2012高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題解題方法探尋及典例剖析

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題解題方法探尋及典例剖析【考情分析】1函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法是高中數(shù)學(xué)的一條重要的主線，選擇、填空、解答三種題型每年都有函數(shù)題的身影頻現(xiàn)，而且?？汲Ｐ乱曰竞瘮?shù)為背景的綜合題和應(yīng)用題是近幾年的高考命題的新趨勢(shì)函數(shù)的圖象也是高考命題的熱點(diǎn)之一近幾年來，考查用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)的綜合題基本已經(jīng)定位到壓軸題的位置了2對(duì)于函數(shù)部分考查的重點(diǎn)為：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性對(duì)稱性和函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決一些實(shí)際問題；導(dǎo)數(shù)的基本公式，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求一些實(shí)際問題（一般指

2、單峰函數(shù)）的最大值和最小值【常見題型及解法】1. 常見題型一、 小題：1.函數(shù)的圖象2.函數(shù)的性質(zhì) (單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性); 3.分段函數(shù)求函數(shù)值；4.函數(shù)的定義域、值域（最值）；5.函數(shù)的零點(diǎn)；6.抽象函數(shù)；7.定積分運(yùn)算（求面積）二、大題：1. 求曲線( )yf x=在某點(diǎn)處的切線的方程；2. 求函數(shù)的解析式3. 討論函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間；4. 求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值；5. 求函數(shù)的最值或值域；6. 求參數(shù)的取值范圍7. 證明不等式；8. 函數(shù)應(yīng)用問題2. 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記 ） ：(1) 曲線( )yf x在0 xx處的切線的斜率等于0()fx，且切線方程為0

3、00()()()yfxxxf x。(2) 若可導(dǎo)函數(shù)( )yf x在0 xx處取得極值，則0()0fx。反之，不成立。(3) 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)( )f x，不等式( )fx00（）的解集決定函數(shù)( )f x的遞增（減）區(qū)間。(4) 函數(shù)( )f x在區(qū)間 i 上遞增（減）的充要條件是：xi( )fx0 (0)恒成立（( )fx不恒為 0）. (5) 函數(shù)( )f x（非常量函數(shù)）在區(qū)間i 上不單調(diào)等價(jià)于( )f x在區(qū)間 i 上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程( )0fx在區(qū)間 i 上有實(shí)根且為非二重根。 （若( )fx為二次函數(shù)且i=r，則有0） 。(6)( )f x在區(qū)間 i 上無極值等價(jià)于( )f

4、 x在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)， 進(jìn)而得到( )fx0或( )fx0在 i 上恒成立(7) 若xi，( )f x0恒成立，則min( )f x0; 若xi，( )f x0恒成立，則max( )f x0(8) 若0 xi，使得0()f x0，則max( )f x0；若0 xi，使得0()f x0，則min( )f x0. (9) 設(shè)( )f x與( )g x的定義域的交集為d，若xd ( )( )f xg x恒成立，則有min( )( )0f xg x. (10) 若對(duì)11xi、22xi，12()()f xg x恒成立，則minmax( )( )f xg x. 若對(duì)11xi，22xi，使得12()()

5、f xg x,則minmin( )( )f xg x. 若對(duì)11xi，22xi，使得12()()f xg x，則maxmax( )( )f xg x. （11）已知( )f x在區(qū)間1i上的值域?yàn)閍,，( )g x在區(qū)間2i上值域?yàn)?b，若對(duì)11xi,22xi，使得1()f x=2()g x成立，則ab。(12) 若三次函數(shù)f(x) 有三個(gè)零點(diǎn)，則方程( )0fx有兩個(gè)不等實(shí)根12xx、，且極大值大于0，極小值小于0. (13) 證題中常用的不等式: ln1 (0)xxxln+1(1)xxx（）1xex1xexln1(1)12xxxx22ln11(0)22xxxx3. 解題方法規(guī)律總結(jié)1. 關(guān)

6、于函數(shù)單調(diào)性的討論：大多數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)，因此，討論函數(shù)單調(diào)性的問題，又往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在所給區(qū)間上的符號(hào)問題。要結(jié)合函數(shù)圖象， 考慮判別式、 對(duì)稱軸、 區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)等因素。2. 已知函數(shù)（含參數(shù)）在某區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)的取值范圍，有三種方法：子區(qū)間法；分離參數(shù)法；構(gòu)造函數(shù)法。3. 注意分離參數(shù)法的運(yùn)用：含參數(shù)的不等式恒成立問題，含參數(shù)的不等式在某區(qū)間上有解，含參數(shù)的方程在某區(qū)間上有實(shí)根（包括根的個(gè)數(shù)）等問題，都可以考慮用分離參數(shù)法，前者是求函數(shù)的最值，后者是求函數(shù)的值域。4. 關(guān)于不等式的證明：通常是構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)的單調(diào)性和最值。有時(shí)要借助上一問的有關(guān)單調(diào)

7、性或所求的最值的結(jié)論，對(duì)其中的參數(shù)或變量適當(dāng)賦值就可得到所要證的不等式。對(duì)于含有正整數(shù)n 的帶省略號(hào)的不定式的證明，先觀察通項(xiàng)，聯(lián)想基本不定式（上述結(jié)論中的13） ，確定要證明的函數(shù)不定式（往往與所給的函數(shù)及上一問所得到的結(jié)論有關(guān)），再對(duì)自變量x 賦值，令 x 分別等于 1、2、 .、n,把這些不定式累加，可得要證的不定式。）5. 關(guān)于方程的根的個(gè)數(shù)問題：一般是構(gòu)造函數(shù)，有兩種形式，一是參數(shù)含在函數(shù)式中，二是參數(shù)被分離，無論哪種形式，都需要研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性、極值、最值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象，確立所滿足的條件，再求參數(shù)或其取值范圍。【基本練習(xí)題講練】【例 1】 “龜兔賽跑

8、”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn) , 用s1、s2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t 為時(shí)間， 則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（）【例 2】 （山東高考題）已知定義在r 上的奇函數(shù))(xf，滿足(4)( )fxf x，且在區(qū)間 0,2上是增函數(shù)，若方程( )(0)f xm m在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根123,xxxx，則1234_.xxxx例 3】若1x是方程lg3xx的解，2x是310 xx的解，則21xx的值為（）a23錯(cuò)誤！未指定書簽。 b32 c3 d31【例 4】若函數(shù)( )

9、(01)xf xaxaaa且有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【例 5】已知偶函數(shù)( )f x在區(qū)間0,)單調(diào)遞增，則滿足(21)fx1( )3f的 x 取值范圍是（）（a） （13，23） (b) 13，23） (c)（12，23） (d) 12，23）【例 6】某單位用2160 萬元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10 層、每層 2000 平方米的樓房經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用 +平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=）建筑總面積購(gòu)地總費(fèi)用典

10、型題剖析及訓(xùn)練】【例 1】已知 a、b 為常數(shù)，且 a0 ，函數(shù)( )lnf xaxbaxx=-+，( )2f e =。（ ）求實(shí)數(shù) b 的值；（ ）求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；（ ）當(dāng)a1 時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m 和 m（mm） ，使得對(duì)每一個(gè)tm，m，直線yt 與曲線1( )yf xxee驏=琪桫都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m 和最大的實(shí)數(shù)m；若不存在，說明理由?！纠?2】已知函數(shù)2( )lnf xaxbx圖象上一點(diǎn)2,2pf處的切線方程為32ln22yx。（ 1）求ab、的值（2）設(shè)2( )2g xxx，求證：對(duì)于任意的0,x，有( )( )f xg x（3）若方程( )0f xm

11、在1, ee上有兩個(gè)不等實(shí)根，求m 的取值范圍（其中e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）abcd 【例 3】設(shè)函數(shù)( )lnf xx，( )ag xx，( )( )( )f xf xg x。1）求函數(shù)( )f x的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)( ) (03)yf xx圖象上任意一點(diǎn)00(,)p xy處的切線的斜率12k恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若方程( )f xmx在區(qū)間21 ,e上有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（4）是否存在實(shí)數(shù)t，使得函數(shù)2(1)yf x的圖象與函數(shù)2211aygtx的圖象恰好有4 個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)t 的取值范圍；若不存在，說明理由?！纠?4】 （2009 全國(guó) i）設(shè)

12、函數(shù)3233fxxbxcx在兩個(gè)極值點(diǎn)12xx、，且12 10,1,2.xx，（ i） 求bc、滿 足的 約束 條件 ，并 在 下面 的坐 標(biāo)平 面 內(nèi)， 畫出 滿 足這 些條 件的 點(diǎn),b c的 區(qū) 域； (ii) 證 明 ：21102fx【例 5】已知函數(shù)( )lnaf xxx=+，( )g xx=，( )(1)( )xf xfeg x=+-（xr?）（1）若函數(shù)( )f x的圖象上任意一點(diǎn)00(,)p xy處的切線的斜率都不大于12，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（2）當(dāng)0a =時(shí)，若12xxr?、且12xx1，證明：1212()()22xxf xf xf驏+）有唯一實(shí)數(shù)解，求m的值?！纠?6】設(shè)

13、函數(shù)1( )ln().f xxax arx(i) 討論( )f x的單調(diào)性；（ii ）若( )f x有兩個(gè)極值點(diǎn)12xx和，記過點(diǎn)1122(,(),(,()a xf xb xf x的直線的斜率為k，問：是否存在a，使得2?ka若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由【例 7】已知函數(shù)xaaxxxf)2(ln)(2 （i）討論)(xf的單調(diào)性；（ii ）設(shè)0a，證明：當(dāng)10 xa時(shí)，11fxfxaa；（iii）若函數(shù))(xfy的圖像與 x 軸交于 a，b兩點(diǎn)，線段ab 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f（x0） 0【例 8】 已知 a， b 是實(shí)數(shù)，函數(shù)32( ),( ),f xxaxg xxbx)(

14、xf和)(xg是( )( )f xg x、的導(dǎo)函數(shù)，若0)()(xgxf在區(qū)間 i 上恒成立，則稱)(xf和)(xg在區(qū)間 i 上單調(diào)性一致 .（1）設(shè)0a，若函數(shù))(xf和)(xg在區(qū)間), 1上單調(diào)性一致 ,求實(shí)數(shù) b 的取值范圍；（2）設(shè), 0a且ba，若函數(shù))(xf和)(xg在以 a，b 為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求ab的最大值 . 【例 9】 已知關(guān)于x 的函數(shù) f(x) 331xbx2cxbc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x) 。.令 g(x) ( )fx,記函數(shù) g(x) 在區(qū)間 -1 、1上的最大值為m. () 如果函數(shù) f(x) 在 x1 處有極值 -34，試確定 b、c 的值：（）若

15、 b1,證明對(duì)任意的c,都有 m2:()若 mk 對(duì)任意的 b、c 恒成立，試求k 的最大值。【例 10】已知函數(shù)( )(0)bf xaxcax的圖象在點(diǎn)(1,(1)f處的切線方程為1yx（1）用a表示出 b、c。（2）若( )lnf xx在1,)上恒成立，求a的取值范圍。（3）證明：1111ln(1)(1)232(1)nnnnn【例 11】 （2011 湖南 理）已知函數(shù)f（x） =3x，g（x）=x+x。（1）求函數(shù)( )( )( )h xf xg x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列* ()nann滿足1(0)aa a，1()()nnf ag a，證明：存在常數(shù)m，使得對(duì)于任意的*nn

16、，都有nam. 【專題演練】1函數(shù)22log2xyx的圖象（）a 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱b關(guān)于主線yx對(duì)稱c關(guān)于y軸對(duì)稱d關(guān)于直線yx對(duì)稱2 定義在 r 上的偶函數(shù)fx的部分圖象如右圖所示，則在2, 0上，下列函數(shù)中與fx的單調(diào)性不同的是（）a21yxb| 1yxc321,01,0 xxyxxd,0 xxexoyex3 已 知 定 義 在r上 的 奇 函 數(shù))(xf， 滿 足(4 )()fxfx, 且 在 區(qū) 間 0,2 上 是 增 函 數(shù) , 則( )a( 25)(11)(80)fffb(80)(11)( 25)fffc(11)(80)( 25)fffd( 25)(80)(11)fff4 定義在 r 上的函數(shù) f(x)滿足 f(x)= 0),2() 1(0),1 (log2xxfxfxx，則 f（2009 ）的值為5 已知函數(shù)( )f x在 r 上滿足2( )2 (2)88f xfxxx，則曲線( )yf x在點(diǎn)(1,(1)f處的切線方程是6已知函數(shù)321( ),3f x