2022年2022年基本不等式知識(shí)點(diǎn)和基本題型

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)1.基本不等式原始形式基本不等式專題輔導(dǎo)22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）如a、 br ,就 a 2b 22ab（ 2）如a、br ,就 abab 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.基本不等式一般形式（均值不等式）如 a、 b3.基本不等式的兩個(gè)重要變形r* ,就 ab2ab2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）如a、 br* ,就 ab2ab（ 2）如a 、br* ,就 abab2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

2、下載總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí),它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí),它們的積有最小值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載特殊說(shuō)明：以上不等式中,當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)取“ =”精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4.求最值的條件： “一正,二定,三相等”5.常用結(jié)論精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）如 x0 ,就 x12 當(dāng)且僅當(dāng)xx1時(shí)取“ =”）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如 x0 ,就 x12 當(dāng)且僅當(dāng)xx1 時(shí)取“ =”）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）如 ab0 ,就 abb 2 當(dāng)且僅當(dāng)

3、aa22b 時(shí)取“ =”）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 4）如（ 5）如a、 ba、 br ,就 abr* ab 2ab 22221abab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,就ab1122ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載特殊說(shuō)明：以上不等式中,當(dāng)且僅當(dāng)6.柯西不等式ab 時(shí)取“ =”精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）如a、 b、c、 dr ,就a 2b2 c2d 2 acbd 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如a 、a、 a 、b 、 b、br ,就有：a 2a 2a2 b 2b 2b2 a ba

4、ba b 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1231231231 1231 12 23 3（ 3）設(shè)a 、 a、 a與b 、 b、 b為兩組實(shí)數(shù),就有a 2a 2a 2 b 2b 2b 2 a ba ba b 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12二.題型分析n12n12n12n1 12 2n n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型一：利用基本不等式證明不等式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.設(shè)a、 b 均為正數(shù),證明不等式:ab 211ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.已知a、b、 c 為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證：a

5、 2b 2c 22221abbcca精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.已知abc1,求證：abc3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4.已知a、 b、 cr ,且abc1,求證： 1a1b 1c8abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載已知 a 、b、cr,且abc1,求證：1111118abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6.選 修 4 5：不等式選講1 a 2b 2c2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) a、b、 c 均為正數(shù) 、 且 abc1 、 證明: abbcca;31 .bca精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

6、 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7.選 修 4 5：不等式選講：已知 ab0 ,求證 :2a 3b 32ab2a 2b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型二：利用不等式求函數(shù)值域精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.求以下函數(shù)的值域?qū)W習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22（ 1） y3x12 x（ 2） yx4x（3） y1x x0 x（ 4） y1xx0 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型三：利用不等式求最值（一）（湊項(xiàng)）4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.已知 x2 ,求函數(shù) y

7、2 x42 x4的最小值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 1：已知 x變式 2：已知 x2 ,求函數(shù)y2 ,求函數(shù)y2 x42x42 x2x的最小值；4的最大值；4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載練習(xí)： 1.已知 x5,求函數(shù) y44x214x5的最小值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.已知 x5,求函數(shù)y44 x214 x5的最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型四：利用不等式求最值（二）（湊系數(shù)）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.當(dāng)時(shí),求yx82 x 的最大

8、值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 1：當(dāng)時(shí),求 y4 x82 x 的最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 2：設(shè) 0x3,求函數(shù)y24 x32 x 的最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.如 0x2 ,求 yx63x的最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 ：如 0x4 ,求 yx82x的最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.求函數(shù)y2x1152 x2x5

9、 的最大值；（提示：平方,利用基本不等式）2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式： 求函數(shù) y4 x3114x 34x11 的最大值； 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型五：巧用“1”的代換求最值問(wèn)題11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.已知法一： 法二：a、 b0、 a2b1 ,求 t的最小值；ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 1：已知a、b0、 a2b2 ,求 t11 的最小值；a b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 2：已知x、 y280、1 ,求 xy

10、的最小值；xy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 3：已知變式 4：已知x、 yx、 y0 ,且 119 ,求 xy 的最小值；xy0 ,且 194 ,求 xy 的最小值；xy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 5：（ 1）如x、 y0 且 2xy1 ,求 11xy的最小值；（ 2）如a、 b、 x、 yr且 a xb 1,求 xyy 的最小值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列a滿意： aa2a,如存在兩項(xiàng)a 、 a,使得a a4a , 求 14的最小值；精品

11、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n765mnmn1mn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型六：分別換元法求最值（明白）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.求函數(shù)yx27x10 x1 的值域；變式： 求函數(shù) yx28 x1 的值域；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.求函數(shù) yx22 x5的最大值；（提示：換元法）變式： 求函數(shù) yx1的最大值；4 x9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.已知log 2

12、alog 2 b1 ,求3a9b 的最小值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.（ 2021 天津）已知a 、b0 ,求 1a12ab 的最小值； b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 1：（ 2021 四川）假如ab 0 ,求關(guān)于a、 b 的表達(dá)式 a 21ab1a a的最小值；b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mn變式2：（ 2021 湖北武漢診斷）已知,當(dāng)a0、 a1 時(shí),函數(shù)ylog a x11 的圖像恒過(guò)定點(diǎn)a ,如點(diǎn) a 在直線精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

13、料 - - - 歡迎下載mxyn0 上,求42 的最小值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.已知x、 y0 , x2 y2xy8 ,求x2 y 最小值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 1： 已知a 、b0 ,滿意 abab3 ,求 ab 范疇；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 2：（ 2021 山東） 已知x、 y0 ,112x2y1 ,求 xy 最大值；（提示：通分或三角換元）3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式 3：（ 2021 浙江） 已知x、 y0 , x2y2xy1,求 xy 最大值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

14、- - 歡迎下載4.（ 2021 年山東 （理）設(shè)正實(shí)數(shù)x、 y、 z 滿意 x23xy4y2z0 、 就當(dāng)xy 取得最大值時(shí) 、 2 zx12的最大值為 （ 1）yz精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（提示：代入換元、 利用基本不等式以及函數(shù)求最值）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式： 設(shè) x、 y、 z 為正數(shù),滿意x2 y3 z0 ,求y的最小值；2xz精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型八：利用基本不等式求參數(shù)范疇精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.（ 2021 沈陽(yáng)檢測(cè)）已知x、 y0 ,且 xy 1xa 9 恒成立,求正實(shí)數(shù)a

15、 的最小值；y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.已知 xyz0 且11xyyzn恒成立,假如n xzn,求 n 的最大值；（參考： 4）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（提示：分別參數(shù),換元法）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式： 已知a、 b0 滿就 1a42 ,如 abbc 恒成立,求c 的取值范疇；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型九：利用柯西不等式求最值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.二維柯西不等式學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問(wèn)點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

16、a 、 b 、 c、 dr 、 當(dāng)且僅當(dāng) acb；即addbc時(shí)等號(hào)成立 如 a 、b、c、 dr ,就 a2b 2 c2d 2 acbd 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222.二維形式的柯西不等式的變式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22(1) abcdacbd , a、 b 、 c 、 dr 、 當(dāng)且僅當(dāng) acb；即addbc時(shí)等號(hào)成立 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) a2b2c2d 2acbda 、 b 、 c、 dr 、 當(dāng)且僅當(dāng) acb；即addbc時(shí)等號(hào)成立 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 ab cd acbd

17、 2, a 、 b 、 c、 d0 、 當(dāng)且僅當(dāng) acb；即addbc時(shí)等號(hào)成立 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.二維形式的柯西不等式的向量形式, 當(dāng)且僅當(dāng)0 、 或存在實(shí)數(shù)k 、使 ak時(shí)、等號(hào)成立 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1231 1231 12 23 34.三維柯西不等式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載123123如 a 、a、 a 、 b 、b、 br ,就有：a 2a 2a2 b 2b 2b 2 a ba ba b 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ai、 bir 、 當(dāng)且僅當(dāng) a1b1a2a3 時(shí)等號(hào)成立 b2b3

18、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5.一般 n 維柯西不等式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) a 、a、 a與b 、b、 b為兩組實(shí)數(shù),就有:a 2a 2a 2 b 2b 2b 2a ba ba b 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12n12n12n12n1 12 2n n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ai、 bir 、 當(dāng)且僅當(dāng) a1a2b1b2an 時(shí)等號(hào)成立 bn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.設(shè)x、 y、 zr ,如 x2y2z24 ,就 x2 y2z 的最小值為時(shí), x、y、 z精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載析： x此時(shí) x2 y2 z 2yzx2y2z2 1262 22,2 2 x49362 , y, x4 , z