新試卷2019年中考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練——專題二十：幾何探究型問題

1、2019年中考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練專題二十：幾何探究型問題1（2019重慶a卷）如圖，在平行四邊形abcd中，點(diǎn)e在邊bc上，連結(jié)ae，emae，垂足為e，交cd于點(diǎn)m，afbc，垂足為f，bhae，垂足為h，交af于點(diǎn)n，點(diǎn)p是ad上一點(diǎn)，連接cp（1）若dp=2ap=4，cp，cd=5，求acd的面積（2）若ae=bn，an=ce，求證：adcm+2ce解：（1）作cgad于g，如圖1所示：設(shè)pg=x，則dg=4-x，在rtpgc中，gc2=cp2-pg2=17-x2，在rtdgc中，gc2=cd2-gd2=52-（4-x）2=9+8x-x2，17-x2=9+8x-x2，解得：x=1，即pg=

2、1，gc=4，dp=2ap=4，ad=6，sacdad×cg6×4=12（2）證明：連接ne，如圖2所示：ahae，afbc，aeem，aeb+nbf=aeb+eaf=aeb+mec=90°，nbf=eaf=mec，在nbf和eaf中，nbfeaf，bf=af，nf=ef，abc=45°，enf=45°，fc=af=bf，ane=bcd=135°，ad=bc=2af，在ane和ecm中，aneecm，cm=ne，又nfnemc，afmc+ec，admc+2ec2（2019廣州）如圖，等邊abc中，ab=6，點(diǎn)d在bc上，bd=4，點(diǎn)e

3、為邊ac上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)c重合），cde關(guān)于de的軸對(duì)稱圖形為fde（1）當(dāng)點(diǎn)f在ac上時(shí)，求證：dfab；（2）設(shè)acd的面積為s1，abf的面積為s2，記s=s1-s2，s是否存在最大值？若存在，求出s的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)b，f，e三點(diǎn)共線時(shí)求ae的長解：（1）證明：abc是等邊三角形，a=b=c=60°，由折疊可知：df=dc，且點(diǎn)f在ac上，dfc=c=60°，dfc=a，dfab（2）存在，如圖，過點(diǎn)d作dmab交ab于點(diǎn)m，ab=bc=6，bd=4，cd=2df=2，點(diǎn)f在以d為圓心，df為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)f在dm上時(shí)，sabf最小，bd=4

4、，dmab，abc=60°，md=2，sabf的最小值6×（22）=66，s最大值2×3（66）=-36（3）如圖，過點(diǎn)d作dgef于點(diǎn)g，過點(diǎn)e作ehcd于點(diǎn)h，cde關(guān)于de的軸對(duì)稱圖形為fde，df=dc=2，efd=c=60°，gdef，efd=60°，fg=1，dgfg，bd2=bg2+dg2，16=3+（bf+1）2，bf1，bg，ehbc，c=60°，ch，ehhcec，gbd=ebh，bgd=bhe=90°，bgdbhe，ec1，ae=ac-ec=73（2019安徽）如圖，rtabc中，acb=90°

5、;，ac=bc，p為abc內(nèi)部一點(diǎn)，且apb=bpc=135°（1）求證：pabpbc；（2）求證：pa=2pc；（3）若點(diǎn)p到三角形的邊ab，bc，ca的距離分別為h1，h2，h3，求證h12=h2·h3證明：（1）acb=90°，ab=bc，abc=45°=pba+pbc，又apb=135°，pab+pba=45°，pbc=pab，又apb=bpc=135°，pabpbc（2）pabpbc，在rtabc中，ab=ac，pa=2pc（3）如圖，過點(diǎn)p作pdbc，peac交bc、ac于點(diǎn)d，e，pf=h1，pd=h2，pe=

6、h3，cpb+apb=135°+135°=270°，apc=90°，eap+acp=90°，又acb=acp+pcd=90°，eap=pcd，rtaeprtcdp，即，h3=2h2，pabpbc，即：h12=h2·h34（2019深圳）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a（3，0），b（-3，0），c（-3，8），以線段bc為直徑作圓，圓心為e，直線ac交e于點(diǎn)d，連接od（1）求證：直線od是e的切線；（2）點(diǎn)f為x軸上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接cf交e于點(diǎn)g，連接bg當(dāng)tanacf時(shí)，求所有f點(diǎn)的坐標(biāo)_（直接寫出）；求的最大值解：（1）證

7、明：如圖1，連接de，bc為圓的直徑，bdc=90°，bda=90°，oa=ob，od=ob=oa，obd=odb，eb=ed，ebd=edb，ebd+obd=edb+odb，即ebo=edo，cbx軸，ebo=90°，edo=90°，點(diǎn)d在e上，直線od為e的切線（2）如圖2，當(dāng)f位于ab上時(shí)，過f作f1nac于n，f1nac，anf1=abc=90°，anfabc，ab=6，bc=8，ac10，即abbcac=6810=345，設(shè)an=3k，則nf1=4k，af1=5k，cn=ca-an=10-3k，tanacf，解得：k，即f1（，0）如

8、圖3，當(dāng)f位于ba的延長線上時(shí)，過f2作f2mca于m，amf2abc，設(shè)am=3k，則mf2=4k，af2=5k，cm=ca+am=10+3k，tanacf，解得：，af2=5k=2，of2=3+2=5，即f2（5，0），故答案為：f1（，0），f2（5，0）方法1：如圖4，cb為直徑，cgb=cbf=90°，cbgcfb，bc2=cg·cf，cf，cg2+bg2=bc2，bg2=bc2-cg2，令y=cg2（64-cg2）=-cg4+64cg2=-（cg2-32）2-322=-（cg2-32）2+322，當(dāng)cg2=32時(shí)，此時(shí)cg=4，方法2：設(shè)bcg=，則sin，co

9、s，sincos，（sin-cos）20，即：sin2+cos22sincos，sin2+cos2=1，sincos，即，的最大值5（2019寧夏）如圖，在abc中，a=90°，ab=3，ac=4，點(diǎn)m，q分別是邊ab，bc上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)m不與a，b重合），且mqbc，過點(diǎn)m作bc的平行線mn，交ac于點(diǎn)n，連接nq，設(shè)bq為x（1）試說明不論x為何值時(shí)，總有qbmabc；（2）是否存在一點(diǎn)q，使得四邊形bmnq為平行四邊形，試說明理由；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形bmnq的面積最大，并求出最大值解：（1）mqbc，mqb=90°，mqb=cab，又qbm=abc，qbmabc

10、（2）當(dāng)bq=mn時(shí)，四邊形bmnq為平行四邊形，mnbq，bq=mn，四邊形bmnq為平行四邊形（3）a=90°，ab=3，ac=4，bc5，qbmabc，即，解得，qmx，bmx，mnbc，即，解得，mn=5x，則四邊形bmnq的面積（5x+x）x（x）2，當(dāng)x時(shí)，四邊形bmnq的面積最大，最大值為6（2019江西）在圖1，2，3中，已知abcd，abc=120°，點(diǎn)e為線段bc上的動(dòng)點(diǎn)，連接ae，以ae為邊向上作菱形aefg，且eag=120°（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)e與點(diǎn)b重合時(shí)，cef=_°；（2）如圖2，連接af填空：fad_eab（填“>”

11、“<”“=”）；求證：點(diǎn)f在abc的平分線上（3）如圖3，連接eg，dg，并延長dg交ba的延長線于點(diǎn)h，當(dāng)四邊形aegh是平行四邊形時(shí)，求的值解：（1）四邊形aefg是菱形，aef=180°-eag=60°，cef=aec-aef=60°，故答案為：60°（2）四邊形abcd是平行四邊形，dab=180°-abc=60°，四邊形aefg是菱形，eag=120°，fae=60°，fad=eab，故答案為：=證明：如圖，作fmbc于m，fnba交ba的延長線于n，則fnb=fmb=90°，nfm=60

12、°，又afe=60°，afn=efm，ef=ea，fae=60°，aef為等邊三角形，fa=fe，在afn和efm中，afnefm（aas）fn=fm，又fmbc，fnba，點(diǎn)f在abc的平分線上（3）如圖，四邊形aefg是菱形，eag=120°，agf=60°，fge=age=30°，四邊形aegh為平行四邊形，geah，gah=age=30°，h=fge=30°，gan=90°，又age=30°，gn=2an，dab=60°，h=30°，adh=30°，ad=a

13、h=ge，四邊形abcd為平行四邊形，bc=ad，bc=ge，四邊形abeh為平行四邊形，hae=eab=30°，平行四邊形aben為菱形，ab=an=ne，ge=3ab，37（2019海南）如圖，在邊長為1的正方形abcd中，e是邊cd的中點(diǎn)，點(diǎn)p是邊ad上一點(diǎn)（與點(diǎn)a、d不重合），射線pe與bc的延長線交于點(diǎn)q（1）求證：pdeqce；（2）過點(diǎn)e作efbc交pb于點(diǎn)f，連結(jié)af，當(dāng)pb=pq時(shí)，求證：四邊形afep是平行四邊形；請(qǐng)判斷四邊形afep是否為菱形，并說明理由解：（1）證明：四邊形abcd是正方形，d=ecq=90°，e是cd的中點(diǎn)，de=ce，又dep=c

14、eq，pdeqce（2）證明：pb=pq，pbq=q，adbc，apb=pbq=q=epd，pdeqce，pe=qe，efbq，pf=bf，在rtpab中，af=pf=bf，apf=paf，paf=epd，peaf，efbqad，四邊形afep是平行四邊形；四邊形afep不是菱形，理由如下：設(shè)pd=x，則ap=1-x，由（1）可得pdeqce，cq=pd=x，bq=bc+cq=1+x，點(diǎn)e、f分別是pq、pb的中點(diǎn)，ef是pbq的中位線，efbq，由知ap=ef，即1-x，解得x，pd，ap，在rtpde中，de，pe，appe，四邊形afep不是菱形8（2019陜西）問題提出：（1）如圖1，

15、已知abc，試確定一點(diǎn)d，使得以a，b，c，d為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)畫出這個(gè)平行四邊形；問題探究：（2）如圖2，在矩形abcd中，ab=4，bc=10，若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的bpc，且使bpc=90°，求滿足條件的點(diǎn)p到點(diǎn)a的距離；問題解決：（3）如圖3，有一座塔a，按規(guī)定，要以塔a為對(duì)稱中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平行四邊形的景區(qū)bcde根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn)b是定點(diǎn)，點(diǎn)b到塔a的距離為50米，cbe=120°，那么，是否可以建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)bcde？若可以，求出滿足要求的平行四邊形bcde的最大面積；若不可以，請(qǐng)說明理由（塔

16、a的占地面積忽略不計(jì)）解：（1）如圖記為點(diǎn)d所在的位置（2）如圖，ab=4，bc=10，取bc的中點(diǎn)o，則ob>ab以點(diǎn)o為圓心，ob長為半徑作o，o一定于ad相交于p1，p2兩點(diǎn)，連接bp1，p1c，p1o，bpc=90°，點(diǎn)p不能再矩形外，bpc的頂點(diǎn)p1或p2位置時(shí)，bpc的面積最大，作p1ebc，垂足為e，則oe=3，ap1=be=ob-oe=5-3=2，由對(duì)稱性得ap2=8（3）可以，如圖所示，連接bd，a為bcde的對(duì)稱中心，ba=50，cbe=120°，bd=100，bed=60°，作bde的外接圓o，則點(diǎn)e在優(yōu)弧上，取的中點(diǎn)e，連接eb，ed

17、，則eb=ed，且bed=60°，bed為正三角形連接eo并延長，經(jīng)過點(diǎn)a至c，使ea=ac，連接bc，dc，eabd，四邊形ed為菱形，且cbe=120°，作efbd，垂足為f，連接eo，則efeo+oa-eo+oa=ea，sbde·bd·ef·bd·ea=sebd，s平行四邊形bcdes平行四邊形bcde=2sebd=1002·sin60°=5000（m2），所以符合要求的bcde的最大面積為5000m29（2019天津）在平面直角坐標(biāo)系中，o為原點(diǎn)，點(diǎn)a（6，0），點(diǎn)b在y軸的正半軸上，abo=30°

18、;矩形code的頂點(diǎn)d，e，c分別在oa，ab，ob上，od=2（）如圖，求點(diǎn)e的坐標(biāo)；（）將矩形code沿x軸向右平移，得到矩形code，點(diǎn)c，o，d，e的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為c，o，d，e設(shè)oo=t，矩形code與abo重疊部分的面積為s如圖，當(dāng)矩形code與abo重疊部分為五邊形時(shí)，ce，ed分別與ab相交于點(diǎn)m，f，試用含有t的式子表示s，并直接寫出t的取值范圍；當(dāng)s5時(shí)，求t的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）解：（）點(diǎn)a（6，0），oa=6，od=2，ad=oa-od=6-2=4，四邊形code是矩形，deoc，aed=abo=30°，在rtaed中，ae=2ad=8，ed4，od=2

19、，點(diǎn)e的坐標(biāo)為（2，4）（）由平移的性質(zhì)得：od=2，ed=4，me=oo=t，deocob，efm=abo=30°，在rtmfe中，mf=2me=2t，fet，smfeme·fett，s矩形code=od·ed=2×48，s=s矩形code-smfe=8，st2+8，其中t的取值范圍是：0<t<2；當(dāng)s時(shí)，如圖所示：o'a=oa-oo'=6-t，ao'f=90°，afo'=abo=30°，o'fo'a（6-t），s（6-t）（6-t），解得：t=6，或t=6（舍去），t=6；當(dāng)s=5時(shí)，如圖所示：o'a=6-t，d'a=6-t-2=4-t，o'g（6-t），d'f（4-t），s（6-t）（4-t）×2=5，解得：t，當(dāng)s5時(shí)，t的取值范圍為t610（2019北京）在abc中，d，e分別是abc兩邊的中點(diǎn)，如果上的所有點(diǎn)都在abc的內(nèi)部或邊上，則稱為abc的中內(nèi)弧例如，圖1中是abc的一條中內(nèi)?。?）如圖2，在rtabc中，ab=ac，d，e分別是ab，ac的中點(diǎn)，畫出abc的最長的中內(nèi)