2022年2022年定積分的應用教案

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載第六章定積分的應用教學目的1.懂得元素法的基本思想；2.把握用定積分表達和運算一些幾何量（平面圖形的面積.平面曲線的弧長.旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積.平行截面面積為已知的立體體積）；3.把握用定積分表達和運算一些物理量（變力做功.引力.壓力和函數(shù)的平均值等）；教學重點：1.運算平面圖形的面積.平面曲線的弧長.旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積.平行截面面積為已知的立體體積；2.運算變力所做的功.引力.壓力和函數(shù)的平均值等；教學難點：1. 截面面積為已知的立體體積；2.引力；§6 1定積分的元素法回憶曲邊梯形的面積設 y f x0 xa b假如說積分baf

2、 xdxa為以 a b為底的曲邊梯形的面積就積分上限函數(shù)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a xxf t dta精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就為以 ax為底的曲邊梯形的面積而微分 dax f xdx 表示點 x 處以 dx 為寬的小曲邊梯形面積的近似值a f xdx f xdx 稱為曲邊梯形的面積元素以 a b為底的曲邊梯形的面積a 就為以面積元素f xdx 為被積表達式以 a b 為積分區(qū)間的定積分baf x dxa一般情形下為求某一量u先將此量分布在某一區(qū)間ab 上分布在 ax 上的量用函數(shù) u x表示再求這一量的元素dux設 du x uxdx然后以 uxd

3、x 為被積表達式以ab 為積分區(qū)間求定積分即得buf xdxa用這一方法求一量的值的方法稱為微元法或元素法 §6 2定積分在幾何上的應用精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載一.平面圖形的面積1直角坐標情形設平面圖形由上下兩條曲線yf 上 x與 y f 下x及左右兩條直線x a 與 x b 所圍成就面積元素為 f 上xf 下x dx于為平面圖形的面積為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bs f上 xaf 下xdx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載類似地由左右兩條曲線x左 y與 x右 y及上下兩條直線y d 與 y c 所圍成設平面圖形的

4、面積為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ds右 yc左 ydy精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 1 運算拋物線y2 x.y x2 所圍成的圖形的面積解 1畫圖2 確定在 x 軸上的投影區(qū)間: 01精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3 確定上下曲線f上 xx 、f下 xx 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4 運算積分13精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載sxx2 dx 2 x 21 x311精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載03303例 2 運算拋物線y2 2x 與直線 y x 4 所圍成的圖形的面積解 1畫圖2 確

5、定在 y 軸上的投影區(qū)間: 2 4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3 確定左右曲線4 運算積分左 y1 y 2、2右 yy4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4s y241 y 2dy2x2 1 y 24 y2y21 y341826精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3 求橢圓a21 所圍成的圖形的面積b2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解 設整個橢圓的面積為橢圓在第一象限部分的四倍橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為 0 a由于面積元素為ydx所以as4ydx0橢圓的參數(shù)方程為: x a

6、cos ty b sin ta0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于為s4y d x04b s i ntd ac o ts2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4ab0 sin22tdt2ab2 10cos2tdt2ab 2ab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載2極坐標情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素由曲線 及射線圍成的圖形稱為曲邊扇形曲邊扇形的面積元素為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ds12 2d精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載曲邊扇形的面積為精品學習資料精選學習資料

7、 - - - 歡迎下載s1 2 2d精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 4. 運算阿基米德螺線a a >0 上相應于從 0 變到 2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解 :s2 1a2d1 a2 1324 a23精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載0 22303例 5. 運算心形線a1 cos a>0所圍成的圖形的面積精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解 :s21 a10 2cos2 da21022cos1 cos2 d2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - -

8、 歡迎下載a2 322sin1 sin 2 043 a22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載二.體積1旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就為由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸常見的旋轉(zhuǎn)體圓柱.圓錐.圓臺.球體旋轉(zhuǎn)體都可以看作為由連續(xù)曲線y f x.直線 x a .a b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體設過區(qū)間 ab 內(nèi)點 x 且垂直于x 軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為v x當平面左右平移dx后體積的增量近似為v f x 2dx于為體積元素為2dvf x dx旋轉(zhuǎn)體的體積為vb f x 2 dxa例 1連接坐標原點o 及點 p h r 的直線. 直

9、線 xh 及 x 軸圍成一個直角三角形將它繞 x軸旋轉(zhuǎn)構成一個底半徑為r.高為 h 的圓錐體運算這圓錐體的體積精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解 : 直角三角形斜邊的直線方程為所求圓錐體的體積為yr x h精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載vh r x 2 dx0hr 1 x3 h20h23x 2y 21hr 23精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2運算由橢圓1 所成的圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)橢球體 的體積a 2b 2解 : 這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作為由半個橢圓精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載yba 2x 2a及

10、x 軸圍成的圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積元素為2dvy dx2于為所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ba222vaaax2 dxb a2 x a1 x 3 a3 a4 ab23精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2例 3運算由擺線x at sin t y a1cos t的一拱直線 y 0 所圍成的圖形分別繞x 軸. y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積解所給圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載v2 ay 2 dx2a 2 1cost 2a1cos t dt精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x0a 3

11、 21003cos t3 cos2 tcos3 t dt精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載52a 3所給圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為兩個旋轉(zhuǎn)體體積的差設曲線左半邊為x=x1y .右半邊為 x=x2y就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2yv2ax 2 y dy02ax 2 y dy10精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 2 t2sin t 2a sin tdta 2 t0sin t 2a sin tdt精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 32t

12、0sin t 2sin tdt63a 3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2平行截面面積為已知的立體的體積設立體在 x 軸的投影區(qū)間為a b過點 x 且垂直于 x 軸的平面與立體相截截面面積為ax就體積元素為axdx立體的體積為bva x dxa例 4一平面經(jīng)過半徑為r 的圓柱體的底圓中心并與底面交成角運算這平面截圓柱所得立體的體積解取這平面與圓柱體的底面的交線為x 軸底面上過圓中心.且垂直于x 軸的直線為y 軸那么底圓的方程為x 2y 2 r 2立體中過點x 且垂直于 x 軸的截面為一個直角三角形兩個直角邊精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載分別為r2x 2 及r 2x

13、 2tan因而截面積為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a x1 r2x 2 tan2于為所求的立體體積為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載vr 1 r2x 2 tandx1 tan r 2 x1 x 3 r2 r3tan精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載r 223r3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 5求以半徑為r 的圓為底.平行且等于底圓直徑的線段為頂.高為h 的正劈錐體的體積精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載解 : 取

14、底圓所在的平面為 x o y 平面 圓心為原點 并使 x 軸與正劈錐的頂平行 底圓的方程為 x 2 y 2 r 2 過 x 軸上的點 x r<x<r作垂直于 x 軸的平面 截正劈錐體得等腰三角形 這截面的面積為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載axhyhr 2x 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2于為所求正劈錐體的體積為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載r2vr hrx 2 dx22r h2 c o s d1r2 h 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載0三.平面曲線的弧長設 a b 為曲線弧上的兩個端點在弧 ab 上任取分點a

15、m 0 m 1 m 2m i 1 m im n 1m n b并依次連接相鄰的分點得一內(nèi)接折線當分點的數(shù)目無限增加且每個小段m i 1m i 都縮向 n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載一點時假如此折線的長弧 ab 為可求長的| m ii 11 m i| 的極限存在就稱此極限為曲線弧ab 的弧長并稱此曲線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載定理光滑曲線弧為可求長的1直角坐標情形設曲線弧由直角坐標方程y fxa x b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載給出其中 fx在區(qū)間 a b上具有一階連續(xù)導數(shù)現(xiàn)在來運算這曲線弧的長

16、度取橫坐標x 為積分變量它的變化區(qū)間為 ab曲線y fx上相應于 ab 上任一小區(qū)間 x x dx 的一段弧的長度可以用該曲線在點xfx 處的切線上相應的一小段的長度來近似代替而切線上這相應的小段的長度為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載dx 2dy 21y 2 dx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載從而得弧長元素即弧微分 ds12ydx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載以1y 2 dx 為被積表達式在閉區(qū)間 a b 上作定積分便得所求的弧長為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bs1ya2 dx精品學

17、習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載在曲率一節(jié)中我們已經(jīng)知道弧微分的表達式為ds1y 2 dx這也就為弧長元素因此精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 1運算曲線y132 x 2 上相應于x 從 a 到 b 的一段弧的長度3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解yx 2從而弧長元素精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ds1y 2 dx1xdx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載因此所求弧長為b23

18、 b33精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載sa1xdx13x 2 a2 13b 21a 2 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2運算懸鏈線ycch x 上介于 xb 與 x b 之間一段弧的長度c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解ysh x c從而弧長元素為ds1sh2x dx cch x dx c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載因此所求弧長為bschbx dx cb2ch0x dx c2csh xcdx b2csh bc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載02參數(shù)方程情形設曲線弧由

19、參數(shù)方程xt.yt t給出其中t .t在上具有連續(xù)導數(shù)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由于 dydxt tdx td t所以弧長元素為2 t 22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ds12 t t dtt t dt精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所求弧長為s2 t 2 t dt精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3運算擺線x asin y a1cos 的一拱 02的長度解弧長元素為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所求弧長為dsa2 1cos 2a 2 sin2da21cosd2a sind 2精品學習資料精選學習資料 - -

20、- 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2s2a sind2a2 cos 28a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載022 03極坐標情形精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設曲線弧由極坐標方程 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載給出其中 r 在 上具有連續(xù)導數(shù)由直角坐標與極坐標的關系可得x cosy sin2于為得弧長元素為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2dsxy d2 2 d精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載從而所求弧長為s2 2 d精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載例 14求阿基米德

21、螺線aa>0 相應于從 0 到 2一段的弧長解弧長元素為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載dsa 22a 2 da12 d精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于為所求弧長為22s0a1da 22142ln 2142 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載§63功水壓力和引力一.變力沿直線所作的功例 1把一個帶q 電量的點電荷放在r 軸上坐標原點o 處它產(chǎn)生一個電場這個電場對四周的電荷有作用力由物理學知道假如有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點o 為 r 的地方那么電場對它的作用力的大小為精品學習資料精

22、選學習資料 - - - 歡迎下載qfk r 2k 為常數(shù) 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當這個單位正電荷在電場中從ra 處沿 r 軸移動到 rba<b處時運算電場力f 對它所作的功例 1電量為 +q 的點電荷位于r 軸的坐標原點o 處它所產(chǎn)生的電場力使r 軸上的一個單位正電荷從r=a 處移動到r=ba<b處求電場力對單位正電荷所作的功提示 : 由物理學知道在電量為 +q 的點電荷所產(chǎn)生的電場中距離點電荷r 處的單位正電荷精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所受到的電場力的大小為qfk r 2k 為常數(shù) 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備

23、歡迎下載解 : 在 r 軸上當單位正電荷從r 移動到 r+dr 時精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載電場力對它所作的功近似為k q dr r 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即功元素為dwk q dr r 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于為所求的功為b kqwdrkq1 bkq 11 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a r 2r aab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2在底面積為s 的圓柱形容器中盛有肯定量的氣體在等溫條件下由

24、于氣體的膨脹把容器中的一個活塞面積為 s從點 a 處推移到點b 處運算在移動過程中氣體壓力所作的功解取坐標系如圖活塞的位置可以用坐標x 來表示由物理學知道肯定量的氣體在等溫條件下壓強 p 與體積 v 的乘積為常數(shù)k即pvk 或 pkv解 : 在點 x 處由于 vxs所以作在活塞上的力為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載fp skskxsx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當活塞從x 移動到 x dx 時變力所作的功近似為k dx x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即

25、功元素為dwk dx x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于為所求的功為b kwa x dxklnxbk ln ba精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a例 3一圓柱形的貯水桶高為5m底圓半徑為3m桶內(nèi)盛滿了水試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？解作 x 軸 如圖取深度x 為積分變量它的變化區(qū)間為05相應于 05 上任小區(qū)間 x x dx 的一薄層水的高度為dx水的比重為9 8kn/m 3因此如x 的單位為m這薄層水的重力為 9 832dx這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dw 88 2x dx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載此即功元素于為所求的功為w588.20xdx88.2x2 5 2 088.225 kj2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載二.水壓力從物理學知道在水深為h 處的壓強為ph這里為水的比重假如有一面積為a 的平板水平地放置在水深為h 處那么平板一側(cè)所受的水壓力為p p a假如這個平板鉛直放置在水中那么由于水深不同的點處壓強p 不相等所以平板所受水的壓力就不能用上述方法運算例 4一個橫放著的圓柱形水桶桶內(nèi)盛有半桶水設桶的底半徑為r水的比重為精品