醫(yī)用物理學：2振動與波

1、上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系第二章第二章 振動與波振動與波Joseph Fourier(1768-1830)12,13,15,16,17,20,22,23,24,25上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系機械波產(chǎn)生的兩個條件機械波產(chǎn)生的兩個條件：波源，媒質波源，媒質振動是波動的基礎，波動是振動的傳播。振動是波動的基礎，波動是振動的傳播。常見的波有：機械波，常見的波有：機械波，電磁波，電磁波，（1 1）具有一定的傳播速度；）具有一定的傳

2、播速度；（2 2）伴隨著能量的傳播；）伴隨著能量的傳播；（3 3）能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象；）能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象；（4 4）有相似的波函數(shù)等。）有相似的波函數(shù)等。簡諧振動在各向同性、無吸收的、無限大線性簡諧振動在各向同性、無吸收的、無限大線性彈性介質中傳播所形成。彈性介質中傳播所形成。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 掌握：諧振動方程、波動方程掌握：諧振動方程、波動方程 熟悉：同方向、同頻率振動合成熟悉：同方向、同頻率振動合成 了解：駐波、拍、振動合成與分解了解：駐波、拍、振動合成與分解

3、上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系定義定義 1)xa2 諧振動諧振動fT 22)cos( tAx2)T 周期：周期：振動一次所需時間振動一次所需時間f 頻率頻率：一秒內(nèi)振動次數(shù)：一秒內(nèi)振動次數(shù)為諧振動方程式為諧振動方程式A 振幅振幅 角頻率角頻率 t+ 相位相位 初位相初位相，為為t=0時的位相，決定起始運動位置時的位相，決定起始運動位置上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系2) 旋轉矢量旋轉矢量)cos( tAx1) 諧振動方程式諧振動方

4、程式3) 振動曲線振動曲線1.2 振動描述方式振動描述方式xoA xot t oxxA 問題：相位角與振動速度方向關系問題：相位角與振動速度方向關系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系)cos( tAx速度與加速度速度與加速度 sin0Avt 時)sin( tAdtdxv)2cos( tA)cos()cos(2222 tAtAdtxddtdva2/TTavxa,v,st0上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系從時間看從時間看, 速度曲線的峰比

5、位置曲線的峰早出現(xiàn)速度曲線的峰比位置曲線的峰早出現(xiàn)- 0，說明速度在相位的比說明速度在相位的比位移超前位移超前 /2，稱：速度超前位置曲線。，稱：速度超前位置曲線。2/TTavxa,v,st0上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系2. 根據(jù)根據(jù) 移動縱軸；移動縱軸；若若 0 (超前超前)，將縱軸向橫軸正向移動，將縱軸向橫軸正向移動 / 距離距離601)cos( tAx1. 先畫標準曲線先畫標準曲線)cos( tAx mtx)320cos(3 3. 重新標定坐標值重新標定坐標值例例:畫諧振動曲線：畫諧振動曲線：xoA3

6、上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系諧振動曲線上各點的振動方向諧振動曲線上各點的振動方向ttaxoxatbxb上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系)cos(111 tAx同頻、同方向振動的疊加同頻、同方向振動的疊加)cos(21 tAxxxX Xo o1x2xx1A1 2A2 A )cos(222 tAx上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系221221122122

7、21112 coscossinsintan)cos(AAAAAAAAA 當：當：1. = 2 - 1 = 2k 同相同相 A=A1+A2 振幅加強振幅加強2. = 2 - 1 = (2k+1) 反相反相 A=|A1-A2| 振幅減弱振幅減弱 3. 其他情況：其他情況： |A1-A2| A A1+A2上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系已知諧振動曲線如圖所示已知諧振動曲線如圖所示求：振動方程式求：振動方程式1. 根據(jù)根據(jù)t = 0 時時 x 的位置，求出的位置，求出 的可能值的可能值2. 根據(jù)根據(jù)t = 0 時時 v

8、的方向，確定的方向，確定 sin0Avt 時上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系30 xt)cos(6 tx21cos 3 00 vt0sin Av3 )3cos(6 tx01 xt)3cos(60 0)3cos( 23 65 cm )365cos(6 txxoA3 上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系2.2 2.2 拍拍上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系tfA

9、tAxtfAtAx2221112coscos2coscos 21tfftffAxxx22cos)22cos2(121221 1. 合振動不是合振動不是SHM 2. |f2-f1|f2+f1 合振動變化頻率為合振動變化頻率為(f1+f2)/23. 合振幅是變化的，幅值合振幅是變化的，幅值 2A，其強度變化的其強度變化的頻率為頻率為|f2-f1|，稱拍頻稱拍頻 上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系傅里葉傅里葉(Fourier)證明：一個任意證明：一個任意(具有周期為具有周期為T=2 / )周期性振動，能分解為一系列圓頻率

10、等于周期性振動，能分解為一系列圓頻率等于 的整數(shù)倍的整數(shù)倍的諧振動。的諧振動。)sincos()(10tnBtnAAtFnnn 其中：其中：A0、An和和Bn為恒量，為恒量，即分振動的振幅即分振動的振幅 稱為基頻稱為基頻 n 稱稱 n 次諧波次諧波2.3 復雜振動的分解復雜振動的分解上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 波動波動是自然界常見的一種物質運動形式。我們把是自然界常見的一種物質運動形式。我們把振

11、動振動的傳播過程稱為波動，簡稱波。的傳播過程稱為波動，簡稱波。通常將波動分為兩大類：通常將波動分為兩大類： 一類是機械振動在彈性介質中的傳播，稱一類是機械振動在彈性介質中的傳播，稱為機械波，如水面波、聲波、地震波等。為機械波，如水面波、聲波、地震波等。 另一類是變化的電磁場在空間的傳播，稱為另一類是變化的電磁場在空間的傳播，稱為電磁波，如無線電波、光波等。電磁波，如無線電波、光波等。在微觀中的概率波（物質波）的概念也很重要在微觀中的概率波（物質波）的概念也很重要上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系（1）具有一定的傳播

12、速度；）具有一定的傳播速度；（2）伴隨著能量的傳播；）伴隨著能量的傳播；（3）能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象；）能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象；（4）有相似的波函數(shù)等。）有相似的波函數(shù)等。 這些性質被稱為波動性。由于機械波比較形象直這些性質被稱為波動性。由于機械波比較形象直觀，因此我們將通過對機械波的研究來揭示各類波觀，因此我們將通過對機械波的研究來揭示各類波動的共同性質和規(guī)律動的共同性質和規(guī)律各種波的本質不同，傳播機理不同，但其基本傳播規(guī)各種波的本質不同，傳播機理不同，但其基本傳播規(guī)律相同。它們有許多共同的特性：律相同。它們有許多共同的特性： 上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上

13、海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系討論：討論：機械波的特征和有關規(guī)律，具體為機械波的特征和有關規(guī)律，具體為:1.波動的基本概念。波動的基本概念。2.與波的傳播特性有關的原理、現(xiàn)象與波的傳播特性有關的原理、現(xiàn)象 和規(guī)律。和規(guī)律。3.與波的疊加特性有關的原理、現(xiàn)象和規(guī)律。與波的疊加特性有關的原理、現(xiàn)象和規(guī)律。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系當媒質中的任一個質點在外界作用下開始振動后，當媒質中的任一個質點在外界作用下開始振動后，在彈性力的作用下，就會帶動鄰近質點振動，鄰近在彈性力

14、的作用下，就會帶動鄰近質點振動，鄰近質點又帶動更遠質點振動。這樣依次帶動，就把振質點又帶動更遠質點振動。這樣依次帶動，就把振動由近及遠地傳播出去，形成了波動。動由近及遠地傳播出去，形成了波動。機械波的形成過程機械波的形成過程在宏觀上，可將氣體、液體或固體當作連續(xù)體，在宏觀上，可將氣體、液體或固體當作連續(xù)體，其體內(nèi)各個相鄰的質點間以彈性力維系著。其體內(nèi)各個相鄰的質點間以彈性力維系著。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系固體具有以上兩種形變，因而可以傳播橫波和縱波；固體具有以上兩種形變，因而可以傳播橫波和縱波；. . 有

15、有切變彈性切變彈性的媒質的媒質媒質的性質與橫縱波的關系媒質的性質與橫縱波的關系. . 有有體變彈性體變彈性的媒質的媒質FFSFF傳播傳播縱波縱波 傳播傳播橫波橫波氣體和液體只有體變彈性，因而只能傳播縱波。氣體和液體只有體變彈性，因而只能傳播縱波。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系特征：特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷橫波：橫波：質質元元振動方向與波的傳播方向垂直振動方向與波的傳播方向垂直上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系

16、物理系縱波縱波:各質點振動方向與波的傳播方向平行。各質點振動方向與波的傳播方向平行。如聲波、彈簧波為縱波。如聲波、彈簧波為縱波。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系特征：特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部具有交替出現(xiàn)的密部和疏部縱波：縱波：質質元元振動方向與波的傳播方向平行振動方向與波的傳播方向平行上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 水面波既非橫波又非縱波。水面波既非橫波又非縱波。波速波速 任一波任一波(如水波、地表如水波、地表波波)都能分解

17、為橫波與縱波進行都能分解為橫波與縱波進行研究。研究。 水面波水面波 水表面除受（壓）應力水表面除受（壓）應力外，還受重力和表面張力的作用。外，還受重力和表面張力的作用。水面波為橫波和縱波的疊加。水面波為橫波和縱波的疊加。 橫波和縱波是自然界中存在著的橫波和縱波是自然界中存在著的兩種最簡單的波，其他如水面波、兩種最簡單的波，其他如水面波、地震波等，情況就比較復雜。地震波等，情況就比較復雜。 復雜波復雜波上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系問題問題一次地震能發(fā)出所有類型的波。一次地震能發(fā)出所有類型的波。而爆炸只發(fā)出一種縱

18、波而爆炸只發(fā)出一種縱波。地震波的類型地震波的類型?上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 簡諧波：波源作簡諧振動，在波傳到的區(qū)域，媒質中的簡諧波：波源作簡諧振動，在波傳到的區(qū)域，媒質中的 質元均作簡諧振動質元均作簡諧振動 。任意時刻任意位置處的質點的任意時刻任意位置處的質點的振動方程振動方程就是所求就是所求波函數(shù)波函數(shù) 。 .設已知振動點的平衡位置為坐標原點設已知振動點的平衡位置為坐標原點O，其振動方，其振動方 程為程為 .該振動在介質中形成的諧波以波速該振動在介質中形成的諧波以波速u 水平向右傳播。水平向右傳播。xP

19、 oxu確定任意時刻、在波線上任一點確定任意時刻、在波線上任一點P的振動方程。的振動方程。)cos()( tAtfy上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系已知點已知點O的振動傳播到的振動傳播到P點所需時間為點所需時間為 由波的意義，由波的意義，P點的振動比點的振動比O點的振動落后點的振動落后 t 時時間，即間，即O點在點在t 時刻的振動與時刻的振動與P點在點在t + t 時刻的振動時刻的振動相同，或者說相同，或者說P點在點在t 時刻的振動與時刻的振動與O點在點在t - t 時刻時刻的振動相同。所以的振動相同。所以P點的

20、振動為點的振動為uxt ttAttytyopcos)()(因為因為P點是任選的，點是任選的，平面簡諧波的波函數(shù)為：平面簡諧波的波函數(shù)為： uxtAycosxP oxu上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系三、描述簡諧波的物理量三、描述簡諧波的物理量1. 相速度相速度等相位面沿波線向前推進的速度，即波速等相位面沿波線向前推進的速度，即波速(單位時間波所傳過的距離單位時間波所傳過的距離)。聲音在空氣中傳播速度聲音在空氣中傳播速度m/s 331 u聲音在水中傳播速度聲音在水中傳播速度m/s 1450 u聲音在鐵軌中傳播速度聲

21、音在鐵軌中傳播速度m/s 5000 u上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系2. 波長波長 角波數(shù)角波數(shù) 波長：兩相鄰同相點間的距離波長：兩相鄰同相點間的距離 角波數(shù)：角波數(shù)： 2k即單位長度上波的相位變化即單位長度上波的相位變化周期周期T ：波前進一個波長的距離所需的時間。：波前進一個波長的距離所需的時間。uT 頻率、波長和波速三者關系：頻率、波長和波速三者關系： uf 或或n波的周期和頻率與媒質無關，由波源確定。波的周期和頻率與媒質無關，由波源確定。波速與波源無關，由媒質確定。波速與波源無關，由媒質確定。注意幾點注

22、意幾點n波在不同介質中頻率不變。波在不同介質中頻率不變。n不同頻率的波在同一介質中波速相同。不同頻率的波在同一介質中波速相同。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系n某時刻某質元的振動狀態(tài)將在較晚時刻于某時刻某質元的振動狀態(tài)將在較晚時刻于“下游下游” 某處出現(xiàn)，沿波的傳播方向振動相位依次落后。某處出現(xiàn)，沿波的傳播方向振動相位依次落后。1. 波動分析波動分析 (以橫波為例說明以橫波為例說明)。2. 波動的特征波動的特征波動只是振動狀態(tài)波動只是振動狀態(tài)(相位相位)的傳播，介質本身并不隨波遷的傳播，介質本身并不隨波遷移移;波

23、動是能量傳播的過程，而非介質傳播的過程。波動是能量傳播的過程，而非介質傳播的過程。n“上游上游”的質元依次帶動的質元依次帶動“下游下游”的質元振動。的質元振動。n波在傳播的過程中，媒質中各質元均在各自的平波在傳播的過程中，媒質中各質元均在各自的平 衡位置附近振動，質元并未衡位置附近振動，質元并未“隨波逐流隨波逐流” 。波的特征波的特征上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系波動式的其它形式：波動式的其它形式： )(2coscxtfAy)2(f )(2cosxTtA )(cosxutkA kxtAcos),1(cTTf )

24、,2(Tuk ),(Tku22 上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 1、 時，時， 表示表示 處質點在處質點在任意時刻位移。波動方程變成了任意時刻位移。波動方程變成了 處質點處質點振動方程振動方程。0 xx txyy,0 0 x0 x 2、 時，時， 表示表示 時刻波線上時刻波線上各個質點位移。波動方程變成了各個質點位移。波動方程變成了 時刻的時刻的波形方程波形方程。0tt 0,txyy 0t0t 3、 、 均一定時，均一定時， 表示表示 時刻時刻 坐標為坐標為 處質點的位移。處質點的位移。 xt 00,txyy

25、0t0 x 4、 、 均變化時，均變化時， 表示波線上表示波線上各個質點在不同時刻的位移。為各個質點在不同時刻的位移。為波動方程波動方程。xt txyy, 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 振動方程與波函數(shù)的區(qū)別振動方程與波函數(shù)的區(qū)別波動方程是時間和空間的波動方程是時間和空間的函數(shù)。函數(shù)。表示波線上任一表示波線上任一（所有）質點在任意（所（所有）質點在任意（所有）時刻離開各自平衡位有）時刻離開各自平衡位置的位移。置的位移。)(tfx),(txfy振動方程是時間振動方程是時間 t 的

26、函數(shù)的函數(shù)oxt)cos(tAx uxtAycosoyxu上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系uxtAtxycos),()cos()(kxtAx,tyuopxyxuxtAtxycos),()cos()(kxtAx,tyuopxyxO比比P超前，坐標原點到超前，坐標原點到P的方向與的方向與u同向同向P比比O超前，坐標原點到超前，坐標原點到P的方向與的方向與u反向反向)cos()(tAtyo坐標原點坐標原點O的振動方程的振動方程)()(cxtytyop)()(cxtytyop上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通

27、大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系uxtAtxycos),()cos()(kxtAx,ty若波源若波源O有一振動有一振動)cos()(tAtyo傳播到傳播到P點，引起點，引起P點的振動方程：點的振動方程：波源波源o波速波速uPQXopXoq則波源則波源O發(fā)出的波函數(shù)為發(fā)出的波函數(shù)為uxtAtyopPcos)()cos()(opPkxtAty傳播到傳播到Q點，引起點，引起Q點的振動方程如何？點的振動方程如何？上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系txpt- tt+ t波動曲線上各點振動方

28、向波動曲線上各點振動方向上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 1212211222xxx 波程差波程差1221xxx x 2任一時刻任一時刻t，同一列同一列波波的波線上兩質元間的波線上兩質元間的位相差的位相差:01011)(2)( xTtuxt02022)(2)( xTtuxt 0cos uxtAyoXYu1x2x21x上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系)(2cosxTtAy 1）波動方程）波動方程2例例: 一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿

29、O x 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 已知振已知振幅幅 ， ， . 在在 時坐標時坐標原點處的質點位于平衡位置沿原點處的質點位于平衡位置沿 O y 軸正方向運動軸正方向運動 。 求求 0tm0 . 2m0 . 1As0 .2T0,0tyyv00 xt解解 寫出波動方程的標準式寫出波動方程的標準式y(tǒng)AOm2)0 . 20 . 2(2cos)0 . 1( xty上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系2）求）求 波形圖波形圖.xsin s0.1t2cos)0.1(xy 波形方程波形方程s0.1t2)0 .20.2(2cos)

30、0.1( xtyom/ym/x2.01.0-1.0 時刻波形圖時刻波形圖s0.1t上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系3） 處質點的振動規(guī)律并做圖處質點的振動規(guī)律并做圖 .m5 . 0 x)cos()0 . 1( ty2)0 .20 .2(2cos)0 .1( xty 處質點的振動方程處質點的振動方程m5 . 0 x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234*1234處質點的振動曲線處質點的振動曲線m5 . 0 x1.0上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交

31、通大學 物理系物理系t=0時的波動曲線如圖，時的波動曲線如圖， = 50 s-1，寫出原點寫出原點振振動方程，波動方程，畫出動方程，波動方程，畫出 x=0 的的振動曲線振動曲線上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 50Hzf25cm402)1535( smfC/10 )50cos( tyo令原點振動方程令原點振動方程:oBO與與B的相位差的相位差(數(shù)值數(shù)值):4025 4 O比比B超前超前4 m 4)10(50cos xty波動方程波動方程:0m)(y1.001.00s)( t0.04Oymtyo)450cos( Q

32、：振動與波動曲線的差異：振動與波動曲線的差異?022boobobxxx0-boob0botvoO從振動從振動圖中看圖中看4上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系一列波經(jīng)原點從左至右傳播其傳播速度為一列波經(jīng)原點從左至右傳播其傳播速度為 500 m/s，若原點振動方程：若原點振動方程：mty)250cos(02.00 求：原點振動曲線；求：原點振動曲線； 寫出波動方程；寫出波動方程； 寫出寫出 x=25 m 處的振動方程；畫振動曲線處的振動方程；畫振動曲線 畫出畫出 t=0 s 與與 t=0.02 s 的波形圖的波形圖 x

33、1=35m 與與x2=30m 質點質點的振動相位差的振動相位差上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系原點振動曲線原點振動曲線:mty)250cos(02. 00 0m)(y0.020.02s)( t0.04Oy寫出波動方程寫出波動方程:mxty2)500(50cos02. 0 寫出寫出 x=25 m 處的振動方程；畫振動曲線處的振動方程；畫振動曲線mty)50cos(02. 0 0.02Oy0m)(y0.02s)( t0.0425,20),2250cos(02.0 xxty上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通

34、大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系畫出畫出 t=0 s 的波形圖的波形圖mxy)210cos(02. 0 0m)(y0.02m)(x200m)(y0.02m)(x20畫出畫出 t=0.02 s 的波形圖的波形圖mxy)210cos(02. 0 x1 = 35 m 與與 x2 =30 m 質點質點的振動相位差的振動相位差2203035221221 x點點 (2) 比點比點 (1) 的振動超前：的振動超前：2 點點 (2) 離振源近離振源近上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 設一根弦上

35、的傳播頻率為設一根弦上的傳播頻率為 100 Hz 的波，若的波，若t=0 與與 t=T/40 時的波形如圖所示。時的波形如圖所示。求：原點振動方程式求：原點振動方程式和和波動方程式波動方程式 求相距求相距 100 cm 的兩點振動的相位差的兩點振動的相位差上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系波動方程式波動方程式原點振動方程式原點振動方程式40125. 0TT cmty)200cos(40 cm 5 0m)(y4m)(x202cm 2y , 0t21cos 3 0 , 0vt0sin Av3 cmty)3200cos(

36、40 cmxty)3)500(200cos4 相距相距 100 cm 的兩點振動的相位差的兩點振動的相位差 402x0 上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系波的能量波的能量介質的動能與介質的動能與(彈性彈性)勢能之和稱為波的能量勢能之和稱為波的能量。)(sind21dE222pkCxtVAdE 波動的能量波動的能量)(sindddd222pkCxtVAEEE 表明：質元的總能量隨時間作周期性變化，表明：質元的總能量隨時間作周期性變化，時而達到最大值，時而為零時而達到最大值，時而為零上海交通大學上海交通大學 物理系物理

37、系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系波的能量波的能量 任一時刻介質元的動能等于勢能，且相位相同，與任一時刻介質元的動能等于勢能，且相位相同，與彈簧振動系統(tǒng)的動能與勢能總有彈簧振動系統(tǒng)的動能與勢能總有/2相位差不同。相位差不同。 彈簧彈簧振動系統(tǒng)的機械能守恒，而波動過程中，能量振動系統(tǒng)的機械能守恒，而波動過程中，能量不守恒。波動過程中，沿波的傳播方向，介質元不斷不守恒。波動過程中，沿波的傳播方向，介質元不斷地通過振動由后面的質元獲得能量，又不斷地把能量地通過振動由后面的質元獲得能量，又不斷地把能量傳播給前面的質元，波是能量傳遞的一種形式。傳播給前面的質元

38、，波是能量傳遞的一種形式。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系xycOAB也最小也最小最小最小xy ,v也最大也最大最大最大xy ,v 在平衡位置時質元具有最大動能和勢能，在最大振在平衡位置時質元具有最大動能和勢能，在最大振幅處動能和勢能為零。在回到平衡位置時從相鄰質元幅處動能和勢能為零。在回到平衡位置時從相鄰質元吸收能量，離開時放出能量。吸收能量，離開時放出能量。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系1. 能量密度能量密度TtwTw0 d1

39、單位體積介質內(nèi)的能量單位體積介質內(nèi)的能量),()(sinv0222txwcxtAdEw 能量密度在一個周期內(nèi)的平均值。能量密度在一個周期內(nèi)的平均值。2.平均能量密度平均能量密度2221 A (該式與坐標無關，說明平面波在一個周期內(nèi)介質傳遞的該式與坐標無關，說明平面波在一個周期內(nèi)介質傳遞的能量是一樣的，介質中無能量積累。能量是一樣的，介質中無能量積累。)能量密度能量密度上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系取其時間平均值，便有平均能取其時間平均值，便有平均能流流CctttSwcPwcScSwtPTPT0 d1能流密度能流

40、密度 垂直通過截面單位面積上的平均能流。垂直通過截面單位面積上的平均能流。cAcwSPI2221dd 在單位時間內(nèi)垂直通過某一截面的能量為通過該面的能流在單位時間內(nèi)垂直通過某一截面的能量為通過該面的能流JcS波強波強波的功率波的功率s能流和能流密度能流和能流密度上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 1、干涉現(xiàn)象、干涉現(xiàn)象兩列波相遇區(qū)域內(nèi)振動在空間上出兩列波相遇區(qū)域內(nèi)振動在空間上出 現(xiàn)現(xiàn)穩(wěn)定的周期性的強弱分布的現(xiàn)象。穩(wěn)定的周期性的強弱分布的現(xiàn)象。1) 頻率相同；頻率相同；2) 振動方向相同；振動方向相同；3) 同相或相

41、位差恒定。同相或相位差恒定。 滿足上述三條件的波稱為相干波，其波源稱為滿足上述三條件的波稱為相干波，其波源稱為相干波源。相干波源。2、相干波條件、相干波條件四、波的干涉四、波的干涉上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系加加強強減減弱弱上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系3、干涉條紋出現(xiàn)的條件、干涉條紋出現(xiàn)的條件設設 產(chǎn)生簡諧波的兩

42、波源產(chǎn)生簡諧波的兩波源S1、S2的振動方程為：的振動方程為：1r2rP1S2S)cos(111 tAy)cos(222 tAy兩列波在波場中兩列波在波場中P 點引起的振動為：點引起的振動為：)2cos(1111 rtAyp )2cos(2222 rtAyp 由簡諧振動的合成規(guī)律：由簡諧振動的合成規(guī)律：P 點的振動仍為簡諧振動。點的振動仍為簡諧振動。)cos(21 tAyyyppp上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系)2cos()2cos()2sin()2sin(tan122111222111 rArArArA 其振幅

43、和初相位為：其振幅和初相位為： cos2212221AAAAA 12122rr 兩列相干波在空間疊加時，對于空間不同的點，合兩列相干波在空間疊加時，對于空間不同的點，合振動的振幅振動的振幅A不同，并且不同，并且A不隨時間變化，不隨時間變化， 合振合振幅形成穩(wěn)定的分布。幅形成穩(wěn)定的分布。有些點處振動始終被加強有些點處振動始終被加強（相長（相長干涉）干涉）、有些點處始終被減弱有些點處始終被減弱（相消干涉），（相消干涉），得到穩(wěn)得到穩(wěn)定的定的干涉圖樣，干涉圖樣，稱為稱為干涉現(xiàn)象。干涉現(xiàn)象。定值定值上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物

44、理系物理系討討 論論 1 ) 合振動的振幅（波的強度）在空間各點的分合振動的振幅（波的強度）在空間各點的分布隨位置而變，但是穩(wěn)定的布隨位置而變，但是穩(wěn)定的. cos2212221AAAAA 12122rr ,2,1 ,02 kk , 2 , 1 , 0)12( kk 2121AAAAA 其他其他21AAA 振動始終振動始終加強加強21AAA 振動始終振動始終減弱減弱2 )上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系波程差波程差12rr 若若 則則21 2 21AAA 振動始終振動始終減弱減弱21AAA 振動始終振動始終加強加

45、強,2, 1 ,0)21( kk 2121AAAAA 其他其他 ,2 , 1 ,0 kk 3 )討討 論論 cos2212221AAAAA 12122rr 兩波源的振動的兩波源的振動的振幅相近或相等時干涉現(xiàn)象明顯振幅相近或相等時干涉現(xiàn)象明顯.上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 例例 如圖所示，如圖所示，A、B 兩點為同一介質中兩相干波兩點為同一介質中兩相干波源。其振幅皆為源。其振幅皆為5cm，頻率皆為，頻率皆為100Hz，但當點但當點 A 為為波峰時，點波峰時，點B 適為波谷。適為波谷。設波速為設波速為10m/s，

46、試寫出由，試寫出由A、B發(fā)出的兩列波傳到點發(fā)出的兩列波傳到點P 時干涉的結果時干涉的結果.解解15m20mABPm25m201522BPm10. 0m10010u設設 A 的相位較的相位較 B 超前，超前，則則 .BA2011 . 0152522APBPAB點點P 合振幅合振幅021AAA上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系位于位于A、B兩點的兩個波源，振幅相等，頻率都是兩點的兩個波源，振幅相等，頻率都是100赫茲，相位差為赫茲，相位差為 ，其，其A、B相距相距30米，波速為米，波速為400米米/秒，求秒，求:A、B

47、連線之間因相干干涉而靜止的連線之間因相干干涉而靜止的各點的位置。各點的位置。解：如圖所示，取解：如圖所示，取A點為坐點為坐標原點，標原點，A、B聯(lián)線為聯(lián)線為X軸，軸，)cos( tAyA在在X軸上軸上A點發(fā)出的行波方程：點發(fā)出的行波方程：)2cos( xtAyA B點的振動方程點的振動方程 :) 0cos( tAyB BAXxm30 x30O取取A點的振動方程點的振動方程 :在在X軸上軸上B點發(fā)點發(fā)出的行波方程：出的行波方程：)30(20cos xtAyB 上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系)2cos( xtAyA

48、 )30(20cos xtAyB 因為兩波同頻率，同振幅，同方向振動，所以相干為靜止的因為兩波同頻率，同振幅，同方向振動，所以相干為靜止的點滿足：點滿足：BAXxm30 x30O相干相消的點需滿足：相干相消的點需滿足：kx 230mu4 因為因為：,.2, 1, 0215 kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3, 1 )12()30(22 kxx,.2, 1, 0 k上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 A、B兩點相距兩點相距S，為同一介質中的兩波源，同頻、為同一介質中的兩波源，同頻、同振幅，同方向

49、振動，同振幅，同方向振動， A，B同相位，它們激起的簡同相位，它們激起的簡諧頻率、波速為諧頻率、波速為 、v。求求: A、B之間的靜止點之間的靜止點ABSPA到到P點的距離為點的距離為 x; B到到P點的距離為點的距離為 S-x; 兩列波在兩列波在P點引起振動的相位差：點引起振動的相位差：)2(2)(2xSxxS ) 12(k靜止的點相位差滿足：靜止的點相位差滿足： 4122kSxpSxp0上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系ABSPx)(cosvxtAy A點引起的波動方程：點引起的波動方程：)(cosvxStAy

50、 B點引起的波動方程：點引起的波動方程：由由A波動引起波動引起P的振動方程：的振動方程：)(cosvxtAyp 由由B波動引起波動引起P的振動方程：的振動方程：)(cosvxStAyp )2(22)()(ppppxSvxvSvxStvxt 兩列波在兩列波在P點引起振動的相位差：點引起振動的相位差： ) 12(k靜止的點相位差滿足：靜止的點相位差滿足： 4122kSxpSxp0上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系駐波駐波兩列振幅相同的相干波在同一直線上沿相反兩列振幅相同的相干波在同一直線上沿相反 方向傳播時形成的疊加波

51、。方向傳播時形成的疊加波。駐波駐波2.駐波的形成駐波的形成 駐波駐波-波形不傳播，是媒質質元的一種集體振動形波形不傳播，是媒質質元的一種集體振動形 態(tài)。態(tài)。 駐駐字的第一層含義。字的第一層含義。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 xTtAy2cos2反射波反射波 xTtAy2cos1入射波入射波21yyy xTtAxTtA2cos2cosTtxA 2cos2cos2 設兩列沿同一直線相向傳播的同振幅相干

52、波設兩列沿同一直線相向傳播的同振幅相干波,y1y2xxuu 取兩波在空間某點引起振動取兩波在空間某點引起振動,同時達到最大為起始同時達到最大為起始時刻，該點為坐標原點。時刻，該點為坐標原點。駐波方程駐波方程駐波方程駐波方程上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系駐波的振幅與位駐波的振幅與位置有關置有關 駐波表達式中駐波表達式中 x 和和 t 分別出現(xiàn)在兩個因子中，并不分別出現(xiàn)在兩個因子中，并不表現(xiàn)為表現(xiàn)為 或或 的形式，所以不是的形式，所以不是一個行波表達式，而實際上是一個振動表達式。一個行波表達式，而實際上是一個振動表

53、達式。駐波方程駐波方程txAy cos2cos2 各質點都在作同頻各質點都在作同頻率的簡諧運動率的簡諧運動)/(uxt )/(uxt 合成波為振幅是合成波為振幅是 xA2cos2的同頻率諧振動。的同頻率諧振動。上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系1.頻率特點：各質元以同一頻率作簡諧振動。頻率特點：各質元以同一頻率作簡諧振動。 2.振幅特點：振幅特點： (2)波節(jié)波節(jié)：有些點始終靜止，這些點稱作波節(jié)：有些點

54、始終靜止，這些點稱作波節(jié)波節(jié)處，由兩列波引起的兩振動恰好反相，相互抵消，波節(jié)處，由兩列波引起的兩振動恰好反相，相互抵消，故波節(jié)處靜止不動。由故波節(jié)處靜止不動。由 得波節(jié)位置得波節(jié)位置波節(jié)波節(jié)(1)各點的振幅各點的振幅 和位置和位置 x 有關，振幅有關，振幅 大小按余弦規(guī)律隨大小按余弦規(guī)律隨 x 變化變化 )2cos(2 xA0)2cos( x2)12(2 kx2, 1 ,0,4)12( kkx 駐波的特點駐波的特點上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系波節(jié)位置：波節(jié)位置：2 , 1 , 0,4)12( kkx 波腹位置

55、波腹位置：1)2cos( x2, 1 ,0,2 kkx (3)波腹波腹：有些點振幅最大，這些點稱作波腹：有些點振幅最大，這些點稱作波腹 波腹處波腹處，由兩列波引起的兩振動恰好同相，由兩列波引起的兩振動恰好同相，相互加強，故波腹處振幅最大。相互加強，故波腹處振幅最大。 相鄰兩波節(jié)距離相鄰兩波節(jié)距離2 x波腹波腹波節(jié)波節(jié)相鄰兩波腹距離相鄰兩波腹距離2 x上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系)2cos()2cos(2txAy 各質點作各質點作振幅振幅為為 ，頻率為，頻率為的簡諧運動。的簡諧運動。)2cos(2 xAtx 2

56、,0)2cos(相位為 tttx2)2cos()2cos(,0)2cos(相相位位為為(1) 兩相鄰波節(jié)間的點（同一段的點）兩相鄰波節(jié)間的點（同一段的點）)2cos( x符號相同，相位相同。符號相同，相位相同。(2) 波節(jié)兩邊的點（相鄰段的點）波節(jié)兩邊的點（相鄰段的點）)2cos( x符號相反，相位相反。符號相反，相位相反。駐波相位不傳播駐波相位不傳播 相位特點相位特點 -駐駐字的第二層含義。字的第二層含義。 駐波波形曲線駐波波形曲線分為很多分為很多“分段分段”(每段長每段長 /2 ); 了解了解上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大

57、學 物理系物理系能量特點能量特點 (1)動能：動能：當各質點同時到達平衡位置時：介質無當各質點同時到達平衡位置時：介質無形變，形變，勢能為零勢能為零，此時，此時駐波能量為動能駐波能量為動能。波腹處。波腹處動能最大，動能最大，駐波能量集中在駐波能量集中在波腹附近。波腹附近。 (2)勢能：勢能：當各質點同時到達最大位移時：當各質點同時到達最大位移時：動能為動能為零，零，此時此時駐波能量為勢能駐波能量為勢能。波節(jié)處形變最大，勢能。波節(jié)處形變最大，勢能最大，最大，能量集中在能量集中在波節(jié)附近。波節(jié)附近。 (3)結論：結論：動能、勢能不斷在波腹附近和波節(jié)附動能、勢能不斷在波腹附近和波節(jié)附近間相互轉換，能

58、量交替?zhèn)鬟f。近間相互轉換，能量交替?zhèn)鬟f。波節(jié)一直保持不動，所以無能量流過節(jié)點波節(jié)一直保持不動，所以無能量流過節(jié)點上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系 駐波的能量被駐波的能量被“封閉封閉”在相鄰波節(jié)和波腹間的在相鄰波節(jié)和波腹間的 的范圍內(nèi)，在此范圍內(nèi)有能量的反復流動，但能量不的范圍內(nèi)，在此范圍內(nèi)有能量的反復流動，但能量不能越過波腹和波節(jié)傳播，駐波沒有單向的能量傳輸。能越過波腹和波節(jié)傳播，駐波沒有單向的能量傳輸。 駐波不傳播能量駐波不傳播能量 -“駐駐”字的第三層含義。字的第三層含義。 形成駐波的兩個行波的能流密度數(shù)值相

59、等，方形成駐波的兩個行波的能流密度數(shù)值相等，方向相反，因此它們疊加而成的駐波能流密度為零。向相反，因此它們疊加而成的駐波能流密度為零。4/ 上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系波密波密介質介質u 較大較大 當波從波密介質垂直入射到波疏介質，當波從波密介質垂直入射到波疏介質， 被反射到被反射到波密介質時形成波密介質時形成波腹波腹. 入射波與反射波在此處的相位入射波與反射波在此處的相位時時時時相同相同，即反射波在分界處即反射波在分界處不不產(chǎn)生相位產(chǎn)生相位躍變躍變.入射與反射波在反射處的波節(jié)與波腹入射與反射波在反射處的波節(jié)

60、與波腹 入射與反射波在反射處為波腹入射與反射波在反射處為波腹 較小較小u 波疏介質波疏介質上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系波疏介質波疏介質較小較小u 入射與反射波在反射處的波節(jié)與波腹入射與反射波在反射處的波節(jié)與波腹 聲波從水面反射回空氣時，反射處為波節(jié)，有半聲波從水面反射回空氣時，反射處為波節(jié)，有半波損失。波損失。有半波損失有半波損失2 入射與反射波在反射處為波節(jié)入射與反射波在反射處為波節(jié) 波密波密介質介質u 較大較大上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通大學 物理系物理系上海交通大學上海交通