20172018年高考真題專項訓練平面向量理科教師版

1、 2 4則𝑥 𝑥𝑥4𝑥 | |2𝑧 +12017-2018 年高考真題專項訓練：平面向量（理科）教師版一、單選題1（2017. 新課標 3 卷）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，動點 P 在以點 C 為圓心且與 BD 相切的圓上若AP=𝜆 AB+𝜇 AD，則𝜆 +𝜇 的最大值為A 3B 22C 5D 2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系.設𝐴(0,1), 𝐵 (0,0), 𝐶 (2,0

2、), 𝐷 ( 2,1), 𝑃 (𝑥, 𝑦 ),易得圓的半徑𝑟 =，即圓 C 的方程是(𝑥 2)2 + 𝑦 2 = ， 5 5𝐴𝑃=(𝑥, 𝑦 1), 𝐴𝐵=(0, 1 ), 𝐴𝐷=(2,0)，若滿足𝐴𝑃=𝜆𝐴𝐵+𝜇𝐴𝐷，ү

3、09; = 2𝜇 𝑦 1 = 𝜆，𝜇 = , 𝜆 = 1 𝑦 ，所以𝜆 + 𝜇 = 𝑦 + 1， 2 2設𝑧 =𝑥2 𝑦 + 1，即 𝑦 + 1 𝑧 = 0，點𝑃 (𝑥, 𝑦 )在圓(𝑥 2)2 + 𝑦 2 = 上，2 5所以圓心(2,0)到直線 𝑦 + 1 𝑧

4、= 0的距離𝑑 𝑟 ，即2 14的最大值是 3，即所以𝑧的最大值是 3，故選 A. 𝜆 + 𝜇25，解得1 𝑧 3，2（2017. 浙江卷）如圖，已知平面四邊形 ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC 與 BD 交于點 O，記uuuv uuuvI OAOB·1，uuuvuuuI OBOC·2，uuuvuuu I OC·OD3，則A I <I <I B I <I <I C I < I <I D I <I <I 【答

5、案】C1 / 8𝜋【 解 析 】 因 為 ÐAOB =ÐCOD >90o，OA <OC，OB <OD， 所 以uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv OB ×OC >0 >OA ×OB >OC ×OD，故選 C3（2017. 新課標 2 卷）已知𝛥𝐴𝐵𝐶 是邊長為 4 的等邊三角形，𝑃 為平面𝐴𝐵𝐶 內一點，則𝑃𝐴

6、(𝑃𝐵+ 𝑃𝐶)的最小值是A 2B 32C 3D 6【答案】D【解析】以 BC 中點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，則 A（0，23），B（2，0），C（2，0），設 P （x，y），則𝑃𝐴 =（x，23y），𝑃𝐵=（2x，y），𝑃𝐶=（2x，y）， 所以𝑃𝐴（𝑃𝐵 +𝑃𝐶 ）=x（2x）+（23y）（2y）=2x243y+2y2=2x2+

7、2（y3）23； 所以當 x=0，y=3時，𝑃𝐴 （𝑃𝐵 +𝑃𝐶 ）取得最小值為 2×（3）=6故選：D4（2018.浙江卷）已知 a，b，e 是平面向量，e 是單位向量，若非零向量 a 與 e 的夾角為 ，向量 b 滿足 b 324e·b+3=0，則|ab|的最小值是， ，A 3 1B 3 + 1C 2D 2 3【答案】A詳解：設𝒂 = (𝑥, 𝑦), 𝒆 = (1,0), 𝒃 = (⻕

8、8;, 𝑛) ， 1223 𝐴𝐵 𝐴𝐶B 3 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶𝐴𝐵 + 𝐴𝐶D 3 1 2則由𝒂, 𝒆 = 得𝒂 𝒆 = |𝒂| |𝒆|cos 3 3, 𝑥 = 𝑥 22 + 𝑦 2 , 𝑦 = ±3𝑥，由&

9、#119939; 4𝒆 𝒃 + 3 = 0得𝑚2+ 𝑛2 4𝑚 + 3 = 0, (𝑚 2)2+ 𝑛2= 1,因此|𝒂 𝒃|的最小值為圓心(2,0)到直線𝑦 = ±3𝑥的距離 =3減去半徑 1，為3 1.2選 A.5（2018. 新課標 3 卷）設 a，b 均為單位向量，則“|𝑎 3𝑏| = |3𝑎 + 𝑏 | 的”是“a，b”A 充分而不必要條件

10、B 必要而不充分條件C 充分必要條件 【答案】CD 既不充分也不必要條件詳 解 ： |𝑎 3𝑏| = |3𝑎 + 𝑏 | |𝑎 3𝑏|2=|3𝑎 + 𝑏 |2 𝑎 2 6𝑎 𝑏 + 9𝑏 2 = 9𝑎 2+6𝑎 𝑏 + 𝑏2，因為 a，b 均為單位向量，所以𝑎2 6𝑎 𝑏 + 9𝑏

11、;2= 9𝑎2+6𝑎 𝑏 + 𝑏2 𝑎 𝑏=0 ab，即“|𝑎 3𝑏| = |3𝑎 + 𝑏 |”是“ab”的充分必要條件.選 C.6（2018. 新課標 1 卷）在𝐵𝐶 中，𝐴𝐷 為𝐵𝐶 邊上的中線，𝐸 為𝐴𝐷 的中點，則𝐸𝐵=A3 1 1 4 4 4Ү

12、60;𝐵 𝐴𝐶 4C3 1 1 3 4 4 4 4【答案】A詳解：根據(jù)向量的運算法則，可得𝐵𝐸=1 𝐵𝐴+1 𝐵𝐷=1𝐵𝐴+1𝐵𝐶=1𝐵𝐴+1(𝐵𝐴+𝐴𝐶)= 1 𝐵𝐴+1 𝐵𝐴+1 𝐴𝐶=3

13、9861;𝐴+2 2 2 4 2 4 2 4 4 414𝐴𝐶，所以𝐸𝐵= 𝐴𝐵 𝐴𝐶 4 4，故選 A.7（2018. 新課標 1 卷）設拋物線 C，y2=4x 的焦點為 F，過點（2，0）且斜率為 的直33 / 82 22 vvvv v(v vv v(v v )vv線與 C 交于 M，N 兩點，則𝐹𝑀𝐹𝑁=A 5B 6C 7D 8【答案】D詳解：根據(jù)題意，過點（2，0）且斜率為 的直線方

14、程為𝑦 = (𝑥 + 2)，3 3與拋物線方程聯(lián)立𝑦 = (𝑥 + 2) 3𝑦 2 = 4𝑥，消元整理得：𝑦2 6𝑦 + 8 = 0，解得𝑀(1,2), 𝑁(4,4) ，又𝐹(1,0) ，所以𝐹𝑀= (0,2), 𝐹𝑁=(3,4)，從而可以求得𝐹𝑀𝐹𝑁=0×3 + 2 × 4

15、 = 8，故選 D.8（2018. 新課標 2 卷）已知向量a，b滿足|a| = 1，a b = 1，則a (2a b) =A 4B 3C 2D 0【答案】B詳解：因為𝑎 (2𝑎 𝑏) = 2𝑎2 𝑎 𝑏 = 2|𝑎|2 (1) = 2 + 1 = 3,所以選 B.二、填空題9 （2017. 浙江卷 ）已知向量 a,b滿足a =1, b =2 ，則 a +b +a -b的最小值是_，最大值是_?！敬鸢浮?42 5【 解 析 】 設 向 量va , b的 夾 角 為q， 由 余 弦 定

16、 理 有 ：va -b = 12 +2 2 -2 ´1´2´cosq= 5 -4cosq，va +b = 12+22-2 ´1´2´cos(p-q)=5+4cosq，則：v va +b +a -b = 5 +4cos q+ 5 -4cos q，令y =5 +4cosq+ 5 -4cosq，則y 2 =10 +2 25 -16cos2qÎ16,20，據(jù)此可得：v v a +b + a -b)= 20 =2 5, a +b + a -b= 16 =4，v v 即 a +b +a -bmax的最小值是 4，最大值是2 5min10

17、（2017. 山東卷）已知e ,e12是互相垂直的單位向量，若3e -e 與 e +3e 1 2 1 2夾角為60°，則實數(shù)l的值是_.)( )2222(2212( )12uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvç÷0 【答案】33【解析】(uv uv uv uv uv uv uv uv uv uv3 e -e ×e +le = 3 e + 3le ×e -e ×e -le = 3 -l 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2，uv uv3e -e = 1 2(uv uv3e -e1 2)2uv uv uv uv=

18、3e -2 3e ×e +e =21 1 2 2，uv uv e +le = 1 2uv uve +le1 2)2uv uv uv uv= e +2le ×e +l2e = 1 +l2 1 1 2 2，3 -l=2´ 1 +l2´cos60o= 1 +l2，解得：l=3311 （ 2017. ） 在VABC中 ，ÐA =60°，AB =3，AC =2. 若uuuv uuuvBD =2 DC，uuuv uuuv uuuvAE =lAC -AB (lÎR)uuuv uuuv，且 AD ×AE =-4，則l的值為_.3【

19、答案】11uuuv uuuv【解析】 AB ×AC =3 ´2 ´cos600uuuv=3, AD =uuuv uuuvAB + AC ,則 3 3æ ö l 2l 1 2 3AD ×AE = AB + AC lAC -AB = ´3 + ´4 - ´9 - ´3 =-4Þ l=è3 3 ø 3 3 3 3 11.12（2017. 新課標 1 卷）已知向量 a，b 的夾角為 60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= _ .【答案】23【解析

20、】平面向量𝑎與𝑏 的夾角為60 ，|𝑎| = 2，|𝑏| = 1𝑎 𝑏= 2 × 1 × cos600= 1.|𝑎 + 2𝑏| = (𝑎 + 2𝑏)2 = 𝑎2 + 4𝑎 𝑏+ (2𝑏)2 = 4 + 4 + 4 = 23故答案為：23.13（2018. 上海卷）在平面直角坐標系中，已知點𝐴(1 ，0) 、𝐵(2 ，0)

21、，𝐸 、𝐹 是𝑦 軸上的兩個動點，且|𝐸𝐹 | = 2，則的𝐴𝐸 𝐵𝐹 【答案】-3根據(jù)題意，設 E（0，a），F(xiàn)（0，b）； |𝐸𝐹 | = |𝑎 𝑏| = 2；a=b+2，或 b=a+2；最小值為_5 / 8，𝑎) 84𝑎+5 𝑎+5 𝑎+511且𝐴𝐸 = (1 ，𝐵

22、9865; = (2，𝑏) ；𝐴𝐸 𝐵𝐹 = 2 + 𝑎𝑏 ； 當 a=b+2 時，𝐴𝐸 𝐵𝐹 = 2 + (𝑏 + 2) 𝑏 = 𝑏= 3；b2+2b2 的最小值為42+ 2𝑏 2； 𝐴𝐸 𝐵𝐹 的最小值為3，同理求出 b=a+2 時，𝐴𝐸 𝐵&

23、#119865;的最小值為3故答案為：314（2018. 江蘇卷）在平面直角坐標系𝑥𝑂𝑦中，𝐴 為直線𝑙: 𝑦 = 2𝑥 上在第一象限內的點， 𝐵(5,0) ，以𝐴𝐵 為直徑的圓 𝐶 與直線 𝑙 交于另一點 𝐷 若𝐴𝐵𝐶𝐷=0，則點 𝐴 的橫坐標為 _，【答案】3【解析】詳解：設𝐴(Ү

24、86;, 2𝑎)(𝑎 > 0)，則由圓心𝐶 為𝐴𝐵 中點得𝐶( , 𝑎), 易得 𝐶: (𝑥 5)(𝑥 𝑎) +2𝑦(𝑦 2𝑎) = 0 ，與 𝑦 = 2𝑥 聯(lián)立解得點 𝐷 的橫坐標 𝑥 = 1, 所以 𝐷(1,2) . 所以 𝐴𝐵=(5 𝐷

25、𝑎, 2𝑎), 𝐶𝐷 = (1 , 2 𝑎) ，2由 𝐴𝐵 𝐶𝐷= 0 得 (5 𝑎)(1 ) + (2𝑎)(2 𝑎) = 0, 𝑎22 2𝑎 3 = 0, 𝑎 = 3 或 𝑎 =1，因為𝑎 > 0，所以𝑎 = 3.點睛：以向量為載體求相關變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結合

26、的一類綜合問題 . 通過向量的坐標運算，將問題轉化為解方程或解不等 式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.15 （2018. 新課標 3 卷）已知向量 a=(1,2) ， b=(2, 2) ， c=(1, 𝜆 ) 若 c (2a+b) ，則 𝜆 =_，【答案】2詳解：由題可得2𝑎 + 𝑏 = (4,2) 𝑐/(2𝑎 + 𝑏 ), 𝑐 = (1, 𝜆) 4 2 = 0,即 = 故答案為2三、解答題1222𝑦1𝑥1 1

27、2 2𝑦𝑥𝑦𝑦 𝑦1 21 2𝑦 +𝑦𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦3 133 3 3+ 31 1= 2 1𝑥1 2 1 12 237 1216（2018. 新課標 3 卷）已知斜率為𝑘 的直線𝑙 與橢圓𝐶：𝑥4+ = 1交于𝐴，𝐵 兩點， 3線段𝐴𝐵 的中點為𝑀1 ，

28、19898; 𝑚 > 0 ，（1）證明：𝑘 < ，2（2）設𝐹 為𝐶 的右焦點，𝑃 為𝐶 上一點,且𝐹𝑃+𝐹𝐴+𝐹𝐵=0證明：|𝐹𝐴|，|𝐹𝑃|，|𝐹𝐵|成 等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差【解析】分析：（1）設而不求，利用點差法進行證明。（2）解出 m,進而求出點 P 的坐標，得到|𝐹&

29、#119875;|,再由兩點間距離公式表示出|𝐹𝐴|,|𝐹𝐵|，得 到直l的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達定理進行求解。詳解：（1）設𝐴𝑥 , 𝑦 , 𝐵𝑥 , 𝑦 ，則 142+ 132= 1, 242+ 232= 1.兩式相減，并由 1 2 = 𝑘 得𝑥 𝑥𝑥 +𝑥4+ 1 2 𝑘 = 0. 3由題設知 1 2 = 1, 1 2 = 𝑚 ，于是 2 2𝑘 = 34 𝑚.，由題設得0 < 𝑚 < ，故𝑘 < .2 2（2）由題意得𝐹1,0 ，設𝑃𝑥, 𝑦 ，則3 3&#