實(shí)驗(yàn)二極限與導(dǎo)數(shù)

1、實(shí)驗(yàn)二極限與導(dǎo)數(shù)【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹? . 了解函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的基本概念。2 .學(xué)習(xí)掌握 MATLAB軟件有關(guān)求極限、導(dǎo)數(shù)的命令?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】1.2.3.判斷極限1 1lim cos-, lim sin 的存在性x 0 x x 0 x.一 sin x驗(yàn)證極限lim 1x 0 x1 n驗(yàn)證極限lim (1)n lim (1n n x1)x x2.71828一3 一 一 4.求數(shù)y x 6x 3的單調(diào)區(qū)間及極值【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】1 .極限、導(dǎo)數(shù)的基本概念數(shù)列極限：如果對(duì)于0,存在正整數(shù)N ,使得當(dāng)n N時(shí)有xn a 。則稱a為數(shù)列xn的極限，或稱xn收斂于a,記為lim xn a。直觀上表示：n趨于無窮大時(shí)，x

2、n n無限接近a。函數(shù)極限：如果當(dāng)xXo時(shí)有f(x) A,則稱 A為函數(shù)f(x)當(dāng)xXo時(shí)的極限。記為lim f (x) Ao若僅當(dāng)x x0且x x0 (或x x0)時(shí)有f (x)A,則稱A為函x X0數(shù)f (x)當(dāng)xXo時(shí)的右極限(左極限)，記為f (Xo 0)(或f (x° 0)。當(dāng)且僅當(dāng)f(Xo 0) f (Xo 0)時(shí)，f(x)當(dāng)X Xo時(shí)的極限存在且等于這個(gè)值。導(dǎo)數(shù)：函數(shù)f(x)在點(diǎn)X Xo的導(dǎo)數(shù)的定義為：limf(xo h) f(xo) h 0 h它反映了在Xo點(diǎn)附近函數(shù)f(x)的變化率。當(dāng)f'(Xo) 0時(shí)，函數(shù)在Xo點(diǎn)附近是上升的，反之f'(xo) 0

3、時(shí)，函數(shù)在Xo點(diǎn)附近是下降的，而當(dāng)f'(Xo) 0時(shí)，往往(但不一定)標(biāo)志函數(shù)在X0點(diǎn)達(dá)到局部極大或局部極小。函數(shù)在X0點(diǎn)達(dá)到局部極大(或局部極小)的充分條件是f'(Xo) 0且f"(Xo) 0(或f"(Xo) 0)。從幾何意義上說，f'(Xo)是函數(shù)在點(diǎn)X0 切線的斜率。2.求極限、導(dǎo)數(shù)的 MATLAB命令MATLAB中主要用limit,diff分別求函數(shù)的極限與導(dǎo)數(shù)。limit(s,n,inf)返回符號(hào)表達(dá)式當(dāng)n趨于無窮大時(shí)表達(dá)式s的極限limit(s,X,a) 返回符號(hào)表達(dá)式當(dāng) x趨于a時(shí)表達(dá)式s的極限limit(s,X,a, 'lef

4、t')返回符號(hào)表達(dá)式當(dāng)x趨于a-0時(shí)表達(dá)式s的左極限limit(s,x,a, 'right')返回符號(hào)表達(dá)式當(dāng) x趨于a-0時(shí)表達(dá)式s的右極限 diff(s,x,n) 返回符號(hào)表達(dá)式s對(duì)自變量x的n階導(dǎo)數(shù)可以用help limit, help diff查閱有關(guān)這些命令的詳細(xì)信息【實(shí)驗(yàn)方法與步驟】練習(xí) 1 首先分別作出函數(shù)y cos-在區(qū)間-1,-0.01,0.01,1,-1,-0.001,0.001,1 等區(qū)X間上的圖形，觀測(cè)圖形在X0附近的形狀。在區(qū)間 卜1,-0.01繪圖的MATLAB代碼為：>>x=(-1):0.0001:(-0.01);y=cos(1

5、./x); plot(x,y)結(jié)果如圖2.1X11根據(jù)圖形，能否判斷出極限lim cos,lim sin 的存在性？X 0 x x 0 x當(dāng)然，也可用limit命令直接求極P相應(yīng)的 MATLAB代碼為:>>clear;>>syms x; % 說明x為符號(hào)變量.1 > lim sin-不 X 0 X>>limit(sin(1/x),x,0)結(jié)果為ans =-1 . 1,即極限值在-1, 1之間，而極限如果存在則必唯一，故極限1 ，一一存在，同樣，極限limcos也不存在。x 0 xsin x練習(xí)2首先分別作出函數(shù) y 在區(qū)間-1,-0.01,0.01,1

6、,-1,-0.001,0.001,1等區(qū)間x上的圖形，觀測(cè)圖形在 x 0附近的形狀。在區(qū)間 卜1,-0.01繪圖的MATLAB代碼為：圖2.2>>x=(-1):0.0001:(-0.01); y=sin(x)./x; plot(x,y)結(jié)果如圖2.2sinx函數(shù)y 的圖形根據(jù)圖形，能否判斷出極限 limx 0sin x1的正確性?當(dāng)然，也可用limit命令直接求極限,>>clear;>>syms x;>>limit(sin(x)/x,x,0)結(jié)果為ans =1.相應(yīng)的 MATLAB代碼為:練習(xí)3觀測(cè)當(dāng)n趨于無窮大時(shí),數(shù)列an (11 C一)n 和

7、 An n(1-)n 1的變化趨勢(shì)。例 n如，當(dāng)n1,2, ,100 時(shí)，計(jì)算 an,An 的 MATLAB代碼為:>>forn=1:100, a(n)=(1+1/n)An;,A(n)=(1 + 1/n)An ;,end在同一坐標(biāo)系中，畫出下面三個(gè)函數(shù)的圖形：1、xy (1 -) , yx觀測(cè)當(dāng)x增大時(shí)圖形的走向。例如，在區(qū)間10(11 x 1一)x400繪制圖形的MATLAB代碼為x>>x=10:0.1:400;>>y1=exp(x.*log(1+1./x); y2=exp(x+2).*log(1+1./x); y3=2.71828;>>plo

8、t(x,y1,x,y2,x,y3,)；% '-.'表示繪出的圖形是點(diǎn)線，'-'是實(shí)線11 .結(jié)果如圖2.3,其中點(diǎn)線表小 y (1 一)x 1的圖形，虛點(diǎn)線表示y (1 一)x的圖形。3.23 -2.8 ' "一 '"""""2.6、2.4 Lcrc10100200300400圖2.31c1 一通過觀測(cè)可以看到，當(dāng)n增大時(shí)，an (1 )n遞增，An (1 )n1遞減。隨著n的 nn無窮增大，an和An無限接近，趨于共同的極限 e 2.71828 .當(dāng)然，也可用limit命令直 接求極限

9、，相應(yīng)的 MATLAB代碼為：>>clear;>>syms n; >>limit(1+1/n)An,n,inf)結(jié)果為ans =exp(1)。在下面的實(shí)驗(yàn)三，我們將用級(jí)數(shù)求無理數(shù)e的近似值。練習(xí)4(極限的定義和判別)用 MATLAB語(yǔ)言來表達(dá)推理過程是比較困難的，它必須與實(shí)際的數(shù)值聯(lián)系起來，比如無法用無窮小和高階無窮小的概念，只能用10 01,10 20等數(shù)職。極限的定義恰恰是用了和 等數(shù)值的概念，因此不難用程序表述。用函數(shù)極限的定義，對(duì)于函數(shù)y f(x),當(dāng)任意給定一個(gè)正數(shù)時(shí)，有一個(gè)對(duì)應(yīng)的正數(shù)存在，使得當(dāng)0 |xc x時(shí)，有 |A f(x) ,則A就是f(

10、x)在xxc時(shí)的極限，如果找不到這樣的，A就不是它的極限，只考慮左極限時(shí)，因xcx必為正數(shù)，可去掉絕對(duì)值符號(hào)。檢驗(yàn)左極限是否正確的程序?yàn)椋?gt;>clear>>disp( 'A是否是f(xc)的左極限？')>>eps=1.0e-10; % 給定計(jì)算最小誤差>>A=input( 'A=,例如A=1' ), % 輸入左極限>>xc=input( 'xc=, 例如xc=0' ), % 輸入對(duì)應(yīng)的自變量值>>fxc=input( 'f(x) 的表達(dá)式為，例如 sin(x)/x&#

11、39; , 's' ), % 輸入函數(shù)表達(dá)式>>flag=1; delta=1; x=xc-delta; n=1; %初始化>>while flag=1 epsilon=input('任給一個(gè)小的數(shù)=')% 任意給出>>>>while abs(A-eval(fxc)>epsilondelta=delta/2;if abs(delta)<eps disp('找不至U d' ), n=0; breakx=xc-delta; %找不到，跳出內(nèi)循環(huán)>>end>> end&

12、gt;>if>> disp(n=0 disp( ''delta='左極限不正確)，break , end % 極限不正確，跳出外循環(huán)),delta % 找到了>>disp(>>flag=input(>>end我們來檢驗(yàn)左極限可能正確')再試一個(gè)嗎？再按1,不是按0或任意數(shù)字健(1) f (x)2x 8在 x xc3時(shí)是否以1.001為左極限；(2) f (x)sin x»在 xxcx0時(shí)是否以1為左極限.又(1)得出的結(jié)果是“左極限不正確”，而對(duì)(2)得出"左極限可能正確 為什么要加“可能

13、”二字而不給出肯定回答.”的結(jié)果.圖者可分析練習(xí)5先求函數(shù)y x36x 3,然后在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)y x3 6x 3 及其導(dǎo)函數(shù)y' 3x2 6的圖形。函數(shù)求導(dǎo)相應(yīng)的 MA TLAB>>clear;代碼為:>>syms x;>>diff(x.A3-6*x+3,x,1)結(jié)果為 ans =3*xA2-6，函數(shù)繪圖相應(yīng)的 MATLAB代碼為:>>x=-4:0.1:4;y1=x.A3-6*x+3;>>plot(x,y1,x,y2,':')y2=3*xA2-6;結(jié)果如圖2.4,其中實(shí)線是y x3 6x3的圖形，點(diǎn)線是

14、y' 3x26的圖形。-4-2圖2.4函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)>>% fmin1.m>>fun1= xA3-6*x+3 '>>xmin=fmin(fun1,1,2)>>x=xmin;>>ymin=eval(fun1)>>fun2= -(xA3-6*x+3)' >>xmax=fmin(fun2,-2,-1) >>x=xmax;>>ymax=eval(fun2) 卜面是M文件的運(yùn)行結(jié)果：xmin = 1.4142ymin = -2.6569xmax = -1.4142ymax =

15、 -8.6569【練習(xí)與思考】lim ( n 2 2 n 1- n)nI(6) lim (Jx2 3x x) xlim (cos m)xxx.11 、(8)lim( x )x 1 x e 1(9)31 x x這里畫的是區(qū)間 卜4, 4上的圖形，你也可以選別的區(qū)間試試。觀測(cè)以下現(xiàn)象:(i)當(dāng)y' 0或y' 0時(shí)y的圖形的升降情況，當(dāng) y' 0時(shí)y是否有極大值或極小值?(ii)當(dāng)y'上升或下降時(shí)y的圖形的凹凸情況，當(dāng)y'取極值時(shí)y的圖形是否出現(xiàn)拐點(diǎn)?(iii)觀測(cè)得出方程y 0的根的近似值，比如在區(qū)間卜4,-2上有一個(gè)根，在用以下代碼求出根的更精確的值：&g

16、t;>a=fzero( xA3-6*x+3 ',-4,-2) %fzero 為方程求根命令計(jì)算結(jié)果得a =-2.6691。事實(shí)上，在整個(gè)數(shù)軸上方程y0共有三個(gè)根，其余兩個(gè)根分別是0.5240和2.1451,請(qǐng)將它們求出來。(iv)觀測(cè)使函數(shù)y取極大或極小值的X,比如從圖1.3可看出在x 1.5附近有一個(gè)極小值，在x1.5附近有一個(gè)極大值，而這些點(diǎn)的解析解為 x <21.414,再用MATLAB代碼求極大或極小更精確的值。為了方便，用文本編輯器編寫一個(gè)腳本M文件,并用fmin求出數(shù)值上極值點(diǎn)，MATLAB代碼如下：%定義求最小值的語(yǔ)句函數(shù)%在1<x<2的范圍內(nèi)搜索%因?yàn)閒un1以x為變量，所以需將 xmin賦給x%求xmin處函數(shù)y的值%定義求最大值的語(yǔ)句函數(shù)，注意負(fù)號(hào)%在-2<x<-1的范圍內(nèi)搜索%因?yàn)閒un2以x為變量，所以需將 xmax賦給x%求xmax處函數(shù)y的值1 .求下列各極限1 n(1) lim (1 一) lim n n 3(3)n nn21 、一(4) lim ( )(5)limxcot2xx 1 x 1x1x 02 .考慮函數(shù)- 23_f (x) 3x sin(x ),2x2 作出圖形，并說出大致單調(diào)區(qū)間；使用 diff求f'(x),并求f(x)確