2009年湖北省高考數(shù)學試卷(理科)答案與解析

1、2009年湖北省高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）（2009湖北）已知p=|=（1，0）+m（0，1），mr，q=|=（1，1）+n（1，1），nr是兩個向量集合，則pq=（）a（1，1）b（1，1）c（1，0）d（0，1）【考點】交集及其運算菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】先根據(jù)向量的線性運算化簡集合p，q，求集合的交集就是尋找這兩個集合的公共元素，通過列方程組解得【解答】解：由已知可求得p=（1，m），q=（1n，1+n），再由交集的含義，有，所以選a【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題2（5分）（2009湖北）設a

2、為非零實數(shù)，函數(shù)y=（xr，且x）的反函數(shù)是（）ay=（xr，且x）by=（xr，且x）cy=（xr，且x1）dy=（xr，且x1）【考點】反函數(shù)菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】從條件中函數(shù)y=（xr，且x）中反解出x，再將x，y互換即得原函數(shù)的反函數(shù)，再依據(jù)函數(shù)的定義域求得反函數(shù)的定義域即可【解答】解：由函數(shù)y=（xr，且x）得：x=，函數(shù)y=（xr，且x）的反函數(shù)是：y=（xr，且x1）故選d【點評】求反函數(shù)，一般應分以下步驟：（1）由已知解析式y(tǒng)=f（x）反求出x=（y）；（2）交換x=（y）中x、y的位置；（3）求出反函數(shù)的定義域（一般可通過求原函數(shù)的值域的方法求反函數(shù)的定義域）3

3、（5分）（2009湖北）投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分別為m和n，則復數(shù)（m+ni）（nmi）為實數(shù)的概率為（）abcd【考點】復數(shù)的基本概念；古典概型及其概率計算公式菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】按多項式乘法運算法則展開，化簡為a+bi（a，br）的形式，虛部為0，求出m、n的關系，求出滿足關系的基本事件的個數(shù)，求出概率即可【解答】解：因為（m+ni）（nmi）=2mn+（n2m2）i為實數(shù)所以n2=m2故m=n則可以取1、2、3、4、5、6，共6種可能，所以，故選c【點評】本題考查復數(shù)的基本概念，古典概型及其概率計算公式，考查分析問題解決問題的能力，是基礎題4（5分）（2009湖北

4、）函數(shù)y=cos（2x+）2的圖象f按向量平移到f，f的函數(shù)解析式為y=f（x），當y=f（x）為奇函數(shù)時，向量a可以等于（）a（，2）b（，2）c（，2）d（，2）【考點】函數(shù)y=asin（x+）的圖象變換；余弦函數(shù)的奇偶性菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】由左加右減上加下減的原則可確定函數(shù)y=cos（2x+）2到y(tǒng)=sin2x的路線，進而確定向量【解答】解：y=cos（2x+）2將函數(shù)y=cos（2x+）2向左平移個單位，再向上平移2個單位可得到y(tǒng)=cos（2x+）=sin2x=（，2）故選b【點評】本題是基礎題，考查三角函數(shù)圖象平移，三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減注意向量的平移的

5、方向5（5分）（2009湖北）將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到一個班，則不同分法的種數(shù)為（）a18b24c30d36【考點】排列、組合的實際應用菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】由題意知本題可以先做出所有情況再減去不合題意的結果，用間接法解四名學生中有兩名學生分在一個班的種數(shù)是c42，順序有a33種，而甲乙被分在同一個班的有a33種，兩個相減得到結果【解答】解：每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到一個班用間接法解四名學生中有兩名學生分在一個班的種數(shù)是c42，元素還有一個排列，有a33種，而甲乙被分在同一個班的有a33種，滿

6、足條件的種數(shù)是c42a33a33=30故選c【點評】本題考查排列組合的實際應用，考查利用排列組合解決實際問題，是一個基礎題，這種題目是排列組合中經常出現(xiàn)的一個問題6（5分）（2009湖北）設+a2nx2n，則（a0+a2+a4+a2n）2（a1+a3+a5+a2n1）2=（）a1b0c1d【考點】二項式定理的應用菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】本題因為求極限的數(shù)為二項式展開式的奇數(shù)項的系數(shù)和的平方與偶數(shù)項的系數(shù)和的平方的差，故可以把x賦值為1代入二項展開式中，求出a=a0+a1+a2+a3+a2n1+a2n=，再令x=1，可得到b=a0a1+a2a3+a4a5+a2n1+a2n=，而求極限

7、的數(shù)由平方差公式可以知道就是式子a與b的乘積，代入后由平方差公式即可化簡為求得答案【解答】解：令x=1和x=1分別代入二項式+a2nx2n中得a0+a1+a2+a3+a2n1+a2n=，a0a1+a2a3+a4a5+a2n1+a2n=由平方差公式得（a0+a2+a4+a2n）2（a1+a3+a5+a2n1）2=（a0+a1+a2+a3+a2n1+a2n）（a0a1+a2a3+a4a5+a2n1+a2n）=所以（a0+a2+a4+a2n）2（a1+a3+a5+a2n1）2=0故選擇b【點評】本題主要考查了二項式定理的應用問題，主要是二項式系數(shù)和差的考查，并兼顧考查了學生的計算能力與劃歸能力以及求

8、極限問題7（5分）（2009湖北）已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線y=kx+2與橢圓至多有一個交點的充要條件是（）ak，bk，+ck，dk，+【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的應用；雙曲線的簡單性質菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】先求得準線方程，可推知a和b的關系，進而根據(jù)c2=a2b2求得b，橢圓的方程可得，與直線y=kx+2聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式小于等于0求得k的范圍【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線中，c2=2+2=4，則c=2，易得準線方程是x=±=±1所以c2=a2b2=4b2=1即b2=3所以方程是聯(lián)立y=kx+2可得（3+4k2）x2+16kx+4=0

9、由0解得k，故選a【點評】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題解題的關鍵是先根據(jù)橢圓的性質求出橢圓的方程8（5分）（2009湖北）在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為（）a2000元b2200元c2400元d2800元【考點】簡單線性規(guī)劃的應用菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題；壓軸題；數(shù)形結合【分析】根據(jù)題中的敘述將實際問題轉化為不等式中的線性規(guī)劃問題，利用線性規(guī)劃確定最值【解答】解：設需使用甲型

10、貨車x輛，乙型貨車y輛，運輸費用z元，根據(jù)題意，得線性約束條件求線性目標函數(shù)z=400x+300y的最小值解得當時，zmin=2200故選b【點評】在確定取得最大值、最小值時，應注意實際問題的意義，整數(shù)最優(yōu)解9（5分）（2009湖北）設球的半徑為時間t的函數(shù)r（t）若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑a成正比，比例系數(shù)為cb成正比，比例系數(shù)為2cc成反比，比例系數(shù)為cd成反比，比例系數(shù)為2c【考點】球的體積和表面積菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題；應用題；壓軸題【分析】求出球的體積的表達式，然后球的導數(shù)，推出，利用面積的導數(shù)是體積，求出球的表面積的增長速度與球半徑的比例關系【

11、解答】解：由題意可知球的體積為，則c=v（t）=4r2（t）r（t），由此可得，而球的表面積為s（t）=4r2（t），所以v表=s（t）=4r2（t）=8r（t）r（t），即 v表=8r（t）r（t）=2×4r（t）r（t）=故選d【點評】本題考球的表面積，考查邏輯思維能力，計算能力，是中檔題10（5分）（2009湖北）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）a289b1024c1225d1378

12、【考點】數(shù)列的應用；歸納推理菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題；壓軸題；新定義【分析】根據(jù)圖形觀察歸納猜想出兩個數(shù)列的通項公式，再根據(jù)通項公式的特點排除，即可求得結果【解答】解：由圖形可得三角形數(shù)構成的數(shù)列通項，同理可得正方形數(shù)構成的數(shù)列通項bn=n2，則由bn=n2（nn+）可排除d，又由，與無正整數(shù)解，故選c【點評】考查學生觀察、分析和歸納能力，并能根據(jù)歸納的結果解決分析問題，注意對數(shù)的特性的分析，屬中檔題二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11（5分）（2009湖北）已知關于x的不等式的解集，則實數(shù)a=2【考點】其他不等式的解法菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】先利用解分式不等式的

13、方法轉化原不等式，再結合其解集，得到x=是方程ax1=0的一個根，最后利用方程的思想求解即得【解答】解：不等式，（ax1）（x+1）0，又關于x的不等式的解集，x=是方程ax1=0的一個根，a×（）1=0，a=2故答案為：2【點評】本小題主要考查分式不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)方程思想、化歸與轉化思想屬于基礎題12（5分）（2009湖北）如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)落在6，10內的頻數(shù)為64，數(shù)據(jù)落在（2，10）內的概率約為0.4【考點】頻率分布直方圖菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題；壓軸題【分析】從直方圖得出數(shù)落在6，

14、10內的頻率和數(shù)據(jù)落在（2，10）內的頻率后，再由頻率=，計算頻數(shù)即得【解答】解：觀察直方圖易得數(shù)落在6，10內的頻率=0.08×4；數(shù)據(jù)落在（2，10）內的頻率=（0.02+0.08）×4；樣本數(shù)落在6，10內的頻數(shù)為200×0.08×4=64，頻率為0.1×4=0.4故答案為64 0.4【點評】本題考查讀頻率分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，同時考查頻率、頻數(shù)的關系：頻率=13（5分）（2009湖北）如圖，衛(wèi)星和地面之間的電視信號沿直線傳播，電視信號

15、能夠傳送到達的地面區(qū)域，稱為這個衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域為了轉播2008年北京奧運會，我國發(fā)射了“中星九號”廣播電視直播衛(wèi)星，它離地球表面的距離約為36000km已知地球半徑約為6400km，則“中星九號”覆蓋區(qū)域內的任意兩點的球面距離的最大值約為12800arccoskm（結果中保留反余弦的符號）【考點】球面距離及相關計算菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】先求出球的半徑，然后求出aob的余弦值，求出角，再求其外接球面上兩點a，b間的球面距離【解答】解：如圖所示，可得ao=42400，則在rtabo中可得：cosaob=，所以l=cos×r=2aobr=12800arccos球面距離的最大值

16、約為：12800arccos故答案為：12800arccos【點評】本題考查球面距離的計算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎題14（5分）（2009湖北）已知函數(shù)f（x）=f（）cosx+sinx，則f（）的值為1【考點】導數(shù)的運算；函數(shù)的值菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題；壓軸題【分析】利用求導法則：（sinx）=cosx及（cosx）=sinx，求出f（x），然后把x等于代入到f（x）中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出f（）的值，把f（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出f（）的值【解答】解：因為f（x）=f（）sinx+cosx所以f（）=f（

17、）sin+cos解得f（）=1故f（）=f（）cos+sin=（1）+=1故答案為1【點評】此題考查學生靈活運用求導法則及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，會根據(jù)函數(shù)解析式求自變量所對應的函數(shù)值，是一道中檔題15（5分）（2009湖北）已知數(shù)列an滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=若a6=1，則m所有可能的取值為4，5，32【考點】數(shù)列遞推式菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】由題設知a5=2，a4=4，有兩種情況：a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；a3=8，a2=16，有兩種情況：a1=5，即m=5；a1=32，即m=32【解答】解：數(shù)列an滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=，a

18、6=1，a5=2，a4=4，有兩種情況：a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；a3=8，a2=16，有兩種情況：a1=5，即m=5；a1=32，即m=32故答案為：4，5，32【點評】本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用三、解答題（共6小題，滿分75分）16（10分）（2009湖北）一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)2，3，4，5；另一個盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標有數(shù)3，4，5，6現(xiàn)從一個盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機變量=x+y，求的分布列和數(shù)學期望【考點】離

19、散型隨機變量的期望與方差菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】隨機變量=x+y，依題意的可能取值是5，6，7，8，9，10，11，結合變量對應的事件，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率做出概率的值，寫出分布列和期望【解答】解：隨機變量=x+y，依題意的可能取值是5，6，7，8，9，10，11得到p（=5）=； p（=6）=p（=7）=； p（=8）=p（=9）=； p（=10）=p（=11）=的分布列為567891011pe=5×+6×+7×+8×+9×+10×+11×=8【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立

20、事件同時發(fā)生的概率，考查利用概率知識解決實際問題，本題是一個綜合題目17（12分）（2009湖北）已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），=（1，0）（1）求向量的長度的最大值；（2）設=，且（），求cos的值【考點】平面向量數(shù)量積的運算；向量的模；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題【分析】（1）利用向量的運算法則求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函數(shù)的平方關系將其化簡，利用三角函數(shù)的有界性求出最值（2）利用向量垂直的充要條件列出方程，利用兩角差的余弦公式化簡得到的等式，求出值【解答】解：（1）=（cos1，sin），則|2=（cos

21、1）2+sin2=2（1cos）1cos1，0|24，即0|2當cos=1時，有|b+c|=2，所以向量的長度的最大值為2（2）由（1）可得=（cos1，sin），（）=coscos+sinsincos=cos（）cos（），（）=0，即cos（）=cos由=，得cos（）=cos，即=2k±（kz），=2k+或=2k，kz，于是cos=0或cos=1【點評】本題考查向量模的性質：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要條件；三角函數(shù)的平方關系、三角函數(shù)的有界性、兩角差的余弦公式18（12分）（2009湖北）如圖，四棱錐sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=2a，ad=

22、a，點e是sd上的點，且de=a（02）（）求證：對任意的（0，2），都有acbe（）設二面角caed的大小為，直線be與平面abcd所成的角為，若tantan=1，求的值【考點】空間中直線與直線之間的位置關系；直線與平面所成的角；與二面角有關的立體幾何綜合題菁優(yōu)網版權所有【專題】計算題；證明題【分析】解法一：（幾何法）（）因為sd平面abcd，bd是be在平面abcd上的射影，由三垂線定理只要證acbd即可（）先找出和，因為由sd平面abcd知，dbe=，二面角caed的平面角可由三垂線定理法作出再用表示出tan和tan，代入tantan=1，解方程即可解法二：（向量法）因為dadcds兩兩

23、垂直，故可建立空間直角坐標系，由向量法求解（）寫出向量和的坐標，只要數(shù)量積為0即可（）分別求出平面ace的法向量、平面abcd與平面ade的一個法向量，由夾角公式求出cos和sin，再由tantan=1求解即可【解答】解：（）證法1：如圖1，連接be、bd，由地面abcd是正方形可得acbdsd平面abcd，bd是be在平面abcd上的射影，acbe（）解法1：如圖1，由sd平面abcd知，dbe=，sd平面abcd，cd平面abcd，sdcd又底面abcd是正方形，cdad，而sdad=d，cd平面sad連接ae、ce，過點d在平面sad內作dfae于f，連接cf，則cfae，故cfd是二面

24、角caed的平面角，即cfd=在rtbde中，bd=2a，de=atan=在rtade中，de=aae=a從而df=在rtcdf中，tan=由tantan=1，得即=2，所以2=2由02，解得，即為所求（）證法2：以d為原點，以dadcds的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標系，則d（0，0，0），a（，0，0），b（a，a，0），c（0，a，0），e（0，0，a），即acbe（）解法2：由（i）得，設平面ace的法向量為n=（x，y，z），則由，得即取，得易知平面abcd與平面ade的一個法向量分別為與，0，0tantan=1+=sin=cos2=2由02，解得，即

25、為所求【點評】本題考查空間線線垂直的證明、空間垂直之間的相互轉化、空間角的求解，考查邏輯推理能力和運算能力19（13分）（2009湖北）已知數(shù)列an的前n項和sn=an（）n1+2（nn*）（1）令bn=2nan，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式（2）令cn=，試比較tn與的大小，并予以證明【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質；數(shù)學歸納法菁優(yōu)網版權所有【分析】（1）由題意知s1=a11+2=a1，所以2nan=2n1an1+1，bn=bn1+1，再由b1=2a1=1，知數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列于是bn=1+（n1）1=n=2nan，所以（2），利用錯位相減

26、求和法可知，于是確定tn與的大小關系等價于比較2n與2n+1的大小猜想當n=1，2時，2n2n+1，當n3時，2n2n+1然后用數(shù)學歸納法證明【解答】解：（1）在中，令n=1，可得s1=a11+2=a1，即當n2時，所以所以，即2nan=2n1an1+1因為bn=2nan，所以bn=bn1+1，即當n2時，bnbn1=1又b1=2a1=1，所以數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列于是bn=1+（n1）1=n=2nan，所以（2）由1）得所以由得所以于是確定tn與的大小關系等價于比較2n與2n+1的大小猜想當n=1，2時，2n2n+1，當n3時，2n2n+1下面用數(shù)學歸納法證明：當n=3時，顯然

27、成立假設當n=k（k3）時，2k2k+1成立則當n=k+1時，2k+1=22k2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k1）2（k+1）+1所以當n=k+1時，猜想也成立于是，當n3，nn*時，2n2n+1成立綜上所述，當n=1，2時，當n3時，【點評】本題考查當數(shù)列的綜合運用，難度較大，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，解題時要注意數(shù)學歸納法的解題過程20（14分）（2009湖北）過拋物線y2=2px（p0）的對稱軸上一點a（a，0）（a0）的直線與拋物線相交于m、n兩點，自m、n向直線l：x=a作垂線，垂足分別為m1、n1（）當a=時，求證：am1an1；（）記amm1、am1n

28、1、ann1的面積分別為s1、s2、s3，是否存在，使得對任意的a0，都有s22=s1s3成立？若存在，求出的值，否則說明理由【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題菁優(yōu)網版權所有【專題】綜合題；壓軸題；數(shù)形結合；方程思想；轉化思想【分析】（） 由題意，可設設直線mn的方程為x=my+a，m（x1，y1），n（x2，y2），則有m1（a，y1），n1（a，y2）將x=my+a代入y2=2px（p0）消去x可得y22mpy2ap=0利用根與系數(shù)的關系及點a（a，0）得出即可證明出結論；（）假設存在=4，使得對任意的a0，都有s22=4s1s3成立，分別表示出三個三角形的面積，代入驗證即可證明出結論【解答

29、】解：依題意，可設直線mn的方程為x=my+a，m（x1，y1），n（x2，y2），則有m1（a，y1），n1（a，y2）將x=my+a代入y2=2px（p0）消去x可得y22mpy2ap=0 從而有y1+y2=2mp，y1y2=2ap 于是x1+x2=m（y1+y2）+2a=2（m2p+a） 又由y12=2px1，y22=2px2可得x1x2=a2 （）證：如圖，當a=時，點a（，0）即為拋物線的焦點，l為其準線，其方程為x=此時m1（，y1），n1（，y2）并由 可得y1y2=p2，=0，故有 am1an1； （）存在=4，使得對任意的a0，都有s22=4s1s3成立，證明如下：證：記直線

30、l與x軸的交點為a1，則|oa|=|oa1|=a于是有s1=|mm1|a1m1|=（x1+a）|y1|，s2=|m1n1|aa1|=a|y1y2|，s3=|nn1|a1n1|=（x2+a）|y2|，s22=4s1s3（a|y1y2|）2=（x1+a）|y1|）2 ×（x2+a）|y2|）2 a2（y1+y2）24y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2|y1y2|將、代入上式化簡可得a2（4m2p2+8ap）=4a2p（m2p+2a）上式恒成立，即對任意的a0，s22=4s1s3成立【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合題，考查了根與系數(shù)的關系，三角形的面積公式，拋物線的性質等，解題的關鍵是認真審題準確轉化題設中的關系，本題綜合性強，符