哈爾濱工程大學(xué)試卷2009級(jí)《高等數(shù)學(xué)下》期末試題

1、班級(jí)：學(xué)號(hào)：姓名：裝訂線第 1 頁(yè)共 12 頁(yè)第 2 頁(yè)共 12 頁(yè)得分評(píng)卷人填空題（每小題 3分，共15分） 一、1. 已 知 方 程zezyx確 定 了二 元 函數(shù)( ,)zz x y， 則 此 函 數(shù)的 全 微 分dz。2. 函 數(shù)22( , )f x yxy 在 點(diǎn)(1,2)a處沿 點(diǎn) a 到 點(diǎn)(2, 23)b的 方 向 導(dǎo) 數(shù)為。3. 設(shè)l為 單 位 圓 周122yx， 則 曲 線 積 分2()lxyxds的 值為。4. 冪級(jí)數(shù)1( 1)21nnnnx 的收斂半徑r。5. 微分方程(1)yxyx的通解是y。得分評(píng)卷人單項(xiàng)選擇題（每小題 3分，共15分） 二、1. 函數(shù)22),(yx

2、yxf在點(diǎn)(0, 0)處。(a) 不連續(xù)(b) 可微(c) 連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在(d) 不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在2. 已知曲面224yxz上點(diǎn) p 處的切平面平行于平面221xyz，則點(diǎn)p 的坐標(biāo)為。(a) 1159(,)42 16(b) 11 59(,)42 16(c) 111(,1,)24(d) 111(,1,)243. 若級(jí)數(shù)1nna收斂，則下列級(jí)數(shù)必收斂的是。(a)1nna(b)1( 1)nnna(c)11nnna a(d)1132nnnaa4. 設(shè)函數(shù)321,yyy是二階非齊次線性微分方程)()()(xfyxqyxpy的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則此方程的通解為。(a) 32211yycyc(b)

3、3322211)(yccycyc(c) 3212211)1 (yccycyc(d) 3212211)1(yccycyc5. 如圖，正方形( , )1,1x yxy被其對(duì)角線劃分為四個(gè)區(qū)域(1,2, 3,4)kdk，coskkdiyxdxdy，則14maxkki。(a) 1i(b) 2i(c) 3i(d) 4i哈爾濱工程大學(xué)試卷考試科目: 高等數(shù)學(xué) a（二）（a 卷）2009年 7 月 24 日題號(hào)一二三四五六總分分?jǐn)?shù)登分人y -1 -1 1 1 x d1 d4d2 od3裝訂線第 3 頁(yè)共 12 頁(yè)第 4 頁(yè)共 12 頁(yè)得分評(píng)卷人計(jì)算題（每小題 8分，共32分）三、1. 設(shè)函數(shù)(,)xzf x

4、yy，其中 f 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算2zx y。2. 計(jì)算曲面積分dszyx)(222，其中是曲面22yxz與平面1z所圍成的立體全表面。3. 計(jì)算 曲 線 積 分22(2 )()lxy dxxydy， 其 中l(wèi)為22xxy上 由 點(diǎn)(0,0)a到點(diǎn)(2,0)b的一段弧。4.計(jì)算曲面積分222()()()xyz dydzyzx dzdxzxy dxdy，其中是曲面22(01)zxyz部分的下側(cè)。班級(jí)：學(xué)號(hào)：姓名：裝訂線第 5 頁(yè)共 12 頁(yè)第 6 頁(yè)共 12 頁(yè)得分評(píng)卷人計(jì)算題（共 26分） 四、1. (8 分) 將函數(shù)22xfxxx展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂域。2. (8 分)

5、將函數(shù)( )(0)f xxx展開(kāi)為周期為2的正弦級(jí)數(shù)。3. (10 分) (1) 驗(yàn)證函數(shù)36313!6!(3 )!nxxxyn滿足微分方程xyyye ；(2) 求微分方程xyyye 的通解；(3) 利用(1)和(2)的結(jié)果，求冪級(jí)數(shù)30(3 )!nnxn的和函數(shù)。裝訂線第 7 頁(yè)共 12 頁(yè)第 8 頁(yè)共 12 頁(yè)得分評(píng)卷人應(yīng)用題（ 8分）五、已知曲面zzyx2222所圍成的物體內(nèi)任意一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比（比例系數(shù)為k） ，求此物體的重心坐標(biāo)。得分評(píng)卷人證明題(4分) 六、已知函數(shù)( )f x在0,1上連續(xù)，并設(shè)10( )f x dxa，證明：2110( )( )2xadxf x

6、 fy dy班級(jí)：學(xué)號(hào)：姓名：裝訂線第 9 頁(yè)共 12 頁(yè)第 10 頁(yè)共 12 頁(yè)高等數(shù)學(xué)a（二） a 卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（2009.7.24）一、填空題（每小題3 分，共 15 分）1. 1zdxdye；2. 12 3 ；3. ；4. 2 ；5. xcxe（c 為任意常數(shù)）二、單項(xiàng)選擇題（每小題3 分，共 15 分）1. c； 2. b； 3. d； 4. d； 5. a 三、計(jì)算題（每小題8 分，共 32 分）1. 解答：121zffxy 4 分211122122221( 1)()( 1)()zxxffffx yyyy221()fy11221223221xxyffffyyy 8 分2 解

7、答：dszyx)(2221222212222222)()1(yxyxdxdyyxyxdxdyyx 5 分22221(221)()3(2)2xyxydxdy 7 分 8 分3. 解答：補(bǔ)線 ba：0,yx從2變到0。22(2 )()lxy dxxydy22(2 )(sin)lbaxy dxxy dy22(2 )(sin)abxy dxxy dy 2 分220( 12)ddxdyx dx 7 分1823 8 分4. 解答：補(bǔ)面0：221,1zxy，方向取上側(cè)，222()()()xyz dydzyzx dzdxzxy dxdy0222()()()xyz dydzyzx dzdxzxy dxdy022

8、2()()()xyz dydzyzx dzdxzxy dxdy 1 分0(222 )(1)xyz dxdydzxy dxdy 4 分20 xydzdxdydzdxdy22110020rdrdrzdz 6 分1402(1)rrdr233 8 分四、計(jì)算題（共26分）1.（8 分）解答：11( )3 12xf xxx113 12(1)2xxx 2 分22321(1)(1)3222xxxxxx11011( 1)32nnnnx 6 分收斂區(qū)間為：1x，當(dāng)1x時(shí)級(jí)數(shù)均發(fā)散，故收斂域?yàn)?1x。 8 分2.（8 分）解答：將( )f x進(jìn)行奇延拓，02sinnbxnxdx000222coscoscosxdn

9、xxnxnxdxnnn122(cos0)0( 1)nnnn 4 分因此：112( )( 1)sin(0)nnf xnxxn在x處，級(jí)數(shù)收斂于0。 8 分裝訂線第 11 頁(yè)共 12 頁(yè)第 12 頁(yè)共 12 頁(yè)3.（10 分）解答：（1）2583136933!6!9!(3 )!nxxxnxyn258312!5!8!(31)!nxxxxn4732258(31)2!5!8!(31)!nxxxnxyn47324!7!(32)!nxxxxnyyy4732()4!7!(32)!nxxxxn25831()2!5!8!(31)!nxxxxn363(1)3!6!(3 )!nxxxn0!nxnxen 2 分（2）齊

10、次微分方程的特征方程為210rr，解得132ir因此齊次微分方程的通解為21233cossin22xyecxcx設(shè)非齊次微分方程的特解為xyae ，代回原方程得：xxxxaeaeaee，即13a。故非齊次微分方程的通解為21233cossin22xyecxcx13xe 7 分（3）由（ 1） 、 （2）知冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)即為微分方程的解，又有（1）可知冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿足初始條件(0)1y，(0)0y，代入（ 2）可得：122,03cc故冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為223cos32xyex13xe(,)x 10 分五、應(yīng)用題（共8 分）解答：由對(duì)稱性知0yx， 2 分222222222222kz xyz dvz xyz dvzkxyz dvxyz dv 4 分其中，222z xyz dv22cos42000cossinddrdr62032642cossin535d6 分222xyz dv22cos32000sinddrdr420824cossin5d所以87z，即重心坐標(biāo)為8(0, 0,)7。 8 分六、證明題（共4 分）證明：設(shè)110( ) ( )xidxf x fy dy（1）交換積分次序得：100( )( )yidyf x f y dx將積分變量,x y換