiàn)出各向異性程度更高的耗散特性。有損耗的電磁瞬態(tài)圖展示的特性分別與圖3b、圖3c展示的衰減量、能速相一致。這種數(shù)值模型也可以有效地用于模擬非均勻介質(zhì)中的電磁波16。7. 總結我們已經(jīng)列出了一種可逆的對應關系，它通過轉(zhuǎn)換物理量，將SH（水平剪切）粘彈性方程變換為TEM（橫向電磁）方程。所做的基本假設是介質(zhì)單斜對稱，并為簡單起見，假設電源電流為零。類比模型構造了一個數(shù)學等價關系，它允許使用相同的分析方法解決聲波和電磁波問題。所以，對粘彈性平面波

30、的分析能應用于電磁情況。類似地，在粘彈性問題中獲得的瞬時解對應于電磁解。從根本上說，這些等價就是硬度和介電常數(shù)之間的對等，它們都是復的、頻率相關的矩陣。這種類比模型最有效的應用是用相同的計算機代碼解決在一般的非均勻介質(zhì)中聲波和電磁波的傳播問題。未來研究的一個具有挑戰(zhàn)性的問題是將這些結果從二維推廣到三維，并且/或者去掉物質(zhì)對稱性這樣的假設。附錄A 在無界均勻介質(zhì)中的解析解滯彈性問題的解析解可以通過對等原則得到（參考文獻9）。這需要知道在頻域內(nèi)彈性解的明確表述。然后，彈性可由對應的復硬度替代，粘彈性解可通過傅里葉逆變換獲得。考慮(62)中的彈性情況，即=0，并使用(64)消去應力張量，得到下面的式

31、子： 2Tc2vy-vy=Fy (A.1)其中，變量上面的點表示時域內(nèi)的微分。因為在這里我們考慮的是均勻介質(zhì)，所以方程(A.1)變?yōu)椋?c442z2+c662x2+2c462xzvy-vy=Fy (A.2)下面我們要說明的是，通過坐標變換，將(A.2)左邊的空間微分算子轉(zhuǎn)化為一個純拉普拉斯微分算子，這是有可能的。如果是那樣的話，方程(A.2)變?yōu)椋?2z'2+2x'2vy-vy=Fy (A.3)考慮格林函數(shù)的解（也就是，方程(A.3)的等號左邊式子在原點處是一個時間和空間上的局部狄拉克函數(shù)），并將波動方程轉(zhuǎn)化到頻率域，得到如下方程： 2z'2+2x'2g+2g=

32、-4(x')(z') (A.4)其中，g是格林函數(shù)的傅里葉變換式。為了方便，引入了常量-4。(A.4)的解（參考17）如下： gx',z',=-iH02(r') (A.5)其中，H02是第二類漢克爾函數(shù)，并且 r'=(x'2+z'2)1/2(x'Tx')1/2 (A.6)我們必須根據(jù)原始位置矢量 x=z,xT來計算方程(A.5)的右邊式子。將矩陣c對角化為c=AAT，其中是特征矩陣，(A.1)中的拉普拉斯算子變?yōu)椋?Tc2=2TAAT2 =2TAAT2 =2'T2' (A.7)其中，=2，且 2'=AT2 (A.8)上面使用的是對角化的，且AT=A-1，我們可以得到： x'=-1ATx (A.9