圓錐曲線經(jīng)典中點弦問題

1、中點弦問題專題練習(xí)一選擇題（共8小題）1已知橢圓，以及橢圓內(nèi)一點P（4，2），則以P為中點的弦所在直線的斜率為（）ABC2D22已知A（1，2）為橢圓內(nèi)一點，則以A為中點的橢圓的弦所在的直線方程為（）Ax+2y+4=0Bx+2y4=0C2x+y+4=0D2x+y4=03AB是橢圓（ab0）的任意一條與x軸不垂直的弦，O是橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則KABKOM的值為（）Ae1B1eCe21D1e24橢圓4x2+9y2=144內(nèi)有一點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為（）A3x+2y12=0B2x+3y12=0C4x+9y144=0D9x+4y14

2、4=05若橢圓的弦中點（4，2），則此弦所在直線的斜率是（）A2B2CD6已知橢圓的一條弦所在直線方程是xy+3=0，弦的中點坐標(biāo)是（2，1），則橢圓的離心率是（）ABCD7直線y=x+1被橢圓x2+2y2=4所截得的弦的中點坐標(biāo)是（）A（）B（，）C（，）D（，）8以橢圓內(nèi)一點M（1，1）為中點的弦所在的直線方程為（）A4x3y3=0Bx4y+3=0C4x+y5=0Dx+4y5=0二填空題（共9小題）9過橢圓內(nèi)一點M（2，0）引橢圓的動弦AB，則弦AB的中點N的軌跡方程是_10已知點（1，1）是橢圓某條弦的中點，則此弦所在的直線方程為：_11橢圓4x2+9y2=144內(nèi)有一點P（3，2）過點

3、P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的斜率為_，直線方程為_12橢圓4x2+9y2=144內(nèi)有一點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為_13過橢圓=1內(nèi)一定點（1，0）作弦，則弦中點的軌跡方程為_14設(shè)AB是橢圓的不垂直于對稱軸的弦，M為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，則kABkOM=_15以橢圓內(nèi)的點M（1，1）為中點的弦所在直線方程為_16在橢圓+=1內(nèi)以點P（2，1）為中點的弦所在的直線方程為_17直線y=x+2被橢圓x2+2y2=4截得的線段的中點坐標(biāo)是_三解答題（共13小題）18求以坐標(biāo)軸為對稱軸，一焦點為且截直線y=3x2所得弦的中點的橫坐標(biāo)為的橢圓方程19已

4、知M（4，2）是直線l被橢圓x2+4y2=36所截的弦AB的中點，其直線l的方程20已知一直線與橢圓4x2+9y2=36相交于A、B兩點，弦AB的中點坐標(biāo)為M（1，1），求直線AB的方程21已知橢圓，求以點P（2，1）為中點的弦AB所在的直線方程22已知橢圓與雙曲線2x22y2=1共焦點，且過（）（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求斜率為2的一組平行弦的中點軌跡方程23直線l：x2y4=0與橢圓x2+my2=16相交于A、B兩點，弦AB的中點為P（2，1）（1）求m的值；（2）設(shè)橢圓的中心為O，求AOB的面積24AB是橢圓中不平行于對稱軸的一條弦，M是AB的中點，O是橢圓的中心，求證：kABkOM為

5、定值25已知橢圓C：+=1和點P（1，2），直線l經(jīng)過點P并與橢圓C交于A、B兩點，求當(dāng)l的傾斜角變化時，弦中點的軌跡方程26已知橢圓（1）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（2）過A（2，1）的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點軌跡方程；（3）過點P（）且被P點平分的弦所在的直線方程27已知橢圓（1）求過點且被點P平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過點A（2，1）引直線與橢圓交于B、C兩點，求截得的弦BC中點的軌跡方程28已知某橢圓的焦點是F1（4，0）、F2（4，0），過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢

6、圓上不同的兩點A（x1，y1）、C（x2，y2）滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列（）求該橢圓的方程；（）求弦AC中點的橫坐標(biāo)29（2010永春縣一模）過橢圓內(nèi)一點M（1，1）的弦AB（1）若點M恰為弦AB的中點，求直線AB的方程；（2）求過點M的弦的中點的軌跡方程30已知橢圓C方程為，直線與橢圓C交于A、B兩點，點，（1）求弦AB中點M的軌跡方程；（2）設(shè)直線PA、PB斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2為定值2014年1月panpan781104的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一選擇題（共8小題）1已知橢圓，以及橢圓內(nèi)一點P（4，2），則以P為中點的弦所在直線的斜率為

7、（）ABC2D2考點：橢圓的簡單性質(zhì)4126984專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式、“點差法”即可得出解答：解：設(shè)以點P為中點的弦所在直線與橢圓相交于點A（x1，y1），B（x2，y2），斜率為k則，兩式相減得，又x1+x2=8，y1+y2=4，代入得，解得k=故選A點評：熟練掌握中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式、“點差法”是解題的關(guān)鍵2已知A（1，2）為橢圓內(nèi)一點，則以A為中點的橢圓的弦所在的直線方程為（）Ax+2y+4=0Bx+2y4=0C2x+y+4=0D2x+y4=0考點：直線的一般式方程4126984專題：計算題分析：首先根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直

8、線與橢圓的方程，然后結(jié)合題意與跟與系數(shù)的關(guān)系得到答案解答：解：設(shè)直線的方程為y2=k（x1），聯(lián)立直線與橢圓的方程代入可得：（4+k2）x2+2k（2k）x+k24k12=0因為A為橢圓的弦的中點，所以，解得k=2，所以直線的方程為2x+y4=0故選D點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與橢圓的位置關(guān)系的判定，以及掌握弦中點與中點弦問題3AB是橢圓（ab0）的任意一條與x軸不垂直的弦，O是橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點，則KABKOM的值為（）Ae1B1eCe21D1e2考點：橢圓的簡單性質(zhì)4126984專題：綜合題分析：設(shè)出弦AB所在的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)

9、定理求得x1+x2，的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得y1+y2的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)點M為AB的中點，表示出M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，求得直線OM的斜率，進(jìn)而代入kABkOM中求得結(jié)果解答：解：設(shè)直線為：y=kx+c 聯(lián)立橢圓和直線 消去y得b2x2+a2（kx+c）2a2b2=0，即 （b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2b2）=0 所以：x1+x2=所以，M點的橫坐標(biāo)為：Mx=（x1+x2）=又：y1=kx1+c y2=kx2+c 所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=所以，點M的縱坐標(biāo)My=（y1+y2）=所以：Kom=所以：kABkOM=k×（）=e21點評：本題主要考查了橢圓的

10、應(yīng)用涉及弦長問題，利用弦長公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點及中點弦問題，利用差分法較為簡便4橢圓4x2+9y2=144內(nèi)有一點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為（）A3x+2y12=0B2x+3y12=0C4x+9y144=0D9x+4y144=0考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的一般式方程4126984專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：利用平方差法：設(shè)弦的端點為A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程，兩式作差，利用中點坐標(biāo)公式及斜率公式可求得直線斜率，再用點斜式即可求得直線方程解答：解：設(shè)弦的端點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=6

11、，y1+y2=4，把A、B坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減得，4（）+9（y22）=0，即4（x1+x2）（x1x2）+9（y1+y2）（y1y2）=0，所以=，即kAB=，所以這弦所在直線方程為：y2=（x3），即2x+3y12=0故選B點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線方程的求解，涉及弦中點問題常運用平方差法，應(yīng)熟練掌握5若橢圓的弦中點（4，2），則此弦所在直線的斜率是（）A2B2CD考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率4126984專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：設(shè)此弦所在直線與橢圓相交于點A（x1，y1），B（x2，y2）利用中點坐標(biāo)公式和“點差法”即可得出解答：解：設(shè)此

12、弦所在直線與橢圓相交于點A（x1，y1），B（x2，y2）則，兩式相減得=0，代入上式可得，解得kAB=故選D點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式和“點差法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題6已知橢圓的一條弦所在直線方程是xy+3=0，弦的中點坐標(biāo)是（2，1），則橢圓的離心率是（）ABCD考點：橢圓的簡單性質(zhì)4126984專題：計算題分析：設(shè)出以M為中點的弦的兩個端點的坐標(biāo)，代入橢圓的方程相減，把中點公式代入，可得弦的斜率與a，b的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率解答：解：顯然M（2，1）在橢圓內(nèi)，設(shè)直線與橢圓的交點A（x1，y1），B（x2，y2），則 +=1，+=1，相減得

13、：=0，整理得：k=1，又弦的中點坐標(biāo)是（2，1），則橢圓的離心率是e=故選B點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，中點公式及斜率公式的應(yīng)用，以及直線方程，屬于基礎(chǔ)題本題解題中直接利用點差法巧妙用上了中點坐標(biāo)公式與弦的斜率，方法極為巧妙，此方法即為通常所說的點差法，研究弦中點問題時經(jīng)常采用此方法7直線y=x+1被橢圓x2+2y2=4所截得的弦的中點坐標(biāo)是（）A（）B（，）C（，）D（，）考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系4126984專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：將直線y=x+1代入橢圓x2+2y2=4中，利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式，即可求得結(jié)論解答：解：將直線y=x+1代入橢圓x2

14、+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4 3x2+4x2=0弦的中點橫坐標(biāo)是x=，代入直線方程中，得y=弦的中點是（，）故選B點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，屬于基礎(chǔ)題8以橢圓內(nèi)一點M（1，1）為中點的弦所在的直線方程為（）A4x3y3=0Bx4y+3=0C4x+y5=0Dx+4y5=0考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系4126984專題：計算題分析：設(shè)直線方程為 y1=k （ x1），代入橢圓化簡，根據(jù) x1+x2=2，求出斜率k的值，即得所求的直線方程解答：解：由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為 y1=k （ x1），代入橢圓化簡可得，（4k2+1）x2+8（kk2

15、） x+4k28k12由題意可得 x1+x2=2，k=，故 直線方程為 y1=（ x1），即 x+4y5=0，故選D點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，中點公式的應(yīng)用，求出直線的斜率，是解題的關(guān)鍵二填空題（共9小題）9過橢圓內(nèi)一點M（2，0）引橢圓的動弦AB，則弦AB的中點N的軌跡方程是考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程4126984專題：綜合題分析：設(shè)出N，A，B的坐標(biāo)，將A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合N為AB的中點，求出AB的斜率，再利用動弦AB過點M（2，0），弦AB的中點N，求出AB的斜率，從而可得方程，化簡即可解答：解：設(shè)N（x，y），A（x1，

16、y1），B（x2，y2），則，可得：動弦AB過點M（2，0），弦AB的中點N，當(dāng)M、N不重合時，有，（m2）當(dāng)M、N重合時，即M是A、B中點，M（2，0）適合方程，則N的軌跡方程為，故答案為：點評：本題考查直線與橢圓的綜合，考查點差法的運用，這是解決弦中點問題，常用的一種方法10已知點（1，1）是橢圓某條弦的中點，則此弦所在的直線方程為：x+2y3=0考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系4126984專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：設(shè)以A（1，1）為中點橢圓的弦與橢圓交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），A（1，1）為EF中點，x1+x2=2，y1+y2=2，利用點差法能夠求出以A（1，1）為中

17、點橢圓的弦所在的直線方程解答：解：設(shè)以A（1，1）為中點橢圓的弦與橢圓交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），A（1，1）為EF中點，x1+x2=2，y1+y2=2，把E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）分別代入橢圓，可得，兩式相減，可得（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，2（x1x2）+4（y1y2）=0，=以A（1，1）為中點橢圓的弦所在的直線方程為：y1=（x1），整理，得x+2y3=0故答案為：x+2y3=0點評：本題考查以A（1，1）為中點橢圓的弦所在的直線方程的求法，考查點差法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題11橢圓4x2+9y2=144內(nèi)有一

18、點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的斜率為，直線方程為2x+3y12=0考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的一般式方程4126984專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：平方差法：設(shè)弦端點為A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程后作差，利用斜率公式及中點坐標(biāo)公式可得斜率；根據(jù)點斜式可得直線方程解答：解：設(shè)弦端點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=6，y1+y2=4，=144，得，+9=0，即4（x1+x2）（x1x2）+9（y1+y2）（y1y2）=0，所以=，即，所以弦所在直線方程為：y2=（x3），即2x+3y12=0故答案為：；2x+

19、3y12=0點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、直線方程的求解，弦中點問題常利用平方差法解決，應(yīng)熟練掌握12橢圓4x2+9y2=144內(nèi)有一點P（3，2）過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為2x+3y12=0考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系4126984專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：設(shè)以P（3，2）為中點橢圓的弦與橢圓交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），P（3，2）為EF中點，x1+x2=6，y1+y2=4，利用點差法能夠求出這弦所在直線的方程解答：解：設(shè)以P（3，2）為中點橢圓的弦與橢圓交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），P（3，2）為EF中點，x1+x2=

20、6，y1+y2=4，把E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）分別代入橢圓4x2+9y2=144，得，4（x1+x2）（x1x2）+9（y1+y2）（y1y2）=0，24（x1x2）+36（y1y2）=0，k=，以P（3，2）為中點橢圓的弦所在的直線方程為：y2=（x3），整理，得2x+3y12=0故答案為：2x+3y12=0點評：本題考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓的簡單性質(zhì)、點差法、直線方程等知識點的合理運用13過橢圓=1內(nèi)一定點（1，0）作弦，則弦中點的軌跡方程為4x2+9y24x=0考點：橢圓的應(yīng)用；軌跡方程4126984專題：計算題分析：設(shè)弦兩端點坐標(biāo)為（x1，y1），（x2

21、y2），諸弦中點坐標(biāo)為（x，y）弦所在直線斜率為k，把兩端點坐標(biāo)代入橢圓方程相減，把斜率看的表達(dá)式代入后整理即可得到弦中點的軌跡方程解答：解：設(shè)弦兩端點坐標(biāo)為（x1，y1），（x2y2），諸弦中點坐標(biāo)為（x，y）弦所在直線斜率為k兩式相減得；（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）=0即又k=，代入上式得2x/9+2y2/4（x1）=0整理得諸弦中點的軌跡方程：4x2+9y24x=0故答案為4x2+9y24x=0點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用及求軌跡方程的問題考查了學(xué)生對圓錐曲線知識綜合的把握14設(shè)AB是橢圓的不垂直于對稱軸的弦，M為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，則kABkOM=考點

22、：橢圓的應(yīng)用4126984專題：計算題分析：設(shè)M（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），易知kOM=，再由點差法可知kAB=，由此可求出kABkOM=解答：解：設(shè)M（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），M為AB的中點，x1+x2=2a，y1+y2=2b，把A、B代入橢圓得，得（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，2a（x1x2）+4b（y1y1）=0，kABkOM=答案：點評：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意點差法的合理運用15以橢圓內(nèi)的點M（1，1）為中點的弦所在直線方程為x+4y5=0考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的一般式方程4126984

23、專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：設(shè)點M（1，1）為中點的弦所在直線與橢圓相交于點A（x1，y1），B（x2，y2）利用“點差法”即可得出直線的斜率，再利用點斜式即可得出解答：解：設(shè)點M（1，1）為中點的弦所在直線與橢圓相交于點A（x1，y1），B（x2，y2）則，相減得=0，解得kAB=故所求的直線方程為，化為x+4y5=0故答案為x+4y5=0點評：本題考查了直線與橢圓相交的中點弦問題和“點差法”等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于中檔題16在橢圓+=1內(nèi)以點P（2，1）為中點的弦所在的直線方程為x2y+4=0考點：直線與圓錐曲線的綜合問題4126984專題：計算題分析：設(shè)以點P（2，1）為中點

24、的弦所在的直線與橢圓+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），由點P（2，1）是線段AB的中點，知，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓x2+4y2=16，由點差法得到k=，由此能求出以點P（2，1）為中點的弦所在的直線方程解答：解：設(shè)以點P（2，1）為中點的弦所在的直線與橢圓+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），點P（2，1）是線段AB的中點，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓x2+4y2=16，得，得（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，4（x1x2）+8（y1y2）=0，k=，以點P（2，1）為中點的弦所在的直線方程為，整理，得x2y

25、+4=0故答案為：x2y+4=0點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系考查運算求解能力，推理論證能力解題時要認(rèn)真審題，注意點差法的合理運用17直線y=x+2被橢圓x2+2y2=4截得的線段的中點坐標(biāo)是考點：直線和圓的方程的應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系4126984專題：計算題分析：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得交點橫坐標(biāo)，從而可得線段的中點坐標(biāo)解答：解：將直線y=x+2代入橢圓x2+2y2=4，消元可得3x2+8x+4=0x=2或x=中點橫坐標(biāo)是=，代入直線方程可得中點縱坐標(biāo)為+2=，直線y=x+2被橢圓x2+2y2=4截得的線段的中點坐標(biāo)是故答案為：點評：本題考查中點坐

26、標(biāo)的求解，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，求得交點橫坐標(biāo)三解答題（共13小題）18求以坐標(biāo)軸為對稱軸，一焦點為且截直線y=3x2所得弦的中點的橫坐標(biāo)為的橢圓方程考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4126984專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：由題意，設(shè)橢圓方程為，與直線y=3x2消去y得關(guān)于x的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式，得x1+x2=1，再由橢圓的c=，得a2b2=50，兩式聯(lián)解得a2=75，b2=25，從而得到所求橢圓的方程解答：解：橢圓一個焦點為，橢圓是焦點在y軸的橢圓，設(shè)方程為（ab0）將橢圓方程與直線y=3x2消去y，得（a2+9b2）x

27、212b2x+4b2a2b2=0設(shè)直線y=3x2與橢圓交點為A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=1又a2b2=（）2=50聯(lián)解，得a2=75，b2=25因此，所求橢圓的方程為：點評：本題給出焦點在y軸上的一個橢圓，在已知橢圓被直線截得弦的中點橫坐標(biāo)的情況下，求橢圓的方程，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識，屬于中檔題19已知M（4，2）是直線l被橢圓x2+4y2=36所截的弦AB的中點，其直線l的方程考點：直線與圓相交的性質(zhì)4126984專題：計算題分析：設(shè)直線l的方程為y2=k（x4），代入橢圓的方程化簡，由x1+x2=8解得k值，即得直線l的方程解答

28、：解：由題意得，斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y2=k（x4），即kxy+24k=0，代入橢圓的方程化簡得：（1+4k2）x2+（16k32k2）x+64k264k20=0，x1+x2=8，解得：k=，則直線l的方程為x+2y8=0點評：本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，線段的中點公式，得到（1+4k2）x2+（16k32k2）x+64k264k20=0，是解題的關(guān)鍵20已知一直線與橢圓4x2+9y2=36相交于A、B兩點，弦AB的中點坐標(biāo)為M（1，1），求直線AB的方程考點：直線與圓錐曲線的綜合問題4126984專題：綜合題分析：設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)

29、定理及弦AB的中點坐標(biāo)為M（1，1），求出斜率，即可求得直線AB的方程解答：解：設(shè)通過點M（1，1）的直線方程為y=k（x1）+1，代入橢圓方程，整理得（9k2+4）x2+18k（1k）x+9（1k）236=0設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則解之得故AB方程為，即所求的方程為4x+9y13=0點評：本題考查直線與橢圓的綜合，考查弦中點問題，解題的關(guān)鍵是直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求解21已知橢圓，求以點P（2，1）為中點的弦AB所在的直線方程考點：直線的一般式方程；中點坐標(biāo)公式；直線與圓錐曲線的關(guān)系4126984專題：計算題分析：先設(shè)出弦所在的直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立；設(shè)兩端點的

30、坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)求出x1+x2，進(jìn)而求得弦所在的直線的斜率，進(jìn)而利用點斜式求得該直線的方程解答：解：設(shè)弦AB所在的直線方程為y（1）=k（x2），即y=kx2k1，消去y得x2+4（kx2k1）216=0，整理得（1+4k2）x28k（2k+1）x+4（2k+1）216=0（1）因為P（2，1）為弦AB中點，代入方程（1），驗證0，合題意點評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的關(guān)系在解決弦長的中點問題，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的22已知橢圓與雙曲線2x22y2=1共焦點，且過（）（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求

31、斜率為2的一組平行弦的中點軌跡方程考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；軌跡方程4126984專題：計算題分析：（1）求出雙曲線的焦點，由此設(shè)出橢圓方程，把點（，0）代入橢圓方程，求出待定系數(shù)即得所求的橢圓方程（2）設(shè)斜率為2的弦所在直線的方程為y=2x+b，弦的中點坐標(biāo)為（x，y），把y=2x+b 代入橢圓的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出軌跡方程為y=x，求出直線y=2x+b 和橢圓相切時的b值，即得軌跡方程中自變量x的范圍解答：解：（1）依題意得，將雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化為=1，則c=1橢圓與雙曲線共焦點，設(shè)橢圓方程為=1，橢圓過（，0），=2，橢圓方程為=1（2）依題意，設(shè)斜率為2的弦所在直線的方

32、程為y=2x+b，弦的中點坐標(biāo)為（x，y），則y=2x+b 且 =1得，9x2+8xb+2b22=0，x1+x2=即x=兩式消掉b得 y=x令=0，64b236（2b22）=0，即b=±3，所以斜率為2且與橢圓相切的直線方程為y=2x±3即當(dāng)x=±時斜率為2的直線與橢圓相切所以平行弦得中點軌跡方程為：y=x（）點評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用；求點的軌跡方程的方法，求軌跡方程中自變量x的范圍，是解題的易錯點23直線l：x2y4=0與橢圓x2+my2=16相交于A、B兩點，弦AB的中點為P（2，1）（1）求m的值；（2）設(shè)橢圓的中心為O

33、，求AOB的面積考點：橢圓的應(yīng)用；中點坐標(biāo)公式；點到直線的距離公式4126984專題：計算題；壓軸題分析：（1）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)其中點的坐標(biāo)求得m（2）把（1）中求得橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得x1x2的值，進(jìn)而求得出|AB|的距離和坐標(biāo)原點到直線的距離，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求得答案解答：解：（1）：消去y，整理得（+1）x22mx+4m16=0x1+x2=4，則m=4（2）由（1）知，消去y，x1x2=0|AB|=2坐標(biāo)原點O到直線x2y4=0的距離為d=三角形ABC的面積為×|AB|×

34、d=4點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系，點到直線的距離公式等，考查了學(xué)生綜合分析問題和推理的能力24AB是橢圓中不平行于對稱軸的一條弦，M是AB的中點，O是橢圓的中心，求證：kABkOM為定值考點：橢圓的應(yīng)用4126984專題：證明題分析：設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2，的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得y1+y2的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)點M為AB的中點，表示出M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，求得直線OM的斜率，進(jìn)而代入kABkOM中求得結(jié)果為定值，原式得證解答：證明：設(shè)直線為：y=kx+c 聯(lián)立橢圓和直線消去y得b2x2+a2（kx+c）2a2b2=0，即 （b2+k2

35、a2）x2+2a2kcx+a2（c2b2）=0 所以：x1+x2=所以，M點的橫坐標(biāo)為：Mx=（x1+x2）=又：y1=kx1+c y2=kx2+c 所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=所以，點M的縱坐標(biāo)My=（y1+y2）=所以：Kom=所以：kABkOM=k×=點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用涉及弦長問題，利用弦長公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點及中點弦問題，利用差分法較為簡便25已知橢圓C：+=1和點P（1，2），直線l經(jīng)過點P并與橢圓C交于A、B兩點，求當(dāng)l的傾斜角變化時，弦中點的軌跡方程考點：軌跡方程4126984專題：綜合題分析：設(shè)弦中點為M（x，y），交點為A（x1，

36、y1），B（x2，y2）當(dāng)M與P不重合時，A、B、M、P四點共線故（y2y1）（x1）=（x2x1）（y2）再由點差法知=，由此可得：9x2+16y29x32y=0解答：解：設(shè)弦中點為M（x，y），交點為A（x1，y1），B（x2，y2）當(dāng)M與P不重合時，A、B、M、P四點共線（y2y1）（x1）=（x2x1）（y2），由=1，+=1兩式相減得+=0又x1+x2=2x，y1+y2=2y，=，由可得：9x2+16y29x32y=0，當(dāng)點M與點P重合時，點M坐標(biāo)為（1，2）適合方程，弦中點的軌跡方程為：9x2+16y29x32y=0點評：本題考查軌跡方程的求法，解題時要注意點差法的合理運用26已知

37、橢圓（1）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（2）過A（2，1）的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點軌跡方程；（3）過點P（）且被P點平分的弦所在的直線方程考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的軌跡問題4126984專題：綜合題分析：（1）設(shè)弦的兩端點分別為M（x1，y1），N（x2，y2），中點為R（x，y），則，兩式相減得=，由此能求出斜率為2的平行弦的中點軌跡方程（2）設(shè)直線方程為y1=k（x2），設(shè)兩交點分別為（x3，y3），（x4，y4），則，兩式相減得，故+，令中點坐標(biāo)為（x，y），則x+2y=0，由此能求出l被截得的弦的中點軌跡方程（3）設(shè)過點P（）的直線與交于E（x5，

38、y5），F(xiàn)（x6，y6），由P（）是EF的中點，知x5+x6=1，y5+y6=1，把E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）代入與，得k=，由此能求出過點P（）且被P點平分的弦所在的直線方程解答：解：（1）設(shè)弦的兩端點分別為M（x1，y1），N（x2，y2） 的中點為R（x，y），則，兩式相減并整理可得，將代入式，得所求的軌跡方程為x+4y=0（橢圓內(nèi)部分）（2）可設(shè)直線方程為y1=k（x2）（k0，否則與橢圓相切），設(shè)兩交點分別為（x3，y3），（x4，y4），則，兩式相減得，顯然x3x4（兩點不重合），故+，令中點坐標(biāo)為（x，y），則x+2y=0，又（x，y）在直線上，所以，顯然，故x+2yk=

39、x+2y=0，即所求軌跡方程為x2+2y22x2y=0（夾在橢圓內(nèi)的部分）（3）設(shè)過點P（）的直線與交于E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6），P（）是EF的中點，x5+x6=1，y5+y6=1，把E（x5，y5），F(xiàn)（x6，y6）代入與，得，（x5+x6）（x5x6）+2（y5+y6）（y5y6）=0，（x5x6）+2（y5y6）=0，k=，過點P（）且被P點平分的弦所在的直線方程：，即2x+4y3=0點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題解題時要認(rèn)真審題，注意點差法的合理運用27已知橢圓（1）求過點且被點P平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過點A

40、（2，1）引直線與橢圓交于B、C兩點，求截得的弦BC中點的軌跡方程考點：圓錐曲線的軌跡問題；直線與圓錐曲線的綜合問題4126984專題：綜合題分析：（1）設(shè)出兩個交點坐標(biāo)，利用兩點在橢圓上，代入橢圓方程，利用點差法，求斜率，再代入直線的點斜式方程即可（2）同（1）類似，設(shè)出這一系列的弦與橢圓的交點坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點差法，求斜率，再讓斜率等于2，化簡，即可得斜率為2的平行弦的中點軌跡方程（3）設(shè)出直線BC方程，用參數(shù)k表示，再利用中點坐標(biāo)公式，消去k，即可得弦BC中點的軌跡方程解答：解：（1）設(shè)過點且被點P平分的弦與橢圓交與A（x1，y1），B（x2，y2）點，則=，=A，B在橢圓上，得

41、，=即，弦AB的斜率為方程為y=（x）即（2）設(shè)斜率為2的平行弦的中點坐標(biāo)為（x，y），則根據(jù)中點弦的斜率公式，有=2（3）當(dāng)過點A（2，1）引的直線斜率存在時，設(shè)方程為y1=k（x2），代入橢圓方程，消y，得（+k2）x2+2（12k）kx+4k24k=0x1+x2=，y1+y2=，設(shè)弦BC中點坐標(biāo)為（x，y），則x=，y=，=2k又k=，整理得x22x+2y22y=0當(dāng)過點A（2，1）引的直線斜率不存在時，方程為x=2，與橢圓無交點所求弦BC中點的軌跡方程為x22x+2y22y=0點評：本題主要考查了點差法求中點弦的斜率，屬于圓錐曲線的常規(guī)題28已知某橢圓的焦點是F1（4，0）、F2（4，

42、0），過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A（x1，y1）、C（x2，y2）滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列（）求該橢圓的方程；（）求弦AC中點的橫坐標(biāo)考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系4126984專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（1）根據(jù)橢圓定義結(jié)合已知條件，得|F1B|+|F2B|=10=2a可得a=5由c=4算出b=3，即可得出該橢圓的方程；（2）由點B（4，yB）在橢圓上，利用橢圓方程算出yB=再根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義，算出|F2A|、|F2C|關(guān)于它們的橫坐標(biāo)x1、x2的式子，由|F2A|