信號處理課設(shè)報(bào)告——DFT對信號進(jìn)行譜分析

1、燕山大學(xué)課程設(shè)計(jì)說明書燕山大學(xué)課程設(shè)計(jì)說明書 課程名稱 數(shù)字信號原理及應(yīng)用 題 目 DFT對信號進(jìn)行譜分析 學(xué)院（系） 電氣工程學(xué)院 年級專業(yè) 學(xué) 號 學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 教師職稱 電氣工程學(xué)院課程設(shè)計(jì)任務(wù)書課程名稱： 數(shù)字信號處理課程設(shè)計(jì) 基層教學(xué)單位：儀器科學(xué)與工程系 指導(dǎo)教師： 王娜學(xué)號學(xué)生姓名（專業(yè)）班級設(shè)計(jì)題目16、 DFT對信號進(jìn)行譜分析設(shè)計(jì)技術(shù)參數(shù) 設(shè)計(jì)要求選擇合適的變換區(qū)間長度N，用DFT對上述信號進(jìn)行譜分析，畫出時(shí)域波形、幅頻特性和相頻特性曲線參考資料數(shù)字信號處理方面資料MATLAB方面資料周次前半周后半周應(yīng)完成內(nèi)容收集消化資料、學(xué)習(xí)MATLAB軟件，進(jìn)行相關(guān)參數(shù)計(jì)算編寫仿真

2、程序、調(diào)試指導(dǎo)教師簽字基層教學(xué)單位主任簽字說明：1、此表一式四份，系、指導(dǎo)教師、學(xué)生各一份，報(bào)送院教務(wù)科一份。 2、學(xué)生那份任務(wù)書要求裝訂到課程設(shè)計(jì)報(bào)告前面。電氣工程學(xué)院 教務(wù)科目 錄一、緒論 ··································

3、;··············11.1 信號處理簡介··································

4、···11.2 MATLAB簡介······································2二、信號處理原理 ·····&

5、#183;··································42.1 DFT的定義及推導(dǎo)·············

6、;····················42.2 DFT的性質(zhì)····························

7、···········62.3 快速傅里葉變換···································7三、軟件仿真設(shè)計(jì)

8、83;········································8四、程序設(shè)計(jì)與結(jié)果········

9、;·······························94.1信號1的分析·················&

10、#183;···················94.2信號2的分析····························

11、83;·······104.3信號3的分析····································114.4補(bǔ)零計(jì)算···&

12、#183;····································12五、設(shè)計(jì)體會及心得···········&#

13、183;··························15參考文獻(xiàn)······················&#

14、183;·························16一、緒論1.1信號處理簡介 數(shù)字信號處理是對時(shí)間變量均為離散的信號進(jìn)行變換、加工和處理的技術(shù)。數(shù)字信號處理的目的是對真實(shí)世界的連續(xù)模擬信號進(jìn)行測量或?yàn)V波。由于客觀世界中大量存在的是模擬信號，因此，在工程應(yīng)用中常常是用“數(shù)字系統(tǒng)”處理模擬信號。數(shù)字信號處理技術(shù)是一門理論性、技術(shù)性都很強(qiáng)的科

15、學(xué)，涉及知識面非常廣，涉及信號分析、離散系統(tǒng)分析、綜合實(shí)現(xiàn)技術(shù)等。數(shù)字信號處理的過程包含變換、運(yùn)算和識別；對象既有確定信號由于隨機(jī)信號；處理方法涉及時(shí)域、頻域和復(fù)頻域；實(shí)現(xiàn)方法不同于模擬處理系統(tǒng)，可以分為軟件實(shí)現(xiàn)和硬件實(shí)現(xiàn)。軟件實(shí)現(xiàn)是指按照原理和算法，在通用計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)對數(shù)字信號的處理；硬件實(shí)現(xiàn)指的是按照具體要求，單獨(dú)設(shè)計(jì)硬件結(jié)構(gòu)。因此在進(jìn)行數(shù)字信號處理之前需要將信號從模擬域轉(zhuǎn)換到數(shù)字域，這通常通過模數(shù)轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)。而數(shù)字信號處理的輸出經(jīng)常也要變換到模擬域，這是通過數(shù)模轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)的。數(shù)字信號處理的算法需要利用計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ锰幚碓O(shè)備如數(shù)字信號處理器（DSP）和專用集成電路（ASIC）等。數(shù)字信號

16、處理技術(shù)及設(shè)備具有靈活、精確、抗干擾強(qiáng)、設(shè)備尺寸小、造價(jià)低、速度快等突出優(yōu)點(diǎn)，這些都是模擬信號處理技術(shù)與設(shè)備所無法比擬的。 數(shù)字信號處理的核心算法是離散傅里葉變換DFT.它使信號在數(shù)字域和頻域都實(shí)現(xiàn)了離散化，從而可以用通用計(jì)算機(jī)處理離散信號。而使數(shù)字信號處理從理論走向?qū)嵱玫氖强焖俑道锶~變換(FFT)，F(xiàn)FT的出現(xiàn)大大減少了DFT的運(yùn)算量，使實(shí)時(shí)的數(shù)字信號處理成為可能、極大促進(jìn)了該學(xué)科的發(fā)展。 廣義來說，數(shù)字信號處理是研究用數(shù)字方法對信號進(jìn)行分析、變換、濾波、檢測、調(diào)制、解調(diào)以及快速算法的一門技術(shù)學(xué)科。但很多人認(rèn)為：數(shù)字信號處理主要是研究有關(guān)數(shù)字濾波技術(shù)、離散變換快速算法和譜分析方法。隨著數(shù)字電

17、路與系統(tǒng)技術(shù)以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字信號處理技術(shù)也相應(yīng)地得到發(fā)展，其應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛。 1.2MATLAB簡介20世紀(jì)70年代，美國新墨西哥大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系主任Cleve Moler為了減輕學(xué)生編程的負(fù)擔(dān)，用FORTRAN編寫了最早的MATLAB。1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市場。到20世紀(jì)90年代，MATLAB已成為國際控制界的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算軟件。 MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室(Matrix Laboratory)之意。除具備卓越的數(shù)值計(jì)算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計(jì)算，文字處理，可視化建模仿真和實(shí)時(shí)控

18、制等功能。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)，工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN等語言完相同的事情簡捷得多，工具包又可以分為功能性工具包和學(xué)科工具包。功能工具包用來擴(kuò)充MATLAB的符號計(jì)算，可視化建模仿真，文字處理及實(shí)時(shí)控制等功能。學(xué)科工具包是專業(yè)性比較強(qiáng)的工具包，控制工具包，信號處理工具包，通信工具包等都屬于此類。MATLAB具有許多的優(yōu)點(diǎn)比如：語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數(shù)極其豐富；MATLAB既具有結(jié)構(gòu)化的控制語句(如for循環(huán)，while循環(huán)，break語句和if語句)，又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦?程序的可移植性很好，基本

19、上不做修改就可以在各種型號的計(jì)算機(jī)和操作系統(tǒng)上運(yùn)行，等等優(yōu)點(diǎn)。MATLAB 的應(yīng)用范圍非常廣，包括信號和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、測試和測量、財(cái)務(wù)建模和分析以及計(jì)算生物學(xué)等眾多應(yīng)用領(lǐng)域。附加的工具箱（單獨(dú)提供的專用MATLAB 函數(shù)集）擴(kuò)展了MATLAB 環(huán)境，以解決這些應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)特定類型的問題。（1）MATLAB常用基本數(shù)學(xué)函數(shù) ：abs(x)：純量的絕對值或向量的長度 、angle(z)：復(fù)數(shù)z的相角(Phase angle)、 sqrt(x)：開平方、 real(z)：復(fù)數(shù)z的實(shí)部、imag(z)：復(fù)數(shù)z的虛部、conj(z)：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)、round(x)：四舍五入至最近整數(shù)、

20、fix(x)：無論正負(fù)，舍去小數(shù)至最近整數(shù)、floor(x)：地板函數(shù)，即舍去正小數(shù)至最近整數(shù)、ceil(x)：天花板函數(shù)，即加入正小數(shù)至最近整數(shù)、rat(x)：將實(shí)數(shù)x化為多項(xiàng)分?jǐn)?shù)展開 、rats(x)：將實(shí)數(shù)x化為分?jǐn)?shù)表示 、sign(x)：符號函數(shù) (Signum function)。當(dāng)x<0時(shí)，sign(x)=-1；當(dāng)x=0時(shí)，sign(x)=0；當(dāng)x>0時(shí)，sign(x)=1。rem(x,y)：求x除以y的馀數(shù)gcd(x,y)：整數(shù)x和y的最大公因數(shù)、lcm(x,y)：整數(shù)x和y的最小公倍數(shù)、exp(x) ：自然指數(shù)pow2(x)：2的指數(shù)、log(x)：以e為底的對數(shù)，

21、即自然對數(shù)或、log2(x)：以2為底的對數(shù)、log10(x)：以10為底的對數(shù)sin(x)：正弦函數(shù)、cos(x)：余弦函數(shù)、tan(x)：正切函數(shù) 。3（2）MATLAB作圖語句：一維數(shù)組即一個(gè)行向量或列向量的作圖用“plot”命令畫。這時(shí)橫軸表示數(shù)組中各數(shù)的序號。“plot”還可以用指定的自變量數(shù)組和對應(yīng)的函數(shù)數(shù)組來作圖。如果是二維數(shù)組，則橫、縱軸分別表示第1個(gè)向量和第2個(gè)向量。函數(shù)subplot可以把一個(gè)圖形窗分為幾個(gè)區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域中分別繪圖。此外，還可以繪制三維圖形（mesh）、直方圖（hist）、等值線圖（contour）等。（3）控制語句：MATLAB有和其他高級語言相類似的控

22、制語句，如循環(huán)（for）、中止循環(huán)（break）、條件（if，while）等。（4）用于數(shù)字信號處理的工具箱Signal它包含數(shù)字信號處理常用的濾波器設(shè)計(jì)、傅里葉變換、z變換等。二、信號處理原理2.1 DFT的定義及推導(dǎo)離散傅里葉變換是有限長序列的傅里葉變換，它相當(dāng)于把信號的傅里葉變換進(jìn)行等頻率間隔采樣，并且有限長序列的離散傅里葉變換和周期序列的離散傅里葉級數(shù)本質(zhì)是一樣的。 離散傅里葉變換（DFT）定義：設(shè)有限長序列x (n) 長為N（0nN-1），其離散傅里葉變換是一個(gè)長為N的頻率有限長序列（0kN-1），其正變換為 0kN-1 （）快速傅里葉變換（FFT）并不是一種新的變換，它是離散傅里葉

23、變換的一種快速算法，并且主要是基于這樣的思路而發(fā)展起來的：（1）把長度為N的序列的DFT逐次分解成長度較短的序列的DFT來計(jì)算。（2）利用WN(nk)的周期性和對稱性，在DFT運(yùn)算中適當(dāng)?shù)姆诸?，以提高運(yùn)算速度。（對稱性，;周期性，r為任意整數(shù)） 離散傅里葉變換的推導(dǎo)：離散傅里葉級數(shù)定義為 （1-1）將上式兩端乘以并對n在0N-1求和可得 因?yàn)?所以 這樣用k代替m得（1-2）令則（1-2）成為DFS （1-3）（1-1）成為IDFS （1-4）式（1-3）、（1-4）式構(gòu)成周期序列傅里葉級數(shù)變換關(guān)系。其中都是周期為N的周期序列，DFS·表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS·表

24、示離散傅里葉級數(shù)反變換。 習(xí)慣上，對于長為N的周期序列，把0nN-1區(qū)間稱為主值區(qū)，把稱為的主值序列，同樣也稱為的主值序列。 由于，對于周期序列僅有N個(gè)獨(dú)立樣值，對于任何一個(gè)周期進(jìn)行研究就可以得到它的全部信息。在主值區(qū)研究與是等價(jià)的，因此在主值區(qū)計(jì)算DFS和DFT是相等的，所以DFT計(jì)算公式形式與DFS基本相同。其關(guān)系為 所以離散傅里葉正變換 0kN-1 離散傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是：把有限長序列當(dāng)做周期序列的主值序列進(jìn)行DFS變換，x(n)、X(k)的長度均為N，都是N個(gè)獨(dú)立值，因此二者具有的信息量是相等的。已知x(n)可以唯一確定X(k),已知X(k)可以唯一確定x(n)。 雖然離散傅里葉變換是

25、兩個(gè)有限長序列之間的變化，但它們是利用DFS關(guān)系推導(dǎo)出來的，因而隱含著周期性。2.2 DFT的性質(zhì)線性性：對任意常數(shù) ()，有奇偶虛實(shí)性：DFT的反褶、平移：先把有限長序列周期延拓，再作相應(yīng)反褶或平移，最后取主值區(qū)間的序列作為最終結(jié)果。DFT有如下的奇偶虛實(shí)特性：奇奇；偶偶；實(shí)偶實(shí)偶；實(shí)奇虛奇；實(shí) (實(shí)偶) + j(實(shí)奇)；實(shí) (實(shí)偶)·EXP(實(shí)奇)。對偶性：把離散譜序列當(dāng)成時(shí)域序列進(jìn)行DFT，結(jié)果是原時(shí)域序列反褶的N倍；如果原序列具有偶對稱性，則DFT結(jié)果是原時(shí)域序列的N倍。時(shí)移性：。序列的時(shí)移不影響DFT離散譜的幅度。頻移性：時(shí)域離散圓卷積定理：圓卷積：周期均為N的序列與之間的

26、圓卷積為 仍是n的序列，周期為N。非周期序列之間只可能存在線卷積，不存在圓卷積；周期序列之間存在圓卷積，但不存在線卷積。頻域離散圓卷積定理：時(shí)域離散圓相關(guān)定理：周期為N的序列和的圓相關(guān)：是n的序列，周期為N。其中表示按k進(jìn)行DFT運(yùn)算。2.3 快速傅里葉變換 FFT，即為快速傅氏變換，是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn)，但是對于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說是進(jìn)了一大步。    設(shè)x(n)為N項(xiàng)的復(fù)數(shù)序列，由DFT變換，任一X

27、（m）的計(jì)算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法，而一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實(shí)數(shù)乘法和兩次實(shí)數(shù)加法，一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實(shí)數(shù)加法，即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運(yùn)算”（四次實(shí)數(shù)乘法和四次實(shí)數(shù)加法），那么求出N項(xiàng)復(fù)數(shù)序列的X（m）,即N點(diǎn)DFT變換大約就需要N2次運(yùn)算。當(dāng)N=1024點(diǎn)甚至更多的時(shí)候，需要N2=1048576次運(yùn)算，在FFT中，利用WN的周期性和對稱性，把一個(gè)N項(xiàng)序列（設(shè)N=2k,k為正整數(shù)），分為兩個(gè)N/2項(xiàng)的子序列，每個(gè)N/2點(diǎn)DFT變換需要（N/2）2次運(yùn)算，再用N次運(yùn)算把兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT變換組合成一個(gè)N點(diǎn)的DFT變換。這樣變換以后，總的運(yùn)算次數(shù)就變成N

28、60;2（N/2）2=N N2/2。繼續(xù)上面的例子，N=1024時(shí)，總的運(yùn)算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運(yùn)算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進(jìn)行下去，直到分成兩兩一組的DFT運(yùn)算單元，那么N點(diǎn)的DFT變換就只需要Nlog2N次的運(yùn)算，N在1024點(diǎn)時(shí)，運(yùn)算量僅有10240次，是先前的直接算法的1%，點(diǎn)數(shù)越多，運(yùn)算量的節(jié)約就越大，這就是FFT的優(yōu)越性。三、軟件仿真設(shè)計(jì)。 根據(jù)信號處理的原理，可以構(gòu)造離散傅里葉變換的程序。用Matlab實(shí)現(xiàn)程序如下： functionXk=dft(xn,N) n=0:1:N-1; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N);

29、 nk=n'*k; WNnk=WN.nk; Xk=xn*WNnk由此即可得到序列xn的DFT:Xk。 此外，MATLAB還提供了FFT函數(shù)，可直接應(yīng)用?？焖俑道锶~變換（FFT）并不是與DFT不同的另外一種變換，而是為了減少DFT計(jì)算次數(shù)的一種快速有效的算法。對于圖像的輸出，可選擇stem和plot。前者為間斷的點(diǎn)，后者為連續(xù)的線。四、程序設(shè)計(jì)與仿真結(jié)果1、 對于序列，設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)N=64，可得其matlab程序?yàn)椋篘=64;%采樣點(diǎn)數(shù)設(shè)為64n=0:N-1;%時(shí)域采樣xn=0.5*(cos(0.1*pi*n)-cos(pi*n);k=0:N-1;%頻域采樣WN=exp(-j*2*pi/N

30、);nk=n'*k;WNnk=WN.nk;Xk=xn*WNnk;%figure(1);使輸出的三種波形分別占用一張圖片%stem(n,xn);%figure(2);%stem(k,abs(Xk);%figure(3);%stem(k,angle(Xk) 使輸出的三種波形分別占用一張圖片subplot(3,1,1);%三種波形在一張圖片中stem(n,xn);title('時(shí)域分析');subplot(3,1,2);stem(k,abs(Xk);title('幅頻特性');subplot(3,1,3);stem(k,angle(Xk);title('

31、;相頻特性');程序運(yùn)行后，可得其特性曲線如下：圖1、信號的特性曲線2、對函數(shù)的分析和1中對函數(shù)的分析一樣，只需將xn的表達(dá)式變?yōu)?中函數(shù)即可，同樣取N=64，經(jīng)過運(yùn)算，可得函數(shù)2：的相關(guān)特性曲線如下：圖2、信號的特性曲線3、 與前兩個(gè)序列的表達(dá)式有很大不同，將其分解為與(n+10)。MATLAB程序如下：N=21;n=-10:10;x=(0.5).abs(n);k=0:N-1;WN=exp(-1j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.nk;Xk=x*WNnk;X=fft(x,N);subplot(3,1,1)stem(n,x);title('時(shí)域波形

32、9;)subplot(3,1,2)stem(k,abs(X);title('幅頻特性')subplot(3,1,3)stem(k,angle(X);title('相頻特性');運(yùn)行后，特性曲線如下：圖3、特性曲線4、 補(bǔ)零計(jì)算分析。 N點(diǎn)DFT是頻率區(qū)間0,2山度信號的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，而采樣點(diǎn)之間的頻譜函數(shù)值是不知道的。這就好像從（N+1）個(gè)柵欄縫隙中觀看信號的品牌情況，僅得到N個(gè)縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。因此稱這種現(xiàn)象為柵欄效應(yīng)。由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉大的頻譜分量。為了把原來被柵欄擋住的頻譜分量檢測出來，需要提高頻率分辨率，即采樣間隔F越小，譜分析越接

33、近原連續(xù)譜（j），頻率分辨率提高。由于F=/N，為使F減小，需要減小采樣頻率或增大采樣點(diǎn)數(shù)N。由于采樣頻率的降低會引起譜分析范圍的減少或者引起頻譜混亂，所以在維持不變的條件下，頻率分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N，因?yàn)镹T=,T=，只有增加對信號的觀察時(shí)間，才能增加N，和N可以按照下面兩種方式進(jìn)行選擇 增加觀察時(shí)間或者采樣點(diǎn)數(shù)最簡單的辦法可以采用在原序列尾部補(bǔ)零的方法，改變序列長度N，從而增加了頻域采樣點(diǎn)數(shù)和采樣點(diǎn)位置，使原先漏掉的某些頻譜分量被檢查出來。對連續(xù)信號的譜分析，只要采樣速度足夠高，且采樣點(diǎn)數(shù)滿足頻率分辨率要求，就可以認(rèn)為DFT變換后所得離散譜的包絡(luò)近似代表原信號的頻譜。 對信號進(jìn)行補(bǔ)零計(jì)算，首先將N設(shè)為100得出100點(diǎn)采樣的特性曲線，補(bǔ)28點(diǎn)后使用fft對其進(jìn)行快速傅里葉變換。MATLAB程序如下：N=100; %采樣點(diǎn)n=0:N-1;xn=0.5*(cos(0.1*pi*n)