§補充：空間向量與運用

1、§主卜充邑空風向量與運用_（2l學習目標1. 會求空間直線的方向向量，平面的法向量.2. 會用向量法求空間角與證明空間的平行、垂直問題。學習過程一、課前準備（預習教材尸28巴0,找出疑惑之竺復習引入:1.人（兀,）,可），（兀22，?2），則ab = （，）i ab 1=2空i'ajjrjft的坐標運算若m =（兀,石）,色=（x2,>'2.z2）»則_（1） m ±n = （,、） ； /h n =； （2） m =,cos < m,n >- （3）加丄 o3共線向量定理：對平面任意兩個向量（0）, a &的充要條件是存

2、在唯一實數(shù)久使fia = ab 即設 d =（兀,x, z j, b =（勺， 乂2 ），則二、新課導學探學習探究1：用向量求空間角1. 異面直線所成的角：abg6/;c,£>gz?,則向量ab.cd分別為直線c方向向量,cos < abcd >=ab cd,v ab,cd >所對應的銳角或直角即為直線所成的角。ab cd探 典型例題例1：如圖，已知直棱柱abc-a|b|ci，在4abc中， ca=cb=1, zbca = 90° ,棱aa1=2,求異血宜線bap cb】所成的角。2. 線呼成的角：如圖總線ap的射影為a0,則zp40為肓線ap與平曲

3、q的夾 角，若7為平而q的法向量，那么有sin zpa0 = coszap0 =。cic探 典型例題例2.棱長為a的正方體abcd-aibicidi中，e、f分別 為cd、bg的中點,求點aj）與平ftl efbd所成的角。3. 二面角的求法:二而角a-l-b，平而蘭®法向量加芒網0的法向量 n ,則二面角。一2 0平面角0滿足& =<m,n >或;r-v加,（即 m ni cos & 1=1 cos < m、n >1=11 ）。探 典型例題例3.如圖，平ifu abcd, a ade是等邊三角形，abcd是矩形，f是ab的 中點，g是ad的中

4、點，ec與平面abcd成30°的角。（1）求證：eg丄平而abcd；若ad=2,求二面角e-fg-g的度數(shù)；探學習探究2：用向量證明平行關系1. 線線平行：若兩直線/| > /2的方向向最分別為m -（兀,知）,兀=（兀2，2憶2），則厶/2 o mh n 0 m = zl/7 « =兀2 )'252. 線面平行：若直線/的方向向雖:為加=（兀1，）,2），平面q的法向量為斤=（兀22憶2），則* illa <=> m 丄 o 加 = 0 o xax2 +）y2 + 知乞=0。3. 面面平行：若兩面0、0的法向最分別為/7?二（xj, ） , z

5、）, 7? = （x2, y9 .z j則，odl(3 o mhn m = an <= = 兀2 $2 s探 典型例題例4.（2013.新課標。17）如圖，直三棱abc-acv，d, e分別是ab，bb的中點，=ac = cb ab a i )證明：bcji 平面2（ii）求二而角d_a、c_e的正弦值。cb探 典型例題例5. （2013.陜西.8）四棱柱abcdalblcldl的底ifij' abcd是正方形,o為底 面中心，久0丄平面a3cd, ab = aa=. （ i ）證明：a/d /平面cd/i； ii）求三棱柱abd-abd的體積.探學習探究3：用向量證明垂直關系_

6、1線線垂直：若兩直線厶、厶的方向向量分別為加=（兀,2）,斤=（花，2憶2），則 右丄厶oo2.線面垂直：若直線/的方向向最為加=0|,）,石），平面a的法向最為n =（兀2，兒憶2）則/丄 a oo4. 面面垂直：若兩平面q、0的法向量分別為萬=（西,）1心）,；=（兀2，）”2）則， a 丄 p oo探 典型例題例6 （2013.北京7）如圖，在四棱錐p-abcd中，ab/cd , ab丄ad ,cd = 2 ab ,平面p4d丄底面abcd, pa丄ad. e和f分別是cd和pc的中點，求證：(i ) pa丄底而abcd, (ii) be/平ffipad； (iii)平面bef丄平而pc

7、d o探 典型例題例7（2013.天津.17）如圖，三棱柱abca/c屮，側棱a/丄底面abc,且各棱長均相等.d, e, f分別為棱ab, bc,a|ci的中點.（i ）證明 ef/平面 a|cd;（ii）證明平jfll a|cz）丄平面 a.abbx； （iii）求肓線bc與平面a|cd所成角的正弦值.三、總結提升自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為（）a.很好 b.較好 c. 一般 d.較差探 當堂檢測（時量：15分鐘）計分：1.如圖,四棱錐p-abcd中所有的棱長都相等。求：二面角c-pd-b 人小設m、n分別為ad、pc小點，試求mn與底面ac及平面bdp 所成的角平面pab與平面pcd

8、所成二面角的人小2.四棱錐s abcd中，底iftl abcd為平行四邊形，側面sbc丄底面4bcd.己知zabc = 45°, ab = 2f bc = 22 , sa = sb =遲.(i ) 證明sa丄bc； (ii)求直線sd與平面sab所成角的人小.3. 在長方體 abcd-ab|cq| 中，已知 ab=d , bc=/?(d >/?) ,aa,=c,求異面直線 d)b 和ac所成的角的余弦值4在四棱錐 p-abcd 中,pd丄平面 abcd, pd=dc=bc=1, ab=2,abdc, zbcd=90°o 求證：pc 丄 bcae丄bc .求證ae丄平面qcd；5.已知正四