第7章 非線性系統(tǒng)

1、第7章 非線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng) 7.1 非線性系統(tǒng)概述 7.2 非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法 7.3 非線性系統(tǒng)的相平面分析法 7.4 改善非線性系統(tǒng)性能的措施 7.5 基于基于Simulink的非線性系統(tǒng)分析的非線性系統(tǒng)分析 小結(jié)7.1 非線性系統(tǒng)概述 非線性系統(tǒng)的特征 非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法 常見非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響一、非線性系統(tǒng)的特征 當(dāng)系統(tǒng)中含有一個(gè)或多個(gè)具有非線性特性的元件時(shí)，該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。.穩(wěn)定性分析復(fù)雜 在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，即只取決于系統(tǒng)特征方程根的分布，而和初始條件、外作用沒有關(guān)系。 如果系統(tǒng)中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)，即系統(tǒng)方程在一定外作

2、用和初始條件下的解是穩(wěn)定的，那么線性系統(tǒng)中可能的全部運(yùn)動(dòng)都是穩(wěn)定的，所以我們可以說某個(gè)線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的或是不穩(wěn)定的。.可能出現(xiàn)自激振蕩 所謂自激振蕩，是指沒有外界周期變化信號(hào)的作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，簡稱自振。 必須指出，長時(shí)間大幅度的振蕩會(huì)造成機(jī)械磨損，增加控制誤差，因此在通常情況下，不希望系統(tǒng)產(chǎn)生自振，必須設(shè)法抑制它。.頻率響應(yīng)復(fù)雜 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即正弦信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號(hào)。而非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量（基頻分量）外，還含有關(guān)于的高次諧波分量。 有些系統(tǒng)當(dāng)輸入信號(hào)的頻率由小到大和由大到小變化時(shí)，其幅

3、頻的數(shù)值不完全相同，并有突跳式的不連續(xù)現(xiàn)象，即所謂跳躍諧振和多值響應(yīng)。二、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法.相平面法 相平面法是推廣應(yīng)用時(shí)域分析法的一種圖解分析方法。相平面法適用于分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)。.描述函數(shù)法 描述函數(shù)法一種圖解分析法，是一種工程近似方法。該方法對(duì)于滿足結(jié)構(gòu)要求的一類非線性系統(tǒng)，通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩.李亞普諾夫第二法.逆系統(tǒng)法 逆系統(tǒng)法是運(yùn)用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。該方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具直接研究非線性控制問題，不必求解非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，是非線性系統(tǒng)控制研究的一個(gè)發(fā)

4、展方向。三、常見非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響 死區(qū)特性一般是由測量元件、放大元件及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不靈敏區(qū)所造成的。死區(qū)特性如圖-所示。 死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的主要影響有： （）使系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)受死區(qū)的影響，導(dǎo)致輸出在時(shí)間上的滯后，降低了系統(tǒng)的跟蹤精度；而在另一方面，在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)值附近，當(dāng)系統(tǒng)輸入端存在小擾動(dòng)信號(hào)時(shí)，死區(qū)的作用可減小擾動(dòng)信號(hào)的影響。 （）對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響的利弊由具體系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定 例如，對(duì)某些系統(tǒng)死區(qū)的存在，會(huì)使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程超調(diào)量較大，甚至導(dǎo)致其產(chǎn)生自激振蕩；而對(duì)另一些系統(tǒng)死區(qū)的存在會(huì)抑制其振蕩，降低系統(tǒng)的超調(diào)量。 2.飽和（限幅）特性放大器及執(zhí)行機(jī)構(gòu)受電源電

5、壓或功率的限制導(dǎo)致了飽和現(xiàn)象，飽和特性如圖-所示。 3.間隙（滯環(huán)）特性.繼電特性 繼電器、接觸器和晶閘管等電氣元件的特性通常都表現(xiàn)為繼電特性。繼電特性有不同的形式，圖-所示為理想繼電特性。對(duì)于實(shí)際的繼電器，當(dāng)線圈中的電流大到某一定值時(shí)，即線圈兩端電壓達(dá)到一定數(shù)值后，方能使繼電器的銜鐵吸合，因而繼電特性一般都有死區(qū)，如圖-所示。此外，鑒于繼電器的吸合電壓一般都大于釋放電壓，繼電器還具有回環(huán)的特性，如圖-。 .摩擦特性 摩擦特性是機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中普遍存在的非線性特性。摩擦力阻撓系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，即表現(xiàn)為與物體運(yùn)動(dòng)方向相反的制動(dòng)力。 為改善系統(tǒng)跟蹤過程的平穩(wěn)性，可采取如下措施： ）取良好的潤滑或外加高頻顫

6、振信號(hào)的辦法以減小靜動(dòng)摩擦力矩的差值。 ）采取干擾補(bǔ)償?shù)霓k法，校正抵消摩擦力矩的影響。 ）采取增加系統(tǒng)阻尼的辦法，減小轉(zhuǎn)速脈動(dòng)，提高平穩(wěn)性第二節(jié) 非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法 一、描述函數(shù)的基本概念 二、典型非線性特性的描述函數(shù) 三、非線性系統(tǒng)的簡化 四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念 含有非線性環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，可簡化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和線性部分串聯(lián)連接的典型結(jié)構(gòu)形式，如圖7-5所示。 設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入輸出描述為 當(dāng)其輸入信號(hào)為正弦函數(shù))(xfy )(xfy tAtxsin)( 一般情況下，其輸出y(t)為非正弦的周期信號(hào)。將y(t)按傅里葉級(jí)數(shù)展開為 如果非

7、線性元件的靜特性具有中心對(duì)稱性質(zhì)和低通濾波特性，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)只有一次諧波分量，即基波分量。1010)sin()sincos()(nnnnnntnYAtnBtnAAty) t(tdnsin) t ( y1B) t(tdncos) t ( y1A20n20n式中nnnnnnBABAY122tgnnnnnnBABAY122tg 有 上式表明，非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式。為此，定義正弦輸入信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)輸出量的一次諧波分量和輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。用N(A)表示)sin(sincos)(11111tYtBtAty111121211

8、tgBABAY式中 AjABeAYeANANjANj111)(1)()( 2. 描述函數(shù)的求取步驟描述函數(shù)的求取步驟 （1） 取輸入信號(hào)為，根據(jù)非線性環(huán)節(jié)的靜態(tài)特性繪制出輸出非正弦周期信號(hào)的曲線形式，根據(jù)曲線形式寫出輸出y(t)在一周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 （2）據(jù)非線性環(huán)節(jié)的靜態(tài)特性及輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，求相關(guān)系數(shù)A1、B1。 （3）用式(7-8)計(jì)算描述函數(shù)。第二節(jié) 非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法 描述函數(shù)法是達(dá)尼爾（）于年首先提出的。 基本思想是：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。一、

9、描述函數(shù)的基本概念 .描述函數(shù)的定義 若含有非線性環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，簡化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)（）和線性部分（）串聯(lián)連接的典型結(jié)構(gòu)形式，如圖-所示 .描述函數(shù)的求取步驟 ）取輸入信號(hào)為（），根據(jù)非線性環(huán)節(jié)的靜態(tài)特性繪制出輸出非正弦周期信號(hào)的曲線形式，根據(jù)曲線形式寫出輸出（）在一周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式 ）據(jù)非線性環(huán)節(jié)的靜態(tài)特性及輸出（）的數(shù)學(xué)表達(dá)式，求相關(guān)系數(shù)、。 ）用式（-）計(jì)算描述函數(shù)。二、典型非線性特性的描述函數(shù) 典型非線性特性具有分段線性特點(diǎn)，描述函數(shù)的計(jì)算重點(diǎn)在于確定正弦響應(yīng)曲線和積分區(qū)間，一般采用圖解方法。 .飽和特性 （）數(shù)學(xué)表達(dá)式20sin)(tkattkAty （2）求相關(guān)系

10、數(shù)A1、B1 由于y(t)為奇函數(shù)，所以A00，A10。22100220214( )sin( )sin4sinsin41(sin2cos)242arcsin1By ttd ty ttd tkAtd tkatd tkAaAkAaaaAAA （3） 飽和特性的描述函數(shù)為 上式表明，飽和特性的描述函數(shù)是一個(gè)只與輸入信號(hào)振幅有關(guān)的實(shí)函數(shù) aAAaAaAakABAN211arcsin2)(2. 死區(qū)與滯環(huán)繼電特性 （）數(shù)學(xué)表達(dá)式ttMtty2211 0, ,0 0,)(Aharcsin 1Amharcsin- 2 2）相關(guān)系數(shù)A1、B1 由圖可見，y(t)為奇對(duì)稱函數(shù)，而非奇函數(shù)，故2121 02112

11、( )coscos22(sinsin)(-1)Ay ttdtMtdtMMhmA222101-1-12)cos(cos2sin2)sin(221AhAmhMMttdMttdtyB 3） 死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為 Ah （7-17） 取h=0可得理想繼電特性的描述函數(shù)為 （7-18） 取m=1可得死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為 Ah （7-19） 取m=1可得滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為 Ah （7-20）1)-(2j-1-12)(222mAMhAhAmhAMANAMAN4)(2-14)(AhAMAN224-14)(AMhjAhAMAN三、非線性系統(tǒng)的簡化 等效變換的原則是在（）的條件下，根據(jù)非線性特性

12、的串、并聯(lián)，簡化非線性部分為一個(gè)等效非線性環(huán)節(jié)，再保持等效非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系不變，簡化線性部分。下面示例說明簡化的一般方法。.非線性特性的并聯(lián)非線性特性的并聯(lián) 兩個(gè)非線性特性并聯(lián)時(shí)，可先將兩個(gè)非線性特性疊加得到等效非線性特性，再求其描述函數(shù)。圖-所示為死區(qū)非線性和死區(qū)繼電非線性并聯(lián)的情況。也可由描述函數(shù)的定義，對(duì)兩個(gè)并聯(lián)的非線性特性分別求描述函數(shù)，它們的代數(shù)和 N(A)N1(A)N2(A) .非線性特性的串聯(lián)非線性特性的串聯(lián) 當(dāng)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，因第一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出就是第二個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，所以可以根據(jù)兩個(gè)串聯(lián)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性，求出總的復(fù)合非線性，再求復(fù)合非線性的描述函數(shù)（），即為

13、串聯(lián)非線性特性總的描述函數(shù)。 特別需要注意的是，串聯(lián)非線性特性總的描述函數(shù)絕不等于兩個(gè)非線性特性描述函數(shù)的乘積；而且，兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的前后次序不同，總的描述函數(shù)也不同。四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù) 當(dāng)非線性特性采用描述函數(shù)（）近似等效時(shí)，圖-所示系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為0)()(1jGAN)(1)(ANjG 若線性部分開環(huán)頻率特性是穩(wěn)定的，則 （1） 如果曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （2） 如果曲線包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 （3） 如果曲線與曲線相交，則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)。2. 非線性系統(tǒng)存在周期運(yùn)

14、動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果該周期運(yùn)動(dòng)能夠維持，即考慮外界小擾動(dòng)作用使系統(tǒng)偏離該周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)該擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)仍能恢復(fù)原周期運(yùn)動(dòng)，則稱為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，即自持振蕩。否則，為不穩(wěn)定工作點(diǎn)。第三節(jié) 非線性系統(tǒng)的相平面分析法 一、相平面的基本概念 二、繪制相軌跡的方法 三、相平面分析 四、用相平面法分析非線性系統(tǒng) 相平面法由龐加萊（）1885年首先提出。 該方法通過圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程轉(zhuǎn)化為位置和速度平面上的相軌跡，特別適用于分析常見非線性特性和一階、二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。一、相平面的基本概念 一個(gè)線性控制系統(tǒng)可以用n階

15、線性微分方程來描述，也可以用n個(gè)線性無關(guān)的一階微分方程組(狀態(tài)方程)來描述。對(duì)于n個(gè)線性無關(guān)的狀態(tài)變量可以用n維狀態(tài)空間中的點(diǎn)表示。 用n維狀態(tài)空間中的點(diǎn)來描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法，稱為狀態(tài)空間分析法，或稱為相空間分析法。這種研究方法屬于現(xiàn)代控制理論的一個(gè)分支。 相變量從初始時(shí)刻t0對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)起，隨著時(shí)間t的推移，在相平面上運(yùn)動(dòng)形成的曲線稱為相軌跡。在相軌跡上用箭頭符號(hào)表示參變量時(shí)間t的增加方向。 根據(jù)微分方程解的存在與唯一性定理，對(duì)于任一給定的初始條件，相平面上有且只有一條相軌跡與之對(duì)應(yīng)。多個(gè)初始條件下的運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)多條相軌跡，形成相軌跡族，而由一族相軌跡所組成的圖形稱為相平面圖。二、繪制相軌跡

16、的方法 解析法解析法 采用解析法繪制相軌跡通常有兩種作法。一種方法是通過積分法，直接由微分方程求解x(t)和的解析關(guān)系式。 積分得 則可解得以(x0，)為初始條件的和x的解析關(guān)系式，即相軌跡方程。dxxdxdtdxdxxddtxdx xxxxdxxhxdxg00)()(三、相平面分析 .奇點(diǎn)和極限環(huán) 若相平面上某點(diǎn)滿足 則稱該點(diǎn)為相平面的奇點(diǎn)。 00) (xxxf? 極限環(huán) 相平面圖中孤立的封閉軌跡定義為極限環(huán)，或稱“奇線”。 ）穩(wěn)定的極限環(huán)。在極限環(huán)附近，起始于極限環(huán)內(nèi)部或外部的相軌跡最終均卷向極限環(huán)。這樣的極限環(huán)稱為穩(wěn)定極限環(huán)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為自持振蕩。極限環(huán)的內(nèi)部是不穩(wěn)定區(qū)，極限環(huán)的

17、外部是穩(wěn)定區(qū)，如圖-所示 ）不穩(wěn)定的極限環(huán)。在極限環(huán)附近的相軌跡最終均卷離極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。不穩(wěn)定的極限環(huán)的內(nèi)部是穩(wěn)定區(qū)，而其外部是不穩(wěn)定區(qū)，如圖-所示。 ）半穩(wěn)定的極限環(huán) 如果起始于極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡均卷向極限環(huán)，外部的相軌跡均卷離極限環(huán)，或者內(nèi)部的相軌跡均卷離極限環(huán)，外部的相軌跡均卷向極限環(huán)，這種極限環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán)。（如圖7-18c），或遠(yuǎn)離極限環(huán)（如圖7-19d）。四、用相平面法分析非線性系統(tǒng) 大多數(shù)非線性系統(tǒng)所含有的非線性特性是不可解析的分段特性。用相平面法分析這類系統(tǒng)時(shí)，常將整個(gè)相平面分成若干個(gè)區(qū)域，使每一個(gè)線性微分方程在相平面上對(duì)應(yīng)著一個(gè)區(qū)域。 這一類非線性特

18、性曲線的各轉(zhuǎn)折點(diǎn)，構(gòu)成了相平面區(qū)域的分界線，稱為開關(guān)線。只要作出每個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡后，在開關(guān)線上把相應(yīng)的相軌跡依次連接起來，就可得出系統(tǒng)完整的相軌跡圖。第四節(jié) 改善非線性系統(tǒng)性能的措施 一、非線性系統(tǒng)性能的改善 二、非線性特性的利用一、非線性系統(tǒng)性能的改善 圖-所示是一個(gè)在線性部分中引入串聯(lián)校正裝置的具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)。 引入串連微分校正非線性奈式圖.改變非線性特性 例如，為了消除飽和非線性特性對(duì)系統(tǒng)的影響，可以在飽和特性環(huán)節(jié)兩端，并聯(lián)另一非線性環(huán)節(jié)死區(qū)非線性。選擇死區(qū)寬度等于飽和寬度，并且使兩者的斜率均相等。則并聯(lián)后總的輸入輸出特性為線性特性。如圖-所示。二、非線性特性的利用 在

19、控制系統(tǒng)中引入特殊形式的非線性元件能使系統(tǒng)的控制性能得到改善。 在某些系統(tǒng)中往往用一些極為簡單的裝置便能使系統(tǒng)的控制性能得到大幅度的提高，成功地解決了系統(tǒng)快速性和振蕩度之間的矛盾。但若采用線性補(bǔ)償裝置來達(dá)到同樣的效果時(shí)，其形式將十分復(fù)雜。 而且，當(dāng)對(duì)系統(tǒng)提出某些特殊要求時(shí)（如快速系統(tǒng)），采用線性補(bǔ)償裝置通常無法達(dá)到預(yù)期的目的第五節(jié) 基于基于Simulink的非線性系統(tǒng)分析的非線性系統(tǒng)分析 MATLAB中的Simulink提供了一些常用的非線性仿真模塊，利用這些模塊可以形象、直觀、方便地對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析。 非線性模塊庫在Simulink模塊庫中又稱為不連續(xù)模塊（Discontinuties）

20、，模塊庫的內(nèi)容如圖7-30所示。該模塊庫中主要包含常見的非線性模塊，如飽和非線性模塊（Saturation），死區(qū)非線性模塊（Dead Zone），繼電非線性模塊（Relay），磁滯回環(huán)模塊（Backlash）等。 下面舉例說明如何利用Simulink來繪制非線性系統(tǒng)的相軌跡。 圖7-30 非線性仿真模塊 例例7-7 具有繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖7-31所示，輸入為階躍信號(hào)，試?yán)肧imulink在平面上作出相軌跡。 1s(s+1)Zero-PoleXY GraphStepScopeRelaydu/dtDerivative 解解 由圖7-31所示系統(tǒng)作出的Simulink仿真模型如圖7-32所示。仿