(完整word版)2015年高考數(shù)學(xué)全國卷2理試題及答案word,推薦文檔

1、2015 年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國卷 II 、選擇題：本大題共 12 道小題，每小題 5 分 1. 已知集合A 2, 1,0,1,2B x (x 1)(x 2 0 ,則 AI B ( )A . A 1,0 B .0,1 C . 1,0,1 D . 0,1,2 2 . 若a為實(shí)數(shù)且 (2 ai)(a 2i) 4i，則 a ( ) A 1 B .0 C . 1 D . 2 3 根據(jù)下面給出的 2004 年至 2013 年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)柱形圖。以 下結(jié)論不正確的是( ) A. 逐年比較，2008 年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B. 2007 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn) C. 20

2、06 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D. 2006 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 4. 已知等比數(shù)列 an滿足 ai=3, a1 a3 a5 =21，則a3 a5 a7 ( ) A. 21 B . 42 C . 63 D . 84 1 log2(2 x),x 1, 5. 設(shè)函數(shù) f (x) x1 , f( 2) f (log212)( ) 2 ,x 1, A. 3 B . 6 C . 9 D . 12 6. 一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積 與剩余部分體積的比值為( )7. 過三點(diǎn) A(1,3), B(4,2) , C(1, 7)的圓交

3、 y 軸于 M N 兩點(diǎn)，貝 U | MN | ( A. 2 6 B . 8 C . 4、6 D . 10 8右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著 九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”.執(zhí) 行該程序框圖，若輸入 a,b分別為 14,18，則輸出的a ( ) A. 0 B . 2 C . 4 D . 14 11 .已知 A, B 為雙曲線 E 的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn) M 在 E 上, ?ABM 為等腰三角形，且頂角為 120,貝 U E 的離心率為( ) A . 5 B . 2 C . .3 D . 2 12 .設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f (x)(x R)的導(dǎo)函數(shù)，f ( 1) 0 ,當(dāng)x 0時(shí)， xf (

4、x) f (x) 0,則使得f (x) 0成立的x的取值范圍是(已知A, B是球O的球面上兩點(diǎn), AOB 90 ,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐 ABC體積的最大值為 36,則球 36 B.64 C.144 O A. 10.如圖，長方形ABCD的邊AB O是AB的中點(diǎn)， 點(diǎn)P沿著邊BC , 動，記 BOP x .將動P到A、 O的表面積為 D.256 2, BC 1, CD與DA運(yùn) B兩點(diǎn)距離之 禾口表示x的函數(shù)f (x)，則y f(x)的圖像大致 為( 16 .設(shè)Sn是數(shù)列an的前 n項(xiàng)和，且a1 1 , an 1 SnSn 1，則Sn _ 三、解答題 ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分 BA

5、C , ABD面積是 ADC面積的 2 倍. 18 (本題滿分 12 分)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從 A , B兩地區(qū)分別隨 機(jī)調(diào)查了 20 個(gè)用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下： A 地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (I)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖， 并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿 意度評分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可) 4

6、- r 6 7 8 A. ( (1,0)U(1,) C. ( , 1)U( 1,0) D . (0,1)U(1,) 、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 r r 13 .設(shè)向量a , b不平行，向量 a b與a 2b平行，則實(shí)數(shù) 14 .若 x，y 滿足約束條件 x y 1 0, x 2y 0,，則z x y的最大值為 x 2y 2 0, 15. (a x)(1 x)4的展開式中 x 的奇數(shù)次幕項(xiàng)的系數(shù)之和為 32,則 a 17 .(本題滿分 12 分) (I) sin B sin C (n)若 AD 1 , DC 求BD和AC的長. g (n)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶

7、的滿意度從低到高分為三個(gè)等級: 滿意度評分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 記時(shí)間 C:“A 地區(qū)用戶的滿意度等級高于 B 地區(qū)用戶的滿意度等級” 假設(shè)兩地區(qū)用 戶的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率， 求 C 的概率. 19.(本題滿分 12 分)如圖，長方體 ABCD A3GD,中，AB=16, BC=10, AA 8 , 點(diǎn)E , F分別在A1B1 , C1D1上，AE DiF 4 過點(diǎn)E , F的平面 與此長方體 的面相交，交線圍成一個(gè)正方形. (I)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說出畫法和理由)

8、 ； (n)求直線 AF與平面 所成角的正弦值. 2 2 2 20. (本題滿分 12 分)已知橢圓C:9x y m (m 0),直線I不過原點(diǎn)O且不平行 于坐標(biāo)軸，I與C有兩個(gè)交點(diǎn) A , B，線段AB的中點(diǎn)為M (I)證明：直線 OM的斜率與I的斜率的乘積為定值； (n)若l過點(diǎn)(m,m)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊 3 形？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說明理由. 21. (本題滿分 12 分)設(shè)函數(shù)f(x) emx x2 mx . (I)證明：f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0,)單調(diào)遞增； (n)若對于任意 為兀 1,1，都有f(xj f(X2) e 1，

9、求m的取值范圍. 22 .(本小題滿分 10 分)選修 4 1:幾何證明選講 如圖，O為等腰三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)， 圓O與 ABC的底邊BC交于M、N兩點(diǎn)與底 邊上的高 AD交于點(diǎn)G，與AB、AC分別相切于E、F兩點(diǎn). A G (I)證明：EF/BC ; (n) 若AG等于eO的半徑，且 AE MN 2、3，求四邊形EBCF的面積. 23 .(本小題滿分 10 分)選修 4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程 x tCOS , 在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線G： ( t為參數(shù)，t 0)，其中0 ，在 y tsin , 以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2: 2sin ，曲線 Q： 2 3cos

10、(I).求C2與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (n) 若C2與C1相交于點(diǎn)A , C3與G相交于點(diǎn)B，求 AB 的最大值. 24.(本小題滿分 10 分)選修 4-5 不等式選講 設(shè)a, b,c,d均為正數(shù)，且 a b c d，證明： (I)若 ab cd，貝 U 、a . b 、c 、d ； (n)jajbJCJd是a b c d的充要條件. 1. A 【解析】由已知得B x 2 x 1 ,故AI B 1,0，故選 A. 考點(diǎn)：集合的運(yùn)算. 2. B 考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式和性質(zhì). 5. C 7. C 2 2 (x 1) (y 2) 25，令 x 0,得 y 2J6 2，所以MN 4后，故選C.參考答

11、案 【解【解析】由已知得kAB 1 _ 2 7 3 ,kCB T1 3，所以 kABkCB 1，所以 AB CB , 即 ABC為直角三角形，其外接圓圓心為(1, 2),半徑為5 ,所以外接圓方程為 2 【解【解析】由已知得4a (a 4)i 4i，所以 4a 0,a2 4 4， 解得a 0 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算. 3. D 【解析】由柱形圖得，從 份負(fù)相關(guān)，故選 D. 考點(diǎn)：正、負(fù)相關(guān). 4. B 2006 年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年 【解【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為 q，則 ai 2 ag 4 ag 21，又因?yàn)?a1 3，所以q4 2 解得q 2，所以a3 a5 a7

12、(ai a3 2 a5)q 42，故選 B. 【解【解析】 由 f( 2) 1 log 2 4 3 又 log 212 f (log 2 12) 2log212 1 2硯26 6，故 f( 2) f (log 9，故選 C. 考點(diǎn)：分段函數(shù). 6. D 【解【解析】 由三視圖得, 在正方體ABCD 截去四面體 A A1B1D1 ,如圖所示，設(shè)正方體棱長為 a，則 VA AIB1D1 1 3 1 3 丄a3丄a3,故剩余幾何體體積 2 6 為 a3 1a3 6 所以截去部分體積與剩余部分體 1 ,故選 5 考點(diǎn)：三視圖. 積的比值為 D. 1 A1B1C1D1 中， 考點(diǎn)：圓的方程. 8. B

13、【解析】程序在執(zhí)行過程中, a 2； b 2，此時(shí) a 考點(diǎn)：程序框圖. 9. C 【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn) a , b的值依次為a 14 , b 18 ； b b 2程序結(jié)束，輸出a的值為 2,故選 B. 4 ； a 10 ； a 6 ； 大，設(shè)球0的半徑為R , C 位于垂直于面 AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐 1R3 6 此時(shí) VO ABC VC AOB R2 2 O ABC的體積最 36，故R 6，則 球O的表面積為S 4 R2 144 ，故選C. 考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積. 【解析 】 由已知得，當(dāng)點(diǎn)P在BC PA PB tan2 x 4 tanx ；當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動時(shí)，即 3

14、,x 4 時(shí), 2 PA PB (宀 1)2 ( 2 1) 1，當(dāng) x 時(shí), 2 PA PB 2 2 ；當(dāng)點(diǎn)P在 AD邊上運(yùn)動時(shí)，即 3 4 時(shí)，PA PB tan2 x 4 tanx,從點(diǎn)P的運(yùn)動過程 可以看出，軌跡關(guān)于直線 2對稱，且 考點(diǎn)：函數(shù)的圖象和性質(zhì). 11 . D 【解【解析】 設(shè)雙曲線方程為 2 x 2 a y2 b2 1(a ABM 1200 如圖所示，|AB BM , MN x軸，垂足為N，在Rt BMN中，BN| a , MN | J3a，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2a, J3a)，代入雙曲線方程得 a2 b2 a2 c2，即 c2 2a2，所以e 2，故選D. 考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)

15、準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì). 12. A I 【解析】記函數(shù)g(x) ,貝y g(x) xf (x)2 f (x),因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)， x x xf(x) f (x) 0，故當(dāng)x 0時(shí)，g(x) 0,所以g(x)在(0,)單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù) f(x)(x R)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(，0)單調(diào)遞減，且 g( 1) g(1) 0 當(dāng) 0 x 1 時(shí)，g(x) 0，則 f(x) 0 ；當(dāng) x 1 時(shí)，g(x) 0，則 f(x) 0,綜上所述，使得 f(x) 0成立的x的取值范圍是(，1)U(0,1)，故選A. 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì). 13 . a b與a 2b平行

16、，所以a b k(a 2b),則 1 考點(diǎn)：向量共線. 14. 【解析】畫出可行域，如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)變 形為y x z,當(dāng)z取到最大時(shí)，直線 y x z的縱截距最大，故將直線盡可能地向 上平移到D(1)，則z x y的最大值為-. 2 2 考點(diǎn)：線性規(guī)劃. 【解析】 試題分析： 由已知得(1 x) 1 4x 6x 4x x ,故(a x)(1 x)的展開式中 x 的奇 k 所以 2k, 【解析】因?yàn)橄蛄?15. 3 數(shù)次幕項(xiàng)分別為4ax , 4ax3, x , 6x3, x5 ,其系數(shù)之和為4a 4a 1+6+1=32,解得a 3. 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.1, Sn n 考點(diǎn)：等差數(shù)列和遞推關(guān)

17、系. 理得 2 2 2 2 2 AB 2AC 3AD BD 2DC 6 由（I）知 AB 2AC，所以 AC 1 . 18.【解析】（I）兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下 B地岡 4 fi 3 5 1 5 6 4 6 4 2 6 2 4 5 5 6 S 8 6 4 3 1 3 5 4 6 9 9 2 & 6 $ 1 8 7 1 ? 1 7 5 S 2 9 1 3 通過莖葉圖可以看出，A 地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于 B 地區(qū)用戶滿意度評分的平均值; 16. 【解析】由已知得an 1 Sn 1 Sn Sn 1 Sn，兩邊同時(shí)除以 Si 1 1 Sn，得 Sn 1 1 Sn 故數(shù)列 是以

18、 1為首項(xiàng)， 1為公差的等差數(shù)列，則 Sn 1 (n 1) 所以 17.【解析】（I） S ABD AB AD sin BAD , S ADC 2 iAC AD sin CAD , 因?yàn)?S ABD 2S ADC , BAD CAD，所以AB 2AC .由正弦定理可得 sin B sin C AC AB 因?yàn)?S ABD : S ADC BD : DC，所以 BD . 2 .在 ABD 和 ADC 中, 由余弦定 AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB ,AC2 AD2 DC2 2AD DC cos ADC . 1, A 地區(qū)用戶滿意度評分比較集中， B 地區(qū)用戶滿意度評分比較分

19、散. （n）記CA1表示事件：“A 地區(qū)用戶滿意度等級為滿意或非常滿意” CA2表示事件： “A 地區(qū)用戶滿意度等級為非常滿意”； CB1表示事件：“ B 地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意”； CB2表示事件：“ B 地區(qū)用戶滿意度等級為滿意” 則 CA1 與 CB1 獨(dú)立，CA2 與 CB2 獨(dú)立，CB1 與 CB2 互斥，C CB1CA1 UCB2CA2 . P(C) P(CB1CA1 UCB2CA2) P(CB1CA1) P(CB2CA2) P(CBI)P(CAI) P(CB2)P(CA2). 由所給數(shù)據(jù)得 CA1 , CA2 , CB1 , CB2發(fā)生的概率分別16 20 4 10 2 0

20、2 0 呀故 P(CA1)=20， ，P(CB2)=20， A(10,0,0) , H (10,10,0) , E(10,4,8) , F (0,4,8) uuu ，F(xiàn)E (10,0,0)， uuur (0, 6,8).設(shè) r n n （x, y,z）是平面EHGF的法向量，貝U r n uuu FE ULUT 0,即 0, 10 x 6y 0, 8z 所以可取 0, ，P(CB1)= 10 20 P(CA2)= 20 r UUUT n (0, 4,3) 又 AF ( r UUUT 10,4,8)，故 cos n, AF n| AF 4 ” 5 - .所以直線AF與 15 平面所成角的正弦值為

21、 45 15 20.【解析】（I）設(shè)直線l :y kx b (k 0,b 0) ，A（為，yj， B(x2, )將 y kx b 2 2 2 2 2 2 2 9x y m 得(k 9)x 2kbx b m 0 ，故 9b yM kxM b 斗于是直線OM的斜率k M k2 9 線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值. (n)四邊形 OAPB能為平行四邊形. 因?yàn)橹本€l過點(diǎn)(m,m)，所以1不過原點(diǎn)且與 3 C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是 k 0 , k 3 9 由(I)得 OM的方程為y - x .設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 XP .由 y 9 x, k k 小 2 2 2 9x y m , 2 mk 解得 k

22、i 4 -7 , k2 4 .7 因?yàn)?ki 0,ki 3, i 1, 2，所以當(dāng) I 3(k 9) 的斜率為4 17或4 J時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形. 21 【解析】(I) f(x) m(emx 1) 2x 若m 0，則當(dāng)x ( ,0)時(shí)， mx e 1 0 , f(x) 0 ； 當(dāng) x (0, mx / )時(shí)，e 0 , f(x) 0 若m 0，則當(dāng)x ( ,0)時(shí)， mx e 1 0 , f(x) 0 ； 當(dāng) x (0, mx A )時(shí)，e 1 0 , f(x) 0 所以， f (x)在(,( 0)單調(diào)遞減, 在 (0, )單調(diào)遞增. (n)由(I)知，對任意的 m , f (x)

23、在1,0單調(diào)遞減，在0,1單調(diào)遞增，故f (x)在 kb k2 yM XM 9，即koM k 9 所以直 k 2 Xp k2m2 9k2 81 即 m 將點(diǎn)(m,m)的坐標(biāo)代入直線I的方程得b 3、.k2 9 3 m(3 k) 3 因此xM 3) 四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段 3(k2 9) AB與線段OP互相平分, 即xP 2xM 于是 km 3 k2 9 x 0處取得最小值所以對于任意 治兀 1,1, f(xj f(X2) e 1的充要條件是: f(1) f( ) e 1,即 m e m e 1 ，設(shè) 函數(shù) f( 1 I) f(0) e 1, m e m e 1, g(t) et

24、 1 當(dāng) t 0 時(shí)， g(t) 0 ； 當(dāng)t :0時(shí)，g(t) 0 . f 在(0, ）單調(diào)遞增.又g （1 1) 0, g( 1) e1 2 e 0 ,故當(dāng) m 1,1時(shí)，g(m) 0 , g( m) 0, 即式成立.當(dāng) m g(m) 0 ,即 em m e 1 ；當(dāng) m 1時(shí) 寸，g( m) 0 ， 即e t 1,1時(shí)，g(t) 0 .當(dāng) 1時(shí), 取值范圍是1,1. g（t）在（，0）單調(diào)遞減, m m g(t) et t e 1，則 由g（t）的單調(diào)性, e 1 .綜上，m的 ABC是等腰三角形, AC相切于 22.【解析】（I）由于 因?yàn)閑 O分別與AB、 EF/BC . （n）由（I）知，AE AF , AD 弦，所以O(shè)在AD上連接OE , OM AD E、F兩點(diǎn)， BC，所以AD是 所