2011年北京高考數(shù)學(xué)理科試題及答案

1、絕密啟封并使用完畢前2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1 已知集合p=xx21,m=a.若pm=p,則a的取值范圍是a(-, -1 b1, +） c-1，1 d（-，-1 1，+）2 復(fù)數(shù) ai b-i c d3在極坐標(biāo)系中，圓=-2sin的圓心的極坐標(biāo)系是a b c (1,0) d(1，)4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值

2、為a-3 b- c d25如圖，ad，ae，bc分別與圓o切于點(diǎn)d，e，f，延長af與圓o交于另一點(diǎn)g。給出下列三個(gè)結(jié)論：ad+ae=ab+bc+ca； af·ag=ad·ae afb adg其中正確結(jié)論的序號是a bc d6根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工作組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分鐘）為 （a，c為常數(shù)）。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第a件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么c和a的值分別是a75，25 b75，16 c60，25 d60，167某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是a8 b c10 d8 設(shè),，,. 記為平行四邊形abcd內(nèi)部（不含邊界）的

3、整 點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)， 則函數(shù)的值域?yàn)閍 b c d第二部分（非選擇題 共110分）2、 填空題共6小題，每小題5分，共30分。9 在中。若b=5，tana=2，則sina=_；a=_。10 已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b與c共線，則k=_。11 在等比數(shù)列an中，a1=，a4=-4，則公比q=_；_。12 用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(gè)。（用數(shù)字作答）13 已知函數(shù)若關(guān)于x 的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則數(shù)k的取值范圍是_14曲線c是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1（-1，0）和f¬

4、2（1，0）的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.給出下列三個(gè)結(jié)論： 曲線c過坐標(biāo)原點(diǎn)； 曲線c關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；若點(diǎn)p在曲線c上，則fpf的面積大于a。其中，所有正確結(jié)論的序號是_。三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15（本小題共13分）已知函數(shù)。（）求的最小正周期：（）求在區(qū)間上的最大值和最小值。16（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長.17（本小題共13分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以x表示。（）如果x=8,

5、求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；（）如果x=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹y的分布列和數(shù)學(xué)期望。（注：方差，其中為， 的平均數(shù)）18（本小題共13分）已知函數(shù)。（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若對于任意的，都有，求的取值范圍。19（本小題共14分）橢圓.過點(diǎn)（m,0）作圓的切線i交橢圓g于a，b兩點(diǎn).（i）求橢圓g的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（ii）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.20（本小題共13分）若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=（）寫出一個(gè)滿足，且0的數(shù)列；（）若，n=2000，證明：e數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；（）對任意給定的整數(shù)n（n2），是否存在首項(xiàng)為0的

6、e數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的e數(shù)列；如果不存在，說明理由。參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）c （2）a （3）b （4）d （5）a （6）d （7）c （8）c二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9） （10）1 （11）2 （12）14 （13）（0，1） （14）三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（）因?yàn)樗缘淖钚≌芷跒椋ǎ┮驗(yàn)橛谑?，?dāng)時(shí)，取得最大值2；當(dāng)取得最小值1.（16）（共14分）證明：（）因?yàn)樗倪呅蝍bcd是菱形，所以acbd.又因?yàn)閜a平面abcd.所以pabd.所以bd平面pac.（）設(shè)acbd=

7、o.因?yàn)閎ad=60°，pa=pb=2,所以bo=1，ao=co=.如圖，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，則p（0，2），a（0，0），b（1，0，0），c（0，0）.所以設(shè)pb與ac所成角為，則.（）由（）知設(shè)p（0，t）（t>0），則設(shè)平面pbc的法向量,則所以令則所以同理，平面pdc的法向量 因?yàn)槠矫鎝cb平面pdc,所以=0，即 解得 所以pa=（17）（共13分）解（1）當(dāng)x=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為方差為（）當(dāng)x=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9

8、，10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)y的可能取值為17，18，19，20，21事件“y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此p（y=17）=同理可得所以隨機(jī)變量y的分布列為：y1718192021pey=17×p（y=17）+18×p（y=18）+19×p（y=19）+20×p（y=20）+21×p（y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19（18）（共13

9、分）解：（）令，得.當(dāng)k>0時(shí)，的情況如下x()(,k)k+00+0所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是（）和；單高層區(qū)間是當(dāng)k<0時(shí)，的情況如下x()(,k)k0+00所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是（）和；單高層區(qū)間是（）當(dāng)k>0時(shí)，因?yàn)?，所以不?huì)有當(dāng)k<0時(shí)，由（）知在（0，+）上的最大值是所以等價(jià)于解得.故當(dāng)時(shí)，k的取值范圍是（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以橢圓g的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為（）由題意知，.當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為此時(shí)當(dāng)m=1時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí)，設(shè)切線l的方程為由設(shè)a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則又由l與圓所以由于當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，|ab|=2，所以|ab|的最大值為2.（20）（共13分）解：（）0，1，2，1，0是一具滿足條件的e數(shù)列a5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的e的數(shù)列a5）（）必要性：因?yàn)閑數(shù)列a5是遞增數(shù)列，所以.所以a5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列. 所以a2000=12+（20001）×1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a100