彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的建模與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1、分?jǐn)?shù): _任課教師簽字： _ 華北電力大學(xué)研究生結(jié)課作業(yè)學(xué) 年 學(xué) 期：第一學(xué)年第一學(xué)期課 程 名 稱：線性系統(tǒng)理論學(xué) 生 姓 名：學(xué)號(hào)：提 交 時(shí) 間： 2014.11.27華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告2 目錄目錄. 2 1 研究背景及意義 . 3 2 彈簧-質(zhì)量 -阻尼模型 . 3 2.1 系統(tǒng)的建立 . 4 2.1.1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計(jì)算 . 5 2.2 系統(tǒng)的能控能觀性分析 . 7 2.2.1 系統(tǒng)能控性分析 . 8 2.2.2 系統(tǒng)能觀性分析 . 9 2.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 . 10 2.3.1 反饋控制理論中的穩(wěn)定性分析方法. 10 2.3.2 利用 matlab 分

2、析系統(tǒng)穩(wěn)定性 . 10 2.3.3 simulink 仿真結(jié)果 . 12 2.4 系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 . 15 2.4.1 狀態(tài)反饋法 . 15 2.4.2 輸出反饋法 . 16 2.4.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置 . 16 2.5 系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器 . 18 2.6 利用離散的方法研究系統(tǒng)的特性. 20 2.6.1 離散化定義和方法 . 20 2.6.2 零階保持器 . 22 2.6.3 一階保持器 . 24 2.6.4 雙線性變換法 . 26 3.總結(jié). 28 4.參考文獻(xiàn) . 28 華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告3 彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的建模與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)1 研究背景及意義彈簧、阻尼器、質(zhì)量

3、塊是組成機(jī)械系統(tǒng)的理想元件。由它們組成的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是最常見的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，在生活中具有相當(dāng)廣泛的用途，緩沖器就是其中的一種。 緩沖裝置是吸收和耗散過程產(chǎn)生能量的主要部件，其吸收耗散能量的能力大小直接關(guān)系到系統(tǒng)的安全與穩(wěn)定。緩沖器在生活中處處可見， 例如我們的汽車減震裝置和用來消耗碰撞能量的緩沖器，其緩沖系統(tǒng)的性能直接影響著汽車的穩(wěn)定與駕駛員安全； 另外，天宮一號(hào)在太空實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接時(shí)緩沖系統(tǒng)的穩(wěn)定與否直接影響著交會(huì)對(duì)接的成功。因此，對(duì)彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的研究有著非常深的現(xiàn)實(shí)意義。2 彈簧 -質(zhì)量 -阻尼模型數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、 參數(shù)與動(dòng)態(tài)特性之間關(guān)系的

4、數(shù)學(xué)表達(dá)式。其中，微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型，不論是機(jī)械的、液壓的、電氣的或熱力學(xué)的系統(tǒng)等都可以用微分方程來描述。微分方程的解就是系統(tǒng)在輸入作用下的輸出響應(yīng)。 所以，建立數(shù)學(xué)模型是研究系統(tǒng)、 預(yù)測其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的前提 。通常情況下，列寫機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程都是應(yīng)用力學(xué)中的牛頓定律、質(zhì)量守恒定律等。彈簧-質(zhì)量- 阻尼系統(tǒng)是最常見的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)。機(jī)械系統(tǒng)如圖2.1 所示，圖 2-1 彈簧 - 質(zhì)量 - 阻尼系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)簡圖其中錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。 表示小車的質(zhì)量， 錯(cuò)誤！華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告4 未找到引用源。 表示緩沖器的粘滯摩擦系數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。 表

5、示彈簧的彈性系數(shù)， 錯(cuò)誤！未找到引用源。 表示小車所受的外力，是系統(tǒng)的輸入即錯(cuò)誤！未找到引用源。 ,錯(cuò)誤！未找到引用源。表示小車的位移，是系統(tǒng)的輸出，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，i=1,2。設(shè)緩沖器的摩擦力與活塞的速度成正比，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。 。2.1 系統(tǒng)的建立由圖 2.1 ，根據(jù)牛頓第二定律，分別分析兩個(gè)小車的受力情況，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如下：對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。 有： 錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。 有： 錯(cuò)誤！未找到引用源。聯(lián)立得到：對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用

6、源。 ：錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。 ：錯(cuò)誤！未找到引用源。令錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ; 錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。得出狀態(tài)空間表達(dá)式：所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為：錯(cuò)誤！未找到引用源。 +錯(cuò)誤！未找到引用源。由此可以得出華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告5 已知：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，錯(cuò)誤！未找到引用源。代入數(shù)據(jù)得：2.1.1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計(jì)算在 mat

7、lab 中，函數(shù) ss2tf給出了狀態(tài)空間模型所描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其一般形式是 num,den=ss2tf(a,b,c,d,iu)，其中 iu 是輸入值。用 matlab 將狀態(tài)空間表達(dá)式表示為傳遞函數(shù)：在輸入 1 單獨(dú)作用的情況下a=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0 0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; 華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告6 d=0 0;0 0; num,den=ss2tf(a,b,c,d,1) 運(yùn)行程序，得到：num = 0 -0.0000 1.0000 4.50

8、00 200.0000 0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000 den = 1.0e+004 * 0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000 在輸入 2 單獨(dú)作用的情況下：a=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0 0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; d=0 0;0 0; num,den=ss2tf(a,b,c,d,2) 運(yùn)行程序，得到：num = 0 -0.0000 -0.0000 3.0000 150.0000 0 -0.0000 0.5

9、000 4.5000 200.0000 den = 1.0e+004 * 華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告7 0.0001 0.0014 0.0623 0.1800 3.5000 由此可知：位移錯(cuò)誤！未找到引用源。 對(duì)外力 錯(cuò)誤！未找到引用源。 的傳遞函數(shù)是：位移錯(cuò)誤！未找到引用源。 對(duì)外力 錯(cuò)誤！未找到引用源。 的傳遞函數(shù)是：位移錯(cuò)誤！未找到引用源。 對(duì)外力 錯(cuò)誤！未找到引用源。 的傳遞函數(shù)是：位移錯(cuò)誤！未找到引用源。 對(duì)外力 錯(cuò)誤！未找到引用源。 的傳遞函數(shù)是：2.2 系統(tǒng)的能控能觀性分析在反饋控制理論中只討論輸入量對(duì)輸出量的控制。而這兩個(gè)量的關(guān)系唯一地由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所確定。一個(gè)

10、穩(wěn)定的系統(tǒng)，一定能控。同時(shí)，系統(tǒng)的輸出量本身就是我們想要控制的量， 對(duì)于一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)來說， 輸出量當(dāng)然是可以被觀測到的，因此在反饋控制理論中沒有必要設(shè)立能控和能觀這兩個(gè)概念。然而在現(xiàn)代控制理論中， 能控和能觀是兩個(gè)重要的基本概念。我們把反映系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的狀態(tài)向量作為被控量，而且它們不一定是實(shí)際上可觀測到的物理量，至于輸出量則是狀態(tài)向量的線性組合，這就產(chǎn)生了從輸入量到狀態(tài)量的能控性問題和從輸出量到狀態(tài)量的能觀測性問題。在現(xiàn)代控制中， 分析和設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)， 必須研究這個(gè)系統(tǒng)的能控性和能觀性。狀態(tài)方程描述了輸入錯(cuò)誤！未找到引用源。(t)引起狀態(tài) x（t）的變化過程；輸出方程則描述了由狀態(tài)變

11、化引起的輸出y（t）的變化。能控性和能觀性正是分別分析 錯(cuò)誤！未找到引用源。 (t)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)狀態(tài) x（t）的控制能力以及 y（t）對(duì) x（t）的反應(yīng)能力。華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告8 2.2.1 系統(tǒng)能控性分析設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中 a nn 矩陣bnr 矩陣cmn 矩陣d mr 矩陣系統(tǒng)能控的充分必要條件為：能控判別陣錯(cuò)誤！未找到引用源。的秩 r(錯(cuò)誤！未找到引用源。 )=n，用 matlab 計(jì)算能控矩陣的秩，從而對(duì)該系統(tǒng)的能控性進(jìn)行判別，程序?yàn)椋篴=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0

12、0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; d=0 0;0 0; qc=ctrb(a,b) r1=rank(qc) 運(yùn)行程序，得到：r1 = 4 等于矩陣行數(shù)，由此可以判斷，系統(tǒng)是完全能控的。2.2.2 系統(tǒng)能觀性分析設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：錯(cuò)誤！未找到引用源。華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告9 式中 a nn 矩陣bnr 矩陣cmn 矩陣d mr 矩陣能觀的充分必要條件為：能觀判別陣錯(cuò)誤！未找到引用源。 的秩 r(錯(cuò)誤！未找到引用源。 )=n，下面，用 matlab 計(jì)算能控矩陣的秩，從而對(duì)該系統(tǒng)的能控性進(jìn)行判斷：a=0 0 1 0;0 0 0 1;

13、-400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0 0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; d=0 0;0 0; qo=obsv(a,c) r2=rank(qo) 運(yùn)行程序，得到：r2 = 4 滿秩，因此可以判斷，該系統(tǒng)是完全能觀的。綜上所述，這是一個(gè)既能控又能觀的系統(tǒng)。2.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析2.3.1 反饋控制理論中的穩(wěn)定性分析方法穩(wěn)定性是一個(gè)系統(tǒng)可以被采用的最基本的條件，是系統(tǒng)的固有屬性。穩(wěn)定系統(tǒng)的定義如下： 設(shè)控制系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)，在外力的作用下，它離開了平衡狀態(tài)， 當(dāng)外作用消失后， 如果經(jīng)過足夠長的時(shí)間它能夠恢復(fù)到起始的平衡

14、狀態(tài)， 則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)，否則稱為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。 由穩(wěn)定性的定義可見， 穩(wěn)定性是系統(tǒng)去掉外力作用后自身的一種恢復(fù)能力，所以是系統(tǒng)的一種固有特性。 對(duì)于線性定常系統(tǒng)， 它取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件和外界作用無關(guān)。華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告10 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有特征根為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)， 即所有特征根位于復(fù)平面的左半平面。只要有一個(gè)閉環(huán)特征根分布在右半平面上，系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；如果沒有右半平面的根，但有純虛根， 則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的； 在工程上， 處于不穩(wěn)定和臨界穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)是不能采用的1。在古典控制系統(tǒng)

15、中， 我們判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性經(jīng)常用勞斯-赫爾維茨代數(shù)判據(jù)、時(shí)域分析法、根軌跡法、頻域分析法等方法，但那只針對(duì)低階系統(tǒng)。實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中，經(jīng)常會(huì)遇見一些特別復(fù)雜的系統(tǒng)。這時(shí)古典控制理論中的方法就有點(diǎn)捉襟見肘了。1892 年俄國學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般性理論，它采用了狀態(tài)向量描述，不僅適用于單變量、線性、定常的系統(tǒng)，而且適用于多變量， 非線性、時(shí)變的系統(tǒng)。 李雅普諾夫理論在建立一系列關(guān)于穩(wěn)定性概念的基礎(chǔ)上， 提出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種方法：一種方法是利用線性系統(tǒng)微分方程的解來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性， 稱為李雅普諾夫第一法或間接法；另一種方法是首先利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來構(gòu)造李雅普諾夫函

16、數(shù)，進(jìn)而利用李雅普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，稱為李雅普諾夫第二法或直接法。2.3.2 利用 matlab 分析系統(tǒng)穩(wěn)定性隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，在現(xiàn)代控制理論中，我們經(jīng)常采用matlab 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 對(duì)于線性定常系統(tǒng)， 典型的系統(tǒng)輸入信號(hào)類型有脈沖、階躍、斜坡、加速度、正弦信號(hào)。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性是對(duì)任何輸入信號(hào)而言，即若一個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則其在任何輸入信號(hào)情況下對(duì)應(yīng)的輸出曲線是收斂的。然而，階躍信號(hào)包含了另外幾種常見輸入信號(hào)的特性， 所以我們常通過觀察系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線判斷判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 若系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是收斂的， 則系統(tǒng)一般是收斂的；否則，是發(fā)散的。在 matlab 中輸入相

17、應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式矩陣來求取系統(tǒng)的特征值：a=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0 0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; d=0 0;0 0; eig(a) 華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告11 運(yùn)行程序，得到：ans = -5.7735 +22.3859i -5.7735 -22.3859i -0.9765 + 8.0332i -0.9765 - 8.0332i 由此可以知道，經(jīng)計(jì)算得出a 陣的所有特征根均在復(fù)平面的左半平面，因此得出該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。給系統(tǒng)加起階躍信號(hào)：a=0 0

18、1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0 0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; d=0 0;0 0; step(a,b,c,d) 結(jié)果如下00.0020.0040.0060.0080.01from: in(1)to:out(1)024600.0020.0040.0060.0080.01to:out(2)from: in(2)0246step responsetime (sec)amplitude華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告12 圖 2-2 階躍響應(yīng)曲線由圖可以看出， 在階躍響應(yīng)下， 系統(tǒng)在一定時(shí)

19、間內(nèi)收斂于某一固定值，因此可以判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 但同時(shí)我們也可以看出， 系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間比較長， 如果想要減少調(diào)節(jié)時(shí)間， 那么需要重新配置極點(diǎn)， 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)。 下面的章節(jié)將對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)的配置。2.3.3 simulink 仿真結(jié)果根據(jù)上述原理，用matlab 中的 simulink 組件進(jìn)行仿真。根據(jù)狀態(tài)空間表達(dá)式，搭建系統(tǒng)模型如下圖所示：我們分別對(duì)只有輸入1 作用下和只有輸入2 作用下的系統(tǒng)使用simulink 進(jìn)行仿真，讓其與 matlab 圖像進(jìn)行對(duì)比圖 2-3 simulink 模型圖（1）僅有 錯(cuò)誤！未找到引用源。 作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出如下圖所示華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)

20、課報(bào)告13 圖 2-4 u1 作用時(shí)響應(yīng)曲線圖中，綠色為輸出 1 的曲線，藍(lán)色為輸出2 的曲線。經(jīng)分析：此曲線與對(duì)應(yīng)matlab 曲線一致，系統(tǒng)穩(wěn)定，但是超調(diào)量較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長。（2）僅有 錯(cuò)誤！未找到引用源。 作用，系統(tǒng)的輸入如下所示：圖 2-5 u2 作用時(shí)響應(yīng)曲線圖中，綠色為輸出 1 的曲線，藍(lán)色為輸出2 的曲線。經(jīng)分析：同樣，此曲線與對(duì)應(yīng)的 matlab 曲線一致，系統(tǒng)穩(wěn)定，但是超調(diào)量較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長。華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告14 在錯(cuò)誤！未找到引用源。 共同作用下，系統(tǒng)的輸出如下圖所示：圖 2-6 u1、u2 同時(shí)作用時(shí)響應(yīng)曲線圖中綠色為輸出 1 的曲線，藍(lán)色為輸

21、出 2 的曲線。經(jīng)分析：此曲線與 matlab曲線一致，系統(tǒng)穩(wěn)定，但是超調(diào)量較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長。需要進(jìn)行極點(diǎn)配置，使系統(tǒng)得到更好的性能。2.4 系統(tǒng)的極點(diǎn)配置控制系統(tǒng)的性能主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)在根平面上的分布。因此，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，通常是根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的品質(zhì)要求，規(guī)定閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)有的分布情況。所謂的極點(diǎn)配置就是，就是通過選擇反饋矩陣k,將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。2.4.1 狀態(tài)反饋法極點(diǎn)問題首先解決是否能通過狀態(tài)反饋來實(shí)現(xiàn)給定的極點(diǎn)配置，即在什么條件下才有可能按照規(guī)定的要求來配置極點(diǎn)。其次是，這樣的反饋陣k如何確定的問題。華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課

22、報(bào)告15 圖 2-7 狀態(tài)反饋示意圖（1）采用狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)極點(diǎn)條件：系統(tǒng)),(cba采用狀態(tài)反饋， 任意配置其閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的充要條件為：系統(tǒng)),(cba完全能控。 若系統(tǒng)不是完全能控的， 就必須按能控性分解， 只能任意配置可控的極點(diǎn)。（2）極點(diǎn)配置的方法：若原系統(tǒng)),(ba可控，則采用狀態(tài)反饋陣k，有bbka,可控。設(shè)原系統(tǒng)的特征方程為00111asasasnnn。其中110,nkkkk，則有：nnkakakabka1100000010，100b配置后的閉環(huán)特征方程為：0)()()(0011111kaskaskasnnnn；假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)希望的極點(diǎn)為n,21，得到：011121)(rsrsr

23、ssssfnnnn。為使系統(tǒng)達(dá)到希望性能，對(duì)比式（1）和式（2）中系數(shù)，使之相等，即可求得狀態(tài)反饋陣110,nkkkk。采用狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)極點(diǎn)不改變系統(tǒng)可控性，它不能影響系統(tǒng)中不可控部分模塊。華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告16 2.4.2 輸出反饋法圖 2-8 輸出反饋示意圖對(duì)于完全能控的單變量系統(tǒng)， 不能采用輸出線性反饋來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)任意配置。不能任意配置極點(diǎn)， 正是輸出線性反饋的基本弱點(diǎn)。 為了克服這個(gè)弱點(diǎn)，在經(jīng)典控制理論中， 往往采取引入附加校正網(wǎng)絡(luò)， 通過增加開環(huán)零極點(diǎn)的方法改變根軌跡走向，從而使其落在指定的期望位置上。對(duì)于完全能控的單變量系統(tǒng)),(cba， 通過帶動(dòng)態(tài)

24、補(bǔ)償器的輸出反饋時(shí)限極點(diǎn)任意配置的充要條件是：1. 系統(tǒng)完全能觀測； 2. 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n-1。2.4.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置在現(xiàn)代控制理論中是用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)來描述系統(tǒng)的，所以經(jīng)常從系統(tǒng)的狀態(tài)引出信號(hào)作為反饋量。 利用狀態(tài)反饋只能改變系統(tǒng)能控部分的極點(diǎn)，而不能改變不能控部分的極點(diǎn)， 因此利用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置的充分必要條件是系統(tǒng)必須是完全能控的。對(duì)一個(gè)可控系統(tǒng)， 在采用狀態(tài)反饋后， 可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置，即通過狀態(tài)反饋的方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于任意期望的位置上。對(duì)于其中 x 是狀態(tài)變量（ n 維） ，u 是控制信號(hào)，這里選取控制信號(hào)為錯(cuò)誤！未找到引用源。因此， 錯(cuò)誤！未找到引用源。

25、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性由矩陣錯(cuò)誤！未找到引用源。 的特征決定雖然理論上系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)離s 左半平面越遠(yuǎn)越好，但是在工業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐中，系統(tǒng)極點(diǎn)離左半平面越遠(yuǎn)， 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就變化的越快，這就要求執(zhí)行機(jī)構(gòu)快速運(yùn)作， 即使再好的執(zhí)行元件也會(huì)短時(shí)間內(nèi)被損壞掉。所以新的極點(diǎn)的絕對(duì)值大約是原系統(tǒng)極點(diǎn)絕對(duì)值的3 至 4 倍左右。取 p1= -15+40i；p2= -15-40i；p3= -3+10i；p4= -3-10i；華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告17 利用 matlab 進(jìn)行極點(diǎn)配置，希望可以減小超調(diào)量，縮短穩(wěn)定時(shí)間以優(yōu)化系統(tǒng)。matlab 程序如下：a=0 0 1 0;0 0 0 1

26、; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0 0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; d=0 0;0 0; p=-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i; k=place(a,b,p) step(a-b*k,b,c,d) 運(yùn)行程序，得到：k = -234.6522 131.8512 14.4561 6.3957 643.3762 -89.9765 6.7658 36.0878 00.511.522.53x 10-3from: in(1)to:out(1)00.511.52-1.5-1-0.500.511.52x 10

27、-3to:out(2)from: in(2)00.511.52step responsetime (sec)amplitude圖 2-9 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線由響應(yīng)曲線可以看出該系統(tǒng)重新配置極點(diǎn)后，具有較快的調(diào)節(jié)時(shí)間， 而且也華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告18 減少了超調(diào)量，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。2.5 系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器圖 2-10 狀態(tài)觀測器示意圖通過狀態(tài)觀測器可以任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)，從而使閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。 但在工業(yè)生產(chǎn)中， 系統(tǒng)的狀態(tài)變量并非都是物理量，或者是難以測得的量。這樣一來，系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量未必都可以直接測量得到，因此，狀態(tài)反饋這種控制方式在許多實(shí)際

28、控制問題中往往難以直接應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)。狀態(tài)觀測器就是利用系統(tǒng)的外部輸入輸出信息來確定系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)，進(jìn)而，在系統(tǒng)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋中， 用觀測器得到的狀態(tài)估計(jì)值代替系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)。下圖為狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖：圖 2-11 狀態(tài)觀測器示意圖使用 matlab 為本系統(tǒng)設(shè)置狀態(tài)觀測器，選用極點(diǎn)配置時(shí)的極點(diǎn)，程序如下圖所示：a=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0 0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; d=0 0;0 0; 華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告19 p=-15+40i,-15-40i,-

29、3+10i,-3-10i; k1=place(a,b,p) a1=a-b*k1 l1=(place(a,c,p) a2=a-l1*c l2=(place(a1,c,p) a3=a1-l2*c sys2=ss(a2,b,c,d) sys2=ss(a3,b,c,d) 運(yùn)行上面程序，得到：l1 = 7.0833 30.0895 -30.5796 15.4167 -41.6552 -96.5401 168.1877 200.0790 a2 = -7.0833 -30.0895 1.0000 0 30.5796 -15.4167 0 1.0000 -358.3448 396.5401 -9.0000 6

30、.0000 -18.1877 -400.0790 3.0000 -4.5000 l2 = 3.7432 -7.1200 -21.4563 -3.7432 190.9894 93.5822 115.5037 -24.2083 a3 = 華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告20 -3.7432 7.1200 1.0000 0 21.4563 3.7432 0 1.0000 -655.5795 -119.9176 -18.2856 30.9515 -81.9216 -402.0612 -29.0527 -17.7144 其中 l1 代表沒進(jìn)行狀態(tài)反饋時(shí)的狀態(tài)觀測反饋矩陣，l2 代表進(jìn)行了狀態(tài)反饋

31、的狀態(tài)觀測矩陣。2.6 利用離散的方法研究系統(tǒng)的特性2.6.1 離散化定義和方法利用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)求數(shù)值解是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究中常用的一種方法， 它不但方便， 而且精確。 由于實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中線性定常連續(xù)系統(tǒng)被控對(duì)象需要在線控制等， 必須將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程，即將矩陣微分方程化成矩陣差分方程，這就是連續(xù)系統(tǒng)的離散化。根據(jù)離散系統(tǒng)的構(gòu)成設(shè)備不同可以將離散系統(tǒng)分為采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)：a.采樣控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)的構(gòu)成中選擇了采樣開關(guān)（或者含有開關(guān)特性的設(shè)備） 。b.數(shù)字控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)的控制器選擇了專用數(shù)字計(jì)算機(jī)。通常，把系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式

32、的離散系統(tǒng)，稱為采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)； 而把數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)， 稱為數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。采樣控制系統(tǒng)：采樣控制系統(tǒng)是對(duì)來自傳感器的連續(xù)信息在某些規(guī)定上的時(shí)間瞬時(shí)值上取值。例如，控制器系統(tǒng)中的誤差信號(hào)可以是斷續(xù)連續(xù)的脈沖信號(hào)，而相鄰兩個(gè)脈沖之間的誤差信息，系統(tǒng)并沒有收到。 如果在有規(guī)律的間隔上， 系統(tǒng)取得了離散信息， 則這種采樣稱為周期采樣； 反之，如果信息之間的間隔是時(shí)變的，或隨機(jī)的，則稱為非周期采樣，或隨機(jī)采樣。在采樣控制系統(tǒng)中， 把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程稱為采樣過程，簡稱采樣。實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器， 或采樣開關(guān)。 用t表示采樣周期， 單位為s；錯(cuò)誤！未找到引

33、用源。，表示采樣頻率，單位為 錯(cuò)誤！未找到引用源。；錯(cuò)誤！未找到引用源。 表示采樣角頻率，單位為錯(cuò)誤！未找到引用源。 。在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過程稱為信號(hào)復(fù)現(xiàn)過程。實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告21 稱為保持器。采樣周期的選擇滿足香農(nóng)采樣定理。采樣周期太大會(huì)使信號(hào)失真， 采樣周期太小則容易造成計(jì)算過程的累積偏差或失去采樣系統(tǒng)的特性。香農(nóng)采樣定理是在設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時(shí)必須要遵循的準(zhǔn)則， 它給出了自采樣的離散信號(hào)不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)所必需的理論上的最低采樣頻率。采樣頻率應(yīng)該滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。即是采樣角頻率 錯(cuò)誤！未找到引用源。 ，應(yīng)使其對(duì)連續(xù)信

34、號(hào)中的最高頻率分量，在一個(gè)周期內(nèi)被采樣2 次以上（上半周與下半周都至少采樣一次），則采樣后的脈沖序列中將包含了連續(xù)信號(hào)的全部信息。但是，在仿真中所遇到的大多數(shù)被再現(xiàn)信號(hào)是沒有頻帶限的， 所以一般取采樣頻率再現(xiàn)信號(hào)主要頻帶中的最高頻率的 510倍。在離散控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中，采樣周期的確定依據(jù)的是現(xiàn)場檢測的被調(diào)量信號(hào)的頻率， 對(duì)于頻率較高的信號(hào)， 采樣周期的設(shè)定就小， 而對(duì)于變化過程較慢的低頻信號(hào)， 采樣周期的設(shè)定可以大一些。 有關(guān)概念在工程上的實(shí)際應(yīng)用會(huì)有專門的內(nèi)容介紹。線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化的實(shí)質(zhì)是將矩陣微分方程化為矩陣差分方程，它是描述多輸入多輸出離散系統(tǒng)的一種方便的數(shù)學(xué)模型。在推導(dǎo)離

35、散化系統(tǒng)的方程時(shí)， 假定系統(tǒng)是周期性采樣， 并且采樣脈沖寬度遠(yuǎn)小于采樣周期，采樣周期t 的選擇滿足香農(nóng)采樣定理，還假設(shè)系統(tǒng)具有零階保持特性，即在兩個(gè)采樣瞬間之間，采樣值不變，并等于前一個(gè)采樣時(shí)刻的值。通常離散化的方法有很多，例如歐拉法，梯形法，龍哥-庫塔（runge-kutta）法，阿達(dá)姆斯（ adams）法等等。下面主要運(yùn)用三種方法來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散化并運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬系統(tǒng)的特性，分析不同采樣周期對(duì)系統(tǒng)的影響效果。2.6.2 零階保持器零階保持器可以將脈沖序列變成連續(xù)的方波信號(hào)，即將前一個(gè)采樣周期的數(shù)值保留到下一個(gè)采樣點(diǎn)到來的時(shí)候。在matlab 中輸入函數(shù)如下：a=0 0 1 0;0 0

36、0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0 0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; d=0 0;0 0; p=-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i; 華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告22 k=place(a,b,p); h,i,j,k=c2dm(a-b*k,b,c,d,0.1,zoh) dstep(h,i,j,k) 分別設(shè)置采樣時(shí)間為0.1s，0.05s ，0.01s，運(yùn)行程序，得到下圖：00.511.522.53x 10-3from: in(1)to:out(1)0510152025-1-0.5

37、00.511.52x 10-3to:out(2)from: in(2)0510152025step responsetime (sec)amplitudet=0.1s 華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告23 00.511.522.53x 10-3from: in(1)to:out(1)01020304050-1.5-1-0.500.511.52x 10-3to:out(2)from: in(2)01020304050step responsetime (sec)amplitudet=0.05s00.511.522.53x 10-3from: in(1)to:out(1)050100150

38、200-1.5-1-0.500.511.52x 10-3to:out(2)from: in(2)050100150200step responsetime (sec)amplitudet=0.01s 圖 2-12 零階保持器離散化華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告24 2.6.3 一階保持器采用一階保持器進(jìn)行離散化，程序如下: a=0 0 1 0;0 0 0 1; -400 300 -9 6;150 -200 3 -4.5; b=0 0;0 0;1 0;0 0.5; c=1 0 0 0;0 1 0 0; d=0 0;0 0; p=-15+40i,-15-40i,-3+10i,-3-10i

39、; k=place(a,b,p); h,i,j,k=c2dm(a-b*k,b,c,d,0.1,foh) dstep(h,i,j,k) 同樣，分別設(shè)置采樣時(shí)間為0.1s，0.05s，0.01s，運(yùn)行程序，得到下圖：00.511.522.53x 10-3from: in(1)to:out(1)0510152025-1-0.500.511.52x 10-3to:out(2)from: in(2)0510152025step responsetime (sec)amplitudet=0.1s 華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告25 00.511.522.53x 10-3from: in(1)to

40、:out(1)01020304050-1.5-1-0.500.511.52x 10-3to:out(2)from: in(2)01020304050step responsetime (sec)amplitudet=0.05s 00.511.522.53x 10-3from: in(1)to:out(1)050100150200-1.5-1-0.500.511.52x 10-3to:out(2)from: in(2)050100150200step responsetime (sec)amplitudet=0.01s 圖 2-13 一階保持器離散化華北電力大學(xué)（保定）線性系統(tǒng)理論結(jié)課報(bào)告26 2.6.4 雙線性變換法采用雙線性