圓錐曲線的最值問(wèn)題常見(jiàn)類型及解法

1、圓錐曲線的最值問(wèn)題圓錐曲線的最值問(wèn)題常見(jiàn)類型及解法常見(jiàn)類型及解法 例例1 1、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)F F是雙曲線是雙曲線 的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)的左焦點(diǎn)，定點(diǎn) A A（1 1，4 4），），P P是雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則是雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為的最小值為 . . 221412xyPFPA思維導(dǎo)圖：思維導(dǎo)圖：根據(jù)雙曲線的定義，建立點(diǎn)根據(jù)雙曲線的定義，建立點(diǎn)A A、P P與兩焦點(diǎn)之間的關(guān)系與兩焦點(diǎn)之間的關(guān)系兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短F FA AP Py yx x例例1 1、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)F F是雙曲線是雙曲線 的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)的左焦點(diǎn)，定點(diǎn) A A（1 1，4 4），），P P是雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則是

2、雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為的最小值為 . . 221412xyPFPA解析：設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為解析：設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F F/ /249PFPAPFPFPAPFaPAPFAFF FA AP Py yx x例例2： 如圖，由橢圓的定義：橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)如圖，由橢圓的定義：橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離為定值定點(diǎn)之間的距離為定值|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|=10+ (|MA|-|MF|)10+ |AF|因此，當(dāng)因此，當(dāng)|AF|最大時(shí)，最大時(shí)， |MA|+|MF|是最大值。是最大值。具體解題過(guò)程如下：具體解題過(guò)程如下：已知橢圓已知橢圓 的右焦點(diǎn)的右焦點(diǎn)F，且

3、有定點(diǎn)且有定點(diǎn)A（1，1），），又點(diǎn)又點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。問(wèn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。問(wèn)|MA|+|MF|是否有最值，是否有最值，若有，求出最值并指出點(diǎn)若有，求出最值并指出點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)19y25x22 分析：分析：則則F的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4,0)解：解： 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F由橢圓的定義得：由橢圓的定義得： |MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|連連AF，延長(zhǎng)交橢圓于延長(zhǎng)交橢圓于M則則| |MA|-|MF| | |AF|當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)M,A,F三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立。三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立。 |MA|-|MF|的最大值為的最大值為 |AF|，這時(shí)這時(shí)M與與

4、M 重合重合 |AF|=141 2 ）（26 |MF|+|MA| 的最大值為的最大值為2610 要使要使|MF|+|MA|最大，最大， 即要使即要使|MA|-|MF|最大，最大，問(wèn)題：本題解題到此結(jié)束了嗎？問(wèn)題：本題解題到此結(jié)束了嗎？最小值為最小值為 2610 24yxx xy y例例1：在圓在圓x2+y2=4上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使它到直線使它到直線L：3x-2y-16=0的距離最短。的距離最短。222316略解：略解：圓心到直線圓心到直線L的距離的距離d1= 131316 所以圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為所以圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為 d=d1-r2131316 思考：思考： 例例1是否還有其

5、他解題方法？是否還有其他解題方法？問(wèn)題：直線問(wèn)題：直線L L的方程改為的方程改為 3x-2y-6=03x-2y-6=0， 其結(jié)果又如何？其結(jié)果又如何？21313161313216dmin 圓上的點(diǎn)到直線的最短距離即為兩平行直線間的距離圓上的點(diǎn)到直線的最短距離即為兩平行直線間的距離另解：另解：設(shè)平行于直線設(shè)平行于直線L且與圓相切的直線方程：且與圓相切的直線方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0直線與圓相切直線與圓相切=36 m2-52(m2-16)=0 m=132m2=52，代入圓代入圓x2+y2=4整理得：整理得：例例2 2、求橢圓、求橢圓 上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)到直線 的距的距

6、離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo). .2212xy2 3yx思維導(dǎo)圖：思維導(dǎo)圖：求與求與 平行的橢圓平行的橢圓的切線的切線2 3yx切線與直線切線與直線 的距離為的距離為最值，切點(diǎn)就是所求的點(diǎn)最值，切點(diǎn)就是所求的點(diǎn). . 2 3yxx xy yo o例例2 2、求橢圓、求橢圓 上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)到直線 的距的距離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo). .2212xy2 3yx解：設(shè)橢圓與解：設(shè)橢圓與 平行的切線方程為平行的切線方程為 2 3yxyxb22(1)12yxbxy

7、222234220(4 )4 3 (22)03xbxbbbb minmax61)3,;2362)3,.2bdbd 當(dāng)時(shí) 代 入 (1)得當(dāng)時(shí) 代 入 (1)得 2yx4yx例例3 求點(diǎn)求點(diǎn) 到橢圓到橢圓 上點(diǎn)的最大距離，上點(diǎn)的最大距離，并求出此時(shí)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)。并求出此時(shí)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)。)230(P，1y4x22 本題可以根據(jù)橢圓的方程設(shè)出滿足條件的本題可以根據(jù)橢圓的方程設(shè)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式借點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式借助于二次函數(shù)求出此最大值，并求出點(diǎn)的助于二次函數(shù)求出此最大值，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)。坐標(biāo)。分析：分析：此時(shí)，此時(shí)，3x21y ，所以所以 的最

8、大值為的最大值為PQ7即此時(shí)即此時(shí)Q的的坐標(biāo)為：坐標(biāo)為：），）、（，（213213 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) Q(x,y)為橢圓為橢圓 上的任意一點(diǎn)，上的任意一點(diǎn)，1y4x22 則則 2PQ22)23y(0 x ）（又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤2 = 4- 4y2 所以所以 2PQ49y3yy4422 425y3y32 7)21y(32 （1y1）解：解：例例3 求點(diǎn)求點(diǎn) 到橢圓到橢圓 上點(diǎn)的最大距離，上點(diǎn)的最大距離，并求出此時(shí)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)。并求出此時(shí)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)。)230(P，1y4x22 。最最大大距距離離是是上上的的使使其其到到橢橢圓圓求求：點(diǎn)點(diǎn)71y4x),m, 0(P22 思考題：思考題： 2214xy例

9、例1 1： 已知拋物線已知拋物線y y2 2=4x=4x，以拋物線上兩點(diǎn)以拋物線上兩點(diǎn)A(4,4)A(4,4)、B(1,-2)B(1,-2)的連線為底邊的的連線為底邊的ABPABP，其頂點(diǎn)其頂點(diǎn)P P在拋物線的弧在拋物線的弧ABAB上運(yùn)動(dòng)，求：上運(yùn)動(dòng)，求： ABPABP的最大面的最大面積及此時(shí)點(diǎn)積及此時(shí)點(diǎn)P P的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 動(dòng)點(diǎn)在弧動(dòng)點(diǎn)在弧AB上運(yùn)動(dòng)，可以設(shè)出點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要求的坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)出點(diǎn)P到線段到線段AB所在直線所在直線AB的最大距離即為點(diǎn)的最大距離即為點(diǎn)P到線段到線段AB的最大距離，也就求出了的最大距離，也就求出了ABP的最大面積。的最大面積。 要使要使AB

10、P的面積最大，只要點(diǎn)的面積最大，只要點(diǎn)P到直線到直線AB的距離的距離d最大。最大。設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P( )yy，42解：由已知：解：由已知： |AB|=22)24()14( 2x-y-4=0直線直線AB：*解題過(guò)程如下：解題過(guò)程如下：*分析：分析：d=54y2y2 528y2y2 5291y2 ）（由已知由已知：2y4dmax=529此時(shí)，此時(shí)，y=1, x = 41d 21AB=2152953427 點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為( ，1 )41Smax= 我們可以連接我們可以連接AB，作平行作平行AB的直線的直線L與拋物線相切，與拋物線相切，求出直線求出直線L的方程，即可求出直線的方程，即可求出直線L與與A

11、B間的距離，從而間的距離，從而求出求出ABP面積的最大值和點(diǎn)面積的最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。分析：分析：y2-2y+2m=0設(shè)直線設(shè)直線L與拋物線與拋物線 y2=4x相切，相切，直線直線AB：2x-y-4=0直線直線L的方程為：的方程為：2x-y+m=0 （*）=4-8m=0,m=21此時(shí)，此時(shí)，y=1,x= 41直線直線L的方程為：的方程為：2x-y+ =021兩直線間的距離兩直線間的距離 d=529另解：另解：把（把（*）代入拋物線的方程得）代入拋物線的方程得其他過(guò)程同上。其他過(guò)程同上。例例4 4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1

12、 1）是它）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線 與橢圓交于與橢圓交于E E、F F兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，求四邊形求四邊形AEBFAEBF面積的最大值面積的最大值. .(0)ykxkA AF FE EB Bx xy y思維導(dǎo)圖：思維導(dǎo)圖：用用k k表示四邊形的面積表示四邊形的面積根據(jù)基本不等式求最值根據(jù)基本不等式求最值 例例4 4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線 與橢圓交于與橢圓交于E E、F F兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，求四邊形求四邊形AEBFAEBF面積的最大值面積的最大值. .(0)ykxk解析：依題意設(shè)

13、得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為解析：依題意設(shè)得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 直線直線ABAB、EFEF的方程分別為的方程分別為 設(shè)設(shè)2214xy20,(0)xyykxk112212( ,)(,)()E x kxF x kxxx221222122,41414xyxxkkykx 根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式及上式，點(diǎn)根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式及上式，點(diǎn)E E、F F到到ABAB的距離分別為的距離分別為2111222222222(1214)55(14)222(1214)55(14)xkxkkhkxkxkkhk5AB 又四邊形四邊形AFBEAFBE的面積為的面積為121()2SAB hh2222222214(12 )2(12 )525(14)

14、(14)(12 12 214kkSkkkkkkkkkmax121.22 2kkS當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)成立 22132xy例例5 5、點(diǎn)、點(diǎn)A A、B B分別是橢圓分別是橢圓 的長(zhǎng)軸的左右端的長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，點(diǎn)，F(xiàn) F為右焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，P P在橢圓上，位于在橢圓上，位于x x軸的上方，且軸的上方，且PAPFPAPF若若M M為橢圓長(zhǎng)軸為橢圓長(zhǎng)軸ABAB上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，M M到直線到直線APAP的距離等于的距離等于|MB|.|MB|.求求橢圓上點(diǎn)到點(diǎn)橢圓上點(diǎn)到點(diǎn)M M的距離的最小值的距離的最小值. .x xy yA AB BF FM MP P思維導(dǎo)圖：思維導(dǎo)圖：把所求距離表示為橢圓把所求距離表示為橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的函數(shù)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的函數(shù)求這個(gè)函數(shù)的最小值求這個(gè)函數(shù)的最小值 2213620 xy解析：由已知可得點(diǎn)解析：由已知可得點(diǎn)A(-6A(-6，0)0)、F(4,0),F(4,0),設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,yP(x,y) )，則，則222(6, ),(4, ),(6)(4)0