2022年2022年初中數學競賽精品標準教程及練習18：式的整除

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載中考數學復習資料,細心整編吐血舉薦、 如如有用請打賞支持,感謝不盡！初 中數學競賽精品標準教程及練習（18） 式的整除一.內容提要1定義：假如一個整式除以另一個整式所得的商式也為一個整式,并且余式為零,就稱這個整式被另一個整式整除；2依據被除式除式×商式余式,設fx、px、qx都為含 x的整式,那么式的整除的意義可以表示為：如 fxpx ×qx ,就稱 fx能被 px和 qx 整除例如 x23x 4（ x4）（x +1 ）、 x2 3x 4 能被（ x 4）和（ x +1 ）整除；明顯當x=4 或 x=1 時 x2 3x 4 0,3一般地,

2、如整式fx含有 x a 的因式,就fa=0反過來也成立,如fa=0、就 xa 能整除 fx；4在二次三項式中如 x2+px+q=x+ax+bx2+a+bx+ab就 p=a+b、q=ab在恒等式中,左右兩邊同類項的系數相等；這可以推廣到任意多項式；二.例題例 1 己知x25x+m能被 x2 整除,求m 的值；x 3解法一：列豎式做除法（如右）x 2x25x+m由余 式 m 6 0得 m=6解法二：x 25x+m 含有 x2 的因式x22x3x+m2以 x=2 代 入 x 5x+m得3x+622 5× 2 m=0得 m=6m6解法三：設 x2 5x+m 除以 x2 的商為 x+aa 為待

3、定系數 那么x2 5x+mx+ax2 x2+a-2x 2a依據左右兩邊同類項的系數相等,得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a252ama3解得（此題解法叫待定系數法）m6精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4322精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例2己知:x5x +11x +mx+n能被 x 2x+1 整除精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載求： m.n 的值及商式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解：被除式除式×商式（整除時余式為0）商式可設為x2 +ax+b得 x45x3+11x2+mx+n（ x22x+1）（ x2 +

4、ax+b）x4+a-2x 3 +b+1-2ax 2+a-2bx+b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載依據恒等式中,左右兩邊同類項的系數相等,得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a25b12a11 a2bm1bna 3b n解得m 11n 4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載m=11、n=4、商式為 x23x+4例3m取什么值時, x3 +y3+z3 +mxyzxyz0 能被 x+y+z 整除.解：當x3+y3 +z3+mxyz能被 x+y+z 整除時,它含有x+y+z 因式令 x+y+z0,得 x=（ y+z）,代入原式其值必為0333即（ y+z） +y

5、+z myzy+z=0把左邊因式分解,得yzy+zm+3=0、yz 0、當 y+z=0 或 m+3=0時等式成立當 x、y （或 y、z或 x、z ）互為相反數時,m可取任何值, 當 m=3 時 , x、y、z不論取什么值,原式都能被x+y+z 整除；例 4分解因式x3x+6分析：為獲得一次因式,可用x=±1,± 2,± 3,± 6（常數項 6 的約數）代入原式求值,只有x=2 時值為 0,可知有因式x2,（以下可仿例1）解： x3 x+6（ x2）（x22x+3）三.練習 183232精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 如 x +2x +

6、mx+10=x+nx4x+10、就 m= 、n= 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載322 x 4x +3x+32 除以 x+2 的余式為,422x x +1 除以 x x2 的余式為3 己知 x3+mx+4能被 x+1 整除,求 m4 己知 x4+ax3+bx16 含有兩個因式x1 和 x 2、 求 a 和 b 的 值5 己知 13x3+mx2+11x+n 能被 13x26x+5 整除、 求 m.n 及商式6 己知 ab0、m 取什么值時, a3 6a2b+mab2-8b 3 有因式 a 2b.7 分解因式： x3 -7x+6、x3-3x 2+4、x3-10x-38. 挑選題x2y-y 2z+z2x-x 2z+y2x+z2 y-2xyz 因式分解的結果為（）ax+yy-zx-zb x+yy+zx-zc x-yy-zx+zd x-yy+zx+z精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n3+p 能被 n+q 整除n、p、q都為正整數 ,對于以下各組的p、q 值能使 n 的值為最大的為（）（a） p=100、q=10 b p=5000、q=20 c p=50、q=12、 d p=300、q=15.練習 18 參考答案：1. 4, 22. 2； 4x+53. 3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4.a55.2b