2016高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教師用書理蘇教版

1、§2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1對數(shù)的概念如果axN(a>0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，其中 a 叫做對數(shù)的底數(shù)， N 叫做真數(shù)2對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的運算法則如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logaM.(2)對數(shù)的性質(zhì) N ；logaaN N (a>0且a1)(3)對數(shù)的重要公式換底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣logab·logbc·logcdlogad.3

2、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：(0，)(2)值域：R(3)過定點(1,0)，即x1時，y0(4)當x>1時，y>0當0<x<1時，y<0(5)當x>1時，y<0當0<x<1時，y>0(6)在(0，)上是增函數(shù)(7)在(0，)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線 yx 對稱【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)若log2(log3x)log3(log2y)0，則xy5.()(2)2log510log50.

3、255.(×)(3)已知函數(shù)f(x)lg x，若f(ab)1，則f(a2)f(b2)2.()(4)當x>1時，logax>0.(×)(5)當x>1時，若logax>logbx，則a<b.(×)(6)函數(shù)f(x)lg與g(x)lg(x2)lg(x2)是同一個函數(shù)(×)1設(shè)alog36，blog510，clog714，則a，b，c的大小關(guān)系為 答案a>b>c解析alog361log321，blog5101log521，clog7141log721，顯然a>b>c.2函數(shù)f(x)lg(|x|1)的大致圖象是

4、 答案解析由函數(shù)f(x)lg(|x|1)的定義域為(，1)(1，)，值域為R.又當x>1時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以只有選項正確3函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是 答案(，)解析函數(shù)f(x)的定義域為(，)，令t2x1(t>0)因為ylog5t在t(0，)上為增函數(shù)，t2x1在(，)上為增函數(shù)，所以函數(shù)ylog5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是(，)4已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0，)上為增函數(shù)，f0，則不等式 >0的解集為 答案(2，)解析f(x)是R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對稱f(x)在0，)上為增函數(shù)，f(x)在(，0上為減函數(shù)，由f0，得f0.>0&

5、lt;或>x>2或0<x<，x(2，)題型一對數(shù)式的運算例1(1)若xlog43，則(2x2x)2 .(2)已知函數(shù)f(x)則f(f(1)f(log3)的值是 答案(1)(2)5解析(1)由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)2()2.(2)因為f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因為log3<0，所以1213.所以f(f(1)f(log3)235.思維升華在對數(shù)運算中，要熟練掌握對數(shù)的定義，靈活使用對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式和對數(shù)恒等式對式子進行恒等變形，多個對數(shù)式要盡量先化成同底的形式再進行運算已知函數(shù)f(x)則f(2log23)

6、的值為 答案解析因為2log23<4，所以f(2log23)f(3log23)，而3log23>4，所以f(3log23)×.題型二對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)例2(1)已知f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，設(shè)af(log47)， ，cf(0.20.6)，則a，b，c的大小關(guān)系是 (2)作出函數(shù)ylog2|x1|的圖象，由圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說明它的圖象可由函數(shù)ylog2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到思維點撥從基本函數(shù)ylog2x出發(fā)，到y(tǒng)log2|x|，再到y(tǒng)log2|x1|.(1)答案c<b<a解析(1)log23log49，bf()f(

7、log49)f(log49)，log47<log49,0.20.6>2>log49，又f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，故f(x)在0，)上是單調(diào)遞減的，f(0.20.6)<f()<f(log47)，即c<b<a.(2)解作出函數(shù)ylog2x的圖象，將其關(guān)于y軸對稱得到函數(shù)ylog2|x|的圖象，再將圖象向左平移1個單位長度就得到函數(shù)ylog2|x1|的圖象(如圖所示)由圖知，函數(shù)ylog2|x1|的遞減區(qū)間為(，1)，遞增區(qū)間為(1，)思維升華(1)研究對數(shù)型函數(shù)的圖象時，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變

8、換得到對數(shù)型函數(shù)的圖象(2)對數(shù)函數(shù)值大小的比較一般有三種方法：單調(diào)性法，在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底；中間值過渡法，即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”；圖象法，根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系(1)已知a21.2，b0.8，c2log52，則a，b，c的大小關(guān)系為 (2)已知函數(shù)f(x)loga(xb) (a>0且a1)的圖象過兩點(1，0)和(0,1)，則a ，b .答案(1)c<b<a(2)22解析(1)b0.820.8<21.2a，c2log52log522<log551<20.8b，故

9、c<b<a.(2)f(x)的圖象過兩點(1,0)和(0,1)則f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1，即題型三對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)loga(3ax)(1)當x0,2時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由解(1)a>0且a1，設(shè)t(x)3ax，則t(x)3ax為減函數(shù)，x0,2時，t(x)最小值為32a，當x0,2時，f(x)恒有意義，即x0,2時，3ax>0恒成立32a>0.a<.又a>

10、0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a>0，函數(shù)t(x)為減函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，ylogat為增函數(shù)，a>1，x1,2時，t(x)最小值為32a，f(x)最大值為f(1)loga(3a)，即故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，并且最大值為1.思維升華解決對數(shù)函數(shù)綜合問題時，無論是討論函數(shù)的性質(zhì)，還是利用函數(shù)的性質(zhì)，(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a(0,1)，還是a(1，)；(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進行；(3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤已知函數(shù)f(x

11、)(x22ax3)(1)若函數(shù)f(x)的定義域為(，1)(3，)，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)的定義域為R，值域為(，1，求實數(shù)a的值；(3)若函數(shù)f(x)在(，1上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解(1)由x22ax3>0的解集為(，1)(3，)，得2a13，所以a2，即實數(shù)a的值為2.(2)因為函數(shù)f(x)的值域為(，1，則f(x)max1，所以yx22ax3的最小值為ymin2，由yx22ax3(xa)23a2，得3a22，所以a21，所以a±1.(3)f(x)在(，1上為增函數(shù)，則yx22ax3在(，1上為減函數(shù)，且y>0，所以即故1a<2.所以實數(shù)a的取

12、值范圍是1,2)利用函數(shù)性質(zhì)比較冪、對數(shù)的大小典例：(1)設(shè)a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是 (2)已知a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是 (3)已知alog23log2，blog29log2，clog32，則a，b，c的大小關(guān)系是 思維點撥(1)利用冪函數(shù)yx0.5和對數(shù)函數(shù)ylog0.3x的單調(diào)性，結(jié)合中間值比較a，b，c的大小；(2)化成同底的指數(shù)式，只需比較log23.4、log43.6、log30.3log3的大小即可，可以利用中間值或數(shù)形結(jié)合進行比較；(3)先利用對數(shù)式的運算性質(zhì)比較a與b的大小關(guān)系，再利用中間值比較a，b，c的大小解

13、析(1)根據(jù)冪函數(shù)yx0.5的單調(diào)性，可得0.30.5<0.50.5<10.51，即b<a<1；根據(jù)對數(shù)函數(shù)ylog0.3x的單調(diào)性，可得log0.30.2>log0.30.31，即c>1.所以b<a<c.(2).方法一在同一坐標系中分別作出函數(shù)ylog2x，ylog3x，ylog4x的圖象，如圖所示由圖象知：log23.4>log3>log43.6.方法二log3>log331，且<3.4，log3<log33.4<log23.4.log43.6<log441，log3>1，log43.6<

14、log3.log23.4>log3>log43.6.由于y5x為增函數(shù)，.即，故a>c>b.(3)alog23log2log23，blog29log2log23，ab.又函數(shù)ylogax(a>1)為增函數(shù)，alog23>log221，clog32<log331，ab>c.答案(1)b<a<c(2)a>c>b(3)ab>c溫馨提醒(1)比較冪、對數(shù)的大小可以利用數(shù)形結(jié)合和引入中間量利用函數(shù)單調(diào)性兩種方法(2)解題時要根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進行比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而

15、指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.方法與技巧1對數(shù)值取正、負值的規(guī)律當a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時，logab>0；當a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時，logab<0.2對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為x|x>0對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān)，因而，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按0<a<1和a>1進行分類討論3比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性4多個對

16、數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線y1交點的橫坐標進行判定失誤與防范1在運算性質(zhì)logaMlogaM中，要特別注意條件，在無M0的條件下應(yīng)為logaMloga|M|(N*，且為偶數(shù))2指數(shù)函數(shù)yax (a>0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別3解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1(2014·福建改編)若函數(shù)ylogax(a>0，且a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是

17、答案解析由題意得ylogax(a>0，且a1)的圖象過(3,1)點，可解得a3.圖中，y3x()x，顯然圖象錯誤；圖中，yx3，由冪函數(shù)圖象可知正確；圖中，y(x)3x3，顯然與所畫圖象不符；圖中，ylog3(x)的圖象與ylog3x的圖象關(guān)于y軸對稱，顯然不符2函數(shù)f(x)loga(ax3)在1,3上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 答案(3，)解析由于a>0，且a1，故uax3為增函數(shù)，因為函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)logau必為增函數(shù)，因此a>1.又yax3在1,3上恒為正，所以a3>0，即a>3.3已知xln ，ylog52，z，則x，y，z的大小關(guān)系為

18、答案y<z<x解析xln >ln e，x>1.ylog52<log5，0<y<.z>，<z<1.綜上可得，y<z<x.4若loga(a21)<loga2a<0，則a的取值范圍是 答案(，1)解析由題意得a>0且a1，故必有a21>2a.又loga(a21)<loga2a<0，所以0<a<1，同時2a>1，a>，綜上，a(，1)5設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是 答案(1,0)(1，)解析f(a)>f(a)或或a>1或1&l

19、t;a<0.6計算(lg lg 25)÷ .答案20解析(lg lg 25)÷(lg )÷1012×1020.7已知函數(shù)f(x)則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y1上方的x的取值范圍是 答案x|1<x0或x>2解析當x0時，3x1>1x1>0，1<x0；當x>0時，log2x>1x>2，x>2.綜上所述，x的取值范圍為1<x0或x>2.8若log2a<0，則a的取值范圍是 答案解析當2a>1時，log2a<0log2a1，<1.1a>0，1a2<1a

20、，a2a<0，0<a<1，<a<1.當0<2a<1時，log2a<0log2a1，>1.1a>0，1a2>1a，a2a>0，a<0或a>1，此時不合題意綜上所述，a.9已知函數(shù)f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當a>1時，求使f(x)>0的x的解集解(1)要使函數(shù)f(x)有意義則解得1<x<1.故所求函數(shù)f(x)的定義域為x|1<x<1(2)由(1)知f(x)的定義域為x|1&l

21、t;x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)(3)因為當a>1時，f(x)在定義域x|1<x<1內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)>0>1，解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的解集是x|0<x<110已知函數(shù)y(x2axa)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)，求a的取值范圍解函數(shù)y(x2axa)是由函數(shù)yt和tx2axa復(fù)合而成因為函數(shù)yt在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，而函數(shù)tx2axa在區(qū)間(，)上單調(diào)遞減，又因為函數(shù)y(x2axa)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)，所以解得即2a2(1)

22、B組專項能力提升(時間：20分鐘)1設(shè)f(x)lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是 答案(1,0)解析由f(x)是奇函數(shù)可得a1，f(x)lg，定義域為(1,1)由f(x)<0，可得0<<1，1<x<0.2兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出下列四個函數(shù)：f1(x)2log2(x1)，f2(x)log2(x2)，f3(x)log2x2，f4(x)log2(2x)，則是“同形”函數(shù)的是 答案f2(x)與f4(x)解析因為f4(x)log2(2x)1log2x，所以f2(x)log2(x2)，沿著x軸先向右平移2個單位得到y(tǒng)log2x的圖象，然后再沿著y軸向上平移1個單位可得到f4(x)log2(2x)1log2x，根據(jù)“同形”函數(shù)的定義，f2(x)與f4(x)為“同形”函數(shù)f3(x)log2x22log2|x|與f1(x)2log2(x1)不“同形”3函