2017年北京市朝陽高三二模數(shù)學(xué)(理)試題及復(fù)習(xí)資料

1、1 / 12北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)第二次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測(cè)試(理工類)2017. 5(考試時(shí)間 120 分鐘 滿分 150 分)本試卷分為選擇題(共 40 分)和非選擇題(共 110 分)兩部分第一部分(選擇題 共 40 分)、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1已知 i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i(12i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于冗B .函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱3nC.函數(shù)f (x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱3D.函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,n 上單調(diào)遞增5.現(xiàn)將 5 張連號(hào)的電影票分給甲、乙等

2、5 個(gè)人， 每人一張，且甲、乙分得的電影票連號(hào) 則共有不同分法的種數(shù)為A. 12B.24C. 36D.486. 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為A.第一象限B .第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限2 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S值是A . 23B. 31C. 32D . 633.“ x 0,y 0 ”是“y- 2 ”的x yA .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)f(x)=sin(cox+”(國(guó)0)的最小正周期為4n,則A .函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱開始k,S -0S=S -2k結(jié)束S9 =2 / 12A

3、 .B .2 2C . 3D .3、23 / 12正視圖側(cè)視圖llOgaX, X0,7.已知函數(shù)f(x)=(a0且a1).若函數(shù)f(x)的圖象上有且只有x+3, 4蘭x c0兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a的取值范圍是A.(0,1)B.(1,4)C. (0,1)U(1,：)D.(0,1)U(1,4)&中國(guó)古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才藝：禮、樂、射、御、書、數(shù)，簡(jiǎn)稱“六藝”某中學(xué)為弘揚(yáng)“六藝”的傳統(tǒng)文化，分別進(jìn)行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場(chǎng)傳統(tǒng)文化知識(shí)的競(jìng)賽現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進(jìn)入了前三名的最后角逐規(guī)定：每場(chǎng)知識(shí)競(jìng)賽前三名的得分都分別為a,b,c(a b c,且a,b,c N )；

4、選手最后得分為各場(chǎng)得分之和.在六場(chǎng)比賽后，已知甲最后得分為26 分，乙和丙最后得分都為 11 分，且乙在其中一場(chǎng)比賽中獲得第一名，則下列說法正確的是A 每場(chǎng)比賽第一名得分a為 4B 甲可能有一場(chǎng)比賽獲得第二名C.乙有四場(chǎng)比賽獲得第三名D .丙可能有一場(chǎng)比賽獲得第一名第二部分(非選擇題共 110 分)二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.2 29._ 雙曲線 -y1 的漸近線方程是，離心率是.3610. 若平面 向量a = (cossin -),b = (1, T)，且a _ b，則sin 2二的值是_S9 =4 / 1211. 等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn.已知a1

5、=2,a4= -2，則an的通項(xiàng)公式an二_ ,5 / 12112.在極坐標(biāo)系中， 圓 r=2cosr被直線 cos所截得的弦長(zhǎng)為2 3 工x,13. 已知x, y滿足x + y蘭4,若z = x + 2y有最大值 8,則實(shí)數(shù)k的值為_ .2x y啟k.14.已知兩個(gè)集合 代B，滿足A.若對(duì)任意的x? A，存在ai,aj? B(i = j)，使得x= + Zj(入，入2? 1,0,1)，則稱B為A的一個(gè)基集.若A二1, 2,3, 4,5,6,7, ,8則其基集B元素個(gè)數(shù)的最小值是 _.三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15. (本小題滿分 13

6、 分)在厶ABC中，角代B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且b二c,2s in B = ,3 si nA.(i)求cosB的值；(n)若a = 2，求ABC的面積.16.(本小題滿分 13 分)從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖.(i)求a的值；(n)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的 中點(diǎn)值代替，估計(jì)該市中學(xué)生中的全 體男生的平均身高；(川)從該市的中學(xué)生中隨機(jī)抽取一名男生，根據(jù)直方圖中的信息，估計(jì)其身高 在 180cm 以上的概率.若從全市中學(xué)的男生(人數(shù)眾多)中隨機(jī)抽取3人，用X表示身高在180 cm以上的男生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

7、望EX.身高(cm)頻率6 / 1217.(本小題滿分 14 分)如圖 1,在RtABC中，.C = 90,AC = 4, BC = 2,D, E分別為邊AC, AB的.ADC =60.點(diǎn)Q為線段AB上的一點(diǎn)，如圖 2.(I)求證：A,F _ BE；(n)線段AB上是否存在點(diǎn)Q,使得FQ平面ADE?若存在，求出AQ的長(zhǎng)，若不存 在，請(qǐng)說明理由；(川)當(dāng)AQ =3A1B時(shí)，求直線GQ與平面AQE所成角的大小.418. (本小題滿分 13 分)2 2已知橢圓W:篤每=1 (a b 0)的上下頂點(diǎn)分別為A, B，且點(diǎn)B(0, -1).斤”a b分別為橢圓W的左、右焦點(diǎn)，且F1BF120.(I)求橢圓

8、W的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)點(diǎn)M是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN _ y軸于N,E為線段MN的中點(diǎn).直線AE與直線y - -1交于點(diǎn)C，G為線段BC的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).求-OEG的大小.19. (本小題滿分 14 分)已知函數(shù)f(x)二exx2-x，g(x) =x2ax b, a,b? R.(I)當(dāng)a = 1時(shí)，求函數(shù)F (x)二f (x) _g (x)的單調(diào)區(qū)間；中點(diǎn)，點(diǎn)F,G分別為線段CD, BE的中點(diǎn).將ADE沿DE7 / 12(n)若曲線y = f (x)在點(diǎn)(0,1)處的切線I與曲線y =g(x)切于點(diǎn)(1,c)，求a,b,c的值；(川)若f(x)丄g(x)恒成立，求a b的最大

9、值.20.(本小題滿分 13 分)各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列an同時(shí)滿足下列條件：耳=m (m N*):an乞n -1(n一2)；n是印a?Tla.的因數(shù)(n _1).(I)當(dāng)m =5時(shí)，寫出數(shù)列an的前五項(xiàng)；(n)若數(shù)列a*的前三項(xiàng)互不相等，且n_3時(shí)，a“為常數(shù)，求m的值；(川)求證：對(duì)任意正整數(shù)m，存在正整數(shù)M，使得n _M時(shí)，an為常數(shù).8 / 12北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)第二次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科測(cè)試答案（理工類）2017.5、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.題號(hào)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案BBACDCDC、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5

10、 分，共 30 分.題號(hào)(9)(10)(11)(12)(13)(14)答案y = /2x12匯（-1嚴(yán)2-44三、解答題:（15）（本小題滿分 13 分）解：(I)因?yàn)?sin B = 3sin A, 所以2b3a.(n)因?yàn)閍=2，所以b=c=,3.（16）（本小題滿分 13 分）解：(I)根據(jù)題意得：(0.005 2 a 0.020 2 0.040) 10 = 1.解得a =0.010 .3 分（n）設(shè)樣本中男生身高的平均值為x，則x=145 0.05 155 0.1 165 0.2 175 0.4 185 0.2 195 0.05所以2b3-所以cosB二a2c2-b22ac又因?yàn)閏os

11、B二所以sin B二所以SABCJ a c sin B2.3622313分9 / 12= (145 195) 0.05 155 0.1 (165 185) 0.2 175 0.4=17 15.5 70 70 =172.5.所以估計(jì)該市中學(xué)全體男生的平均身高為172.5 cm.由已知得，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.（川）從全市中學(xué)的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm以上的概率約為10 / 121327所以P(X“reft0(；)3：446411P(XP(XP(X64，964，164（17）（本小題滿分 14 分）解：(I)因?yàn)锳Q =DC, ADC =60,所以A,DC為等邊三角

12、形.又因?yàn)辄c(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn),由題可知ED所以ED_平面ADC.因?yàn)锳F平面A1DC，所以ED _A1F.又ED n DC二D，所以AF _平面BCDE.(n)由(I)知AF平面BCDE,FG _ DC，如圖隨機(jī)變量X的分布列為11 / 12n = (0,-、3,1),設(shè)直線GQ與平面ADE所成角為TGQ nc 3爲(wèi)衛(wèi)0-+44GQn2運(yùn)24則sin 二建立空間直角坐標(biāo)系，則F(0,0,0),D(0,-1,0),C(0,1,0),E(1,1,0),A(0,0，、.3),B(2,1,0)設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為n = (x, y,z),AD=(0,1,73),DE =(1,0,0),n A.

13、D = 0,1n DE =0.y、3z = 0,x = 0.令z=1，所以y=r3，所以n= (0, -一3,1).假設(shè)在線段A1B上存在點(diǎn)Q， 使FQ二平面A)DE. 設(shè)AQ二.AB,又ABH(2,1,_ .3)，所以AQ =(2, ,-、3 ). 0,11.所以Q(2 , , .3 - .3)則FQ =(2 , , 5- .3).n - - 3 .：*：；3 - 3 = 0.1解得，=2則在線段A|B上存在中點(diǎn)Q，使FQj平面A|DE.且AQ =： ：；210 分3(川)因?yàn)锳Q AB，又AB =(2,1,-3)，所以AQ=(二，二4二.3 33、3、,).2 44所以.又因?yàn)镚(3,0,

14、所以GQ =(0,學(xué)汙).因?yàn)?2 / 1212直線GQ與平面A1DE所成角為30.(18)(本小題滿分 13 分)解：(I )依題意，得b=1.又.=120,在Rt. BFQ中，F(xiàn)1BO =60，所以a = 2.2所以橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=1.4(n)設(shè)M(X0，y。)，X。，則N(0，y。)，E(Ty0)2因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓W上，所以型y。2=1.即x。2=4-4y。2.4又A(0,1)，所以直線AE的方程為y一1 =2(y。)x.XoXo令y - -1，得C(, _1)1y0Xo又B(0,-1),G為線段BC的中點(diǎn)，所以G(2T所以O(shè)E乜如,吐務(wù)討洽)X。zX。X。因?yàn)镺E GEJ)y0

15、(y01)2 2X。X。2。_y。y。44(1 - y。)- y。-1+ y。=0,r T所以O(shè)E _GEOEG二90.13 分(19)(本小題滿分 14 分)解：(I)F(x) =ex- 2x-b，則F (x)= ex- 2.令F (x) =ex-20,得x ln2，所以F(x)在(In 2：)上單調(diào)遞增.令F (x)二ex_2：0,得x l n2，所以F (x)在(：，ln 2)上單調(diào)遞減.4 分9 / 1214 / 12(n)因?yàn)閒 (x)二ex 2x -1，所以f (0 0，所以I的方程為y = 1. 依題意，_a=1,c=1.2于是I與拋物線g(x)二x22x b切于點(diǎn)(1,1),2

16、由1 -21得b=2.所以a - -2,b = 2,c =1.8 分(川)設(shè)h(x) = f (x) -g(x) =ex_ (a 1)x - b,則h(x) _ 0恒成立.易得h(x)二ex(a 1).(1) 當(dāng)a 0時(shí)，因?yàn)閔 (x)0，所以此時(shí)h(x)在(_：,：)上單調(diào)遞增.1若a 0，則當(dāng)bO時(shí)滿足條件，此時(shí)a -1；1 _b2若a：0,取X。：0且x0：，a +11 b此時(shí)h(x。)re -(a 1)X0-b：1 -(a1)-b=0,所以h(x)一0不恒成立.a +1不滿足條件；(2) 當(dāng)a 10時(shí)，令h (x) = 0，得x = In(a 1).由h (x) 0,得x ln(a 1

17、);由h (x) : 0，得x : In(a 1).所以h(x)在(一匚打n(a，1)上單調(diào)遞減，在(In(aT), ：)上單調(diào)遞增.要使得h(x)二ex(a 1)xb _0恒成立”，必須有“當(dāng)x = In(a 1)時(shí)，h(x)min=(a 1)-(a 1)In(a 1)-b_0”成立.所以b _(a 1)-(a 1)In( a 1).則a b _ 2(a 1)-(a 1)In(a 1)-1.令G(x) =2x-xInx-1,x0,則G (x)=1-In x.令G (x) =0，得x二e.由G (x)0,得0：x：e；由G (x): 0，得x e.所以G(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,

18、：)上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)X = e時(shí)，G(x)max= e 1.從而，當(dāng)a=e-1,b=0時(shí)，a b的最大值為e-1.綜上，a b的最大值為e-1.14 分15 / 12（20）（本小題滿分 13 分）解：（I） 5, 1, 0, 2, 2.3 分（n）因?yàn)?乞a.乞n -1，所以0乞a?乞1,0豈直豈2,又?jǐn)?shù)列an的前 3 項(xiàng)互不相等，（1 ）當(dāng)a2=0 時(shí)，右 1，貝 H= | | （ 1，且對(duì)n_3,m 0（n一2）=匚21都為整數(shù)，所以m=2；nn右a32，則比=a4=a5= I I I -2,且對(duì)n _3,m 0 2(n-2)=. 2都為整數(shù)，所以m = 4；nn(2)當(dāng)a2=1時(shí)，若 直=0,貝 U直=a4=氏 =丨|= 0,且對(duì)n _3,m_10 (n_二_1都為整數(shù),nn所以m = -1，不符合題意；若a3 -2，貝 U 氏=a4 = a5 = | H - 2,且對(duì)n _3,m2（n一2）二歸32都為整數(shù)，所以m = 3；nn綜上，m的值為2,3,4. 8 分（川）對(duì)于n一1,令Sn a2川an,貝廿Sn十 工_Sn+ _Sn *an十 三Sn *n_S