高中數(shù)學第2章圓錐曲線與方程2.4.1拋物線的標準方程學案蘇教版選修1-1-蘇教版高二選修

1、2.4.1 拋物線的標準方程學習目標1. 掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念.2. 掌握拋物線的標準方程及其推導過程.3. 明確拋物線標準方程中p的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標準方程的問題. 知識點拋物線的標準方程思考 1 在拋物線方程中p有何意義？拋物線的開口方向由什么決定？答案p是拋物線的焦點到準線的距離，拋物線方程中一次項決定開口方向. 思考 2 已知拋物線的標準方程，怎樣確定拋物線的焦點位置和開口方向？答案一次項變量為x( 或y) ，則焦點在x軸( 或y軸) 上. 若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上；若系數(shù)為負，則焦點在負半軸上. 焦點確定，開口方向也隨之確定. 梳理拋物線的標準方程有四

2、種類型圖形標準方程y22px(p0) y2 2px(p0) x22py(p0) x2 2py(p0) 焦點坐標p2，0p2， 00，p20，p2準線方程xp2xp2yp2yp21. 拋物線y22x(p0) 的焦點坐標為 (1,0).( ) 2. 到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線.( ) 3. 拋物線的方程都是y關于x的二次函數(shù) .( ) 4. 方程x22py是表示開口向上的拋物線.( ) 類型一求拋物線的標準方程例 1 分別根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：(1) 已知拋物線的焦點坐標是f(0， 2) ；(2) 準線方程為y23；(3) 焦點在x軸負半軸上，焦點到準線的距離是5

3、；(4) 過點a(2,3). 考點拋物線的標準方程題點求拋物線方程解(1) 因為拋物線的焦點在y軸的負半軸上，且p2 2，則p4. 所以所求拋物線的標準方程為x2 8y. (2) 因為拋物線的準線平行于x軸，且在x軸上面，且p223，則p43. 所以所求拋物線的標準方程為x283y. (3) 由焦點到準線的距離為5 知，p5. 又焦點在x軸負半軸上，所以所求拋物線的標準方程為y2 10 x. (4) 由題意知，拋物線方程可設為y2mx(m0)或x2ny(n0). 將點a(2,3) 的坐標代入，得 32m2 或 22n3，m92或n43. 所以所求拋物線方程為y292x或x243y. 反思與感悟

4、求拋物線方程，通常用待定系數(shù)法，若能確定拋物線的焦點位置，則可設出拋物線的標準方程，求出p值即可 . 若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論. 焦點在x軸上的拋物線方程可設為y2ax(a0)，焦點在y軸上的拋物線方程可設為x2ay(a0).跟蹤訓練1 分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程：(1) 過點 (3 ， 4)；(2) 焦點在直線x 3y150 上，且焦點在坐標軸上；(3) 焦點到準線的距離為2. 考點拋物線的標準方程題點求拋物線方程解(1) 方法一點 (3， 4) 在第四象限，設拋物線的標準方程為y2 2px(p0) 或x22p1y(p10). 把點 (3， 4) 分別代入y22px

5、和x2 2p1y，得( 4)22p3,32 2p1( 4) ，即 2p163，2p194. 所求拋物線的標準方程為y2163x或x294y. 方法二點 (3， 4) 在第四象限，設拋物線的方程為y2ax(a0)或x2by(b0).把點 (3， 4) 分別代入，可得a163，b94. 所求拋物線的標準方程為y2163x或x294y. (2) 令x0，得y 5；令y0，得x 15，拋物線的焦點坐標為(0， 5) 或( 15,0). 所求拋物線的標準方程為x2 20y或y2 60 x. (3) 由焦點到準線的距離為2，得p2，故所求拋物線的標準方程為y222x或y2 22x或x222y或x2 22y

6、. 類型二求拋物線的焦點坐標及準線方程例 2 已知拋物線的方程如下，求其焦點坐標和準線方程：(1)y2 6x；(2)3x25y0；(3)y4x2；(4)y2a2x(a0).考點拋物線的標準方程題點拋物線方程的應用解(1) 由方程y2 6x知，拋物線開口向左，2p6，p3，p232，所以焦點坐標為32，0 ，準線方程為x32. (2) 將 3x25y0 變形為x253y，知拋物線開口向下，2p53，p56，p2512，所以焦點坐標為0，512，準線方程為y512. (3) 將y4x2變形為x214y，可知拋物線開口向上，2p14，p18，p2116，所以焦點坐標為0，116，準線方程為y116.

7、 (4) 由方程y2a2x(a0)知，拋物線開口向右，2pa2，pa22，p2a24，所以焦點坐標為a24， 0 ，準線方程為xa24. 引申探究若將本例 (4) 中條件改為yax2(a0)，結果又如何？解yax2可變形為x21ay，所以焦點坐標為0，14a，準線方程為y14a. 反思與感悟如果已知拋物線的標準方程，求它的焦點坐標、準線方程時，首先要判斷拋物線的對稱軸和開口方向.一次項的變量若為x( 或y) ，則x軸(或y軸) 是拋物線的對稱軸，一次項系數(shù)的符號決定開口方向. 跟蹤訓練2 若拋物線y2 2px的焦點坐標為(1,0)，則p _，準線方程為_. 考點拋物線的標準方程題點拋物線方程的

8、應用答案2 x 1 解析由p21 知，p2，則準線方程為xp2 1. 類型三拋物線定義的應用命題角度 1 與拋物線有關的軌跡方程例 3 若位于y軸右側的動點m到f12，0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大12，求點m的軌跡方程 . 考點拋物線的標準方程題點拋物線方程的應用解由于位于y軸右側的動點m到f12， 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大12，所以動點m到f12，0 的距離與它到直線l：x12的距離相等 . 由拋物線的定義知，動點m的軌跡是以f為焦點，x12為準線的拋物線，其方程應為y22px(p0) 的形式，而p212，所以p 1,2p2，故點m的軌跡方程為y2 2x(x0).反思與感悟滿足拋物線的定

9、義，可直接利用定義寫出軌跡方程，避免了繁瑣的化簡. 跟蹤訓練3 平面上動點p到定點f(1,0) 的距離比點p到y(tǒng)軸的距離大1，求動點p的軌跡方程 . 考點拋物線的標準方程題點拋物線方程的應用解由題意知，動點p到定點f(1,0) 的距離比到y(tǒng)軸的距離大1. 由于點f(1,0) 到y(tǒng)軸的距離為 1，故當x0 時，直線y0 上的點適合條件； 當x0 時，原命題等價于點p到點f(1,0)與到直線x 1 的距離相等，故點p的軌跡是以f為焦點，x 1 為準線的拋物線，方程為y24x. 故所求動點p的軌跡方程為y24x，x0，0，x2，所以點b在拋物線內(nèi)部. 過點b作bq垂直于準線，垂足為點q，交拋物線于點

10、p1，連結p1f. 此時，由拋物線定義知，p1qp1f. 所以pbpfp1bp1qbq 314，即pbpf的最小值為4. 反思與感悟解決最值問題：在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線來解決最值問題. 跟蹤訓練4 已知直線l1：4x3y60 和直線l2：x 1，拋物線y24x上一動點p到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_. 考點拋物線的定義題點由拋物線定義求最值答案2 解析由題意知，直線l2：x 1 為拋物線y24x的準線 . 由拋物線的定義知，點p到l2的距離等于點p到拋物線的焦點f(1,0)的距離，故所求最值可轉(zhuǎn)化為在拋物線y24

11、x上找一個點p，使得點p到點f(1,0)和到直線l1的距離之和最小，最小值為f(1,0) 到直線l1：4x3y60 的距離，即d|4 06|52. 1. 拋物線y14x2的準線方程是_. 考點拋物線的標準方程題點拋物線方程的應用答案y 1 解析由y14x2，得x24y，則拋物線的焦點在y軸正半軸上，且2p4，即p2，因此準線方程為yp2 1. 2. 設拋物線y28x上一點p到y(tǒng)軸的距離是4，則點p到該拋物線焦點的距離是_. 考點拋物線的定義題點由拋物線定義求距離答案6 解析拋物線y28x的準線方程為x 2， 則點p到準線的距離是6. 由拋物線的定義可知，點p到拋物線焦點的距離是6. 3. 根據(jù)

12、下列條件寫出拋物線的標準方程：(1) 準線方程為x 1._. (2) 焦點在x軸的負半軸上，焦點到準線的距離是2._. 考點拋物線的標準方程題點求拋物線方程答案(1)y24x(2)y2 4x解析(1) xp2 1，p2. 又焦點在x軸上，則拋物線的標準方程為y24x. (2) 焦點到準線的距離為p2，且焦點在x軸的負半軸上，拋物線的標準方程為y24x. 4. 若橢圓x234y2p21(p0) 的左焦點在拋物線y22px的準線上，則p為_. 考點拋物線的標準方程題點求拋物線方程答案6 解析由題意知，左焦點為p2，0 ，則cp2. a23，b2p24，3p24p24，得p6. 5. 若拋物線y2

13、2px(p0) 上有一點m，其橫坐標為9，它到焦點的距離為10，求拋物線方程和m點的坐標 . 考點拋物線的定義題點由拋物線定義求點坐標解由拋物線定義，設焦點為fp2，0 . 則該拋物線的準線方程為xp2. 由題意設點m到準線的距離為mn，則mnmf10，即p2( 9) 10，p2. 故拋物線方程為y2 4x. 將m( 9，y0) 代入拋物線方程，得y06.m點的坐標為 ( 9,6) 或( 9， 6). 1. 焦點在x軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設為y2mx(m0)，此時焦點坐標為fm4，0 ，準線方程為xm4；焦點在y軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設為x2my(m0)，此時焦點坐標為f0，m

14、4，準線方程為ym4. 2. 設m是拋物線上一點，焦點為f，則線段mf叫做拋物線的焦半徑. 若m(x0，y0) 在拋物線y22px(p0) 上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑mfx0p2. 3. 對于拋物線上的點，利用定義可以把其到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，也可以把其到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，因此可以解決有關距離的最值問題. 一、填空題1. 經(jīng)過點p(4 ， 2) 的拋物線的標準方程為_. 考點拋物線的標準方程題點求拋物線方程答案y2x或x2 8y解析點p在第四象限，拋物線開口向右或向下. 當開口向右時，設拋物線方程為y22p1x(

15、p10) ，則( 2)28p1，p112，拋物線方程為y2x. 當開口向下時，設拋物線方程為x2 2p2y(p20)，則 424p2，p24，拋物線方程為x2 8y. 2. 已知拋物線y22px(p0) 的準線經(jīng)過點( 1,1) ，則該拋物線的焦點坐標為_. 考點拋物線的定義題點由拋物線的定義求點的坐標答案(1,0) 解析拋物線y22px(p0) 的準線方程為xp2. 由題設知p2 1，即p 2，故焦點坐標為()1，0 . 3. 若拋物線y22px的焦點與橢圓x26y221 的右焦點重合，則p_. 考點拋物線的標準方程題點拋物線方程的應用答案4 解析a2 6，b22，c2a2b24，c2，即橢

16、圓的右焦點為(2,0) ，p22，即p4. 4. 若拋物線yax2的準線方程是y2，則a_. 考點拋物線的標準方程題點拋物線方程的應用答案18解析yax2可化為x21ay. 準線方程為y2，a0). 由定義知點p到準線的距離為4，故p224，p4，x2 8y. 將點p的坐標代入x2 8y，得m4.6. 已知拋物線y22px(p0)的準線與圓 (x3)2y216 相切，則p的值為 _. 考點拋物線的定義題點由拋物線定義求點坐標答案2 解析拋物線y22px的準線方程為xp2，它與圓相切，所以必有3 p24，所以p2. 7. 設拋物線y22px(p0)的焦點為f，點a(0,2).若線段fa的中點b在

17、拋物線上，則b到該拋物線準線的距離為_. 考點拋物線的定義題點由拋物線定義求距離答案324解析拋物線的焦點f的坐標為p2，0 ，線段fa的中點b的坐標為p4，1 ，代入拋物線方程得 12pp4，解得p2，故點b的坐標為24，1 ，故點b到該拋物線準線的距離為2422324. 8. 過拋物線y24x的焦點f的直線交該拋物線于a，b兩點 . 若af3，則bf_. 考點拋物線的定義題點由拋物線定義求距離答案32解析拋物線y24x的準線為x 1，焦點為f(1,0) ，設a(x1，y1) ，b(x2，y2). 由拋物線的定義可知afx11 3，所以x12，所以y122，由拋物線關于x軸對稱，假設a(2,

18、22). 由a，f，b三點共線可知直線ab的方程為y 022(x1) ，代入拋物線方程消去y，得 2x25x 20，求得x2 或12，所以x212，故bf32. 9.o為坐標原點，f為拋物線c：y2 42x的焦點，p為拋物線c上一點，若pf42， 則pof的面積為 _. 考點拋物線的定義題點由拋物線定義求點坐標答案23 解析拋物線c的準線方程為x2，焦點f(2，0). 由pf42及拋物線的定義知，p點的橫坐標為xp32，從而縱坐標為yp26. spof12of|yp| 1222 623. 10. 已知點p是拋物線y22x上的一個動點， 則點p到點 (0,2) 的距離與點p到拋物線準線的距離之和

19、的最小值為_. 考點拋物線的定義題點由拋物線定義求最值答案172解析拋物線y22x的焦點坐標為f12，0 ，準線是x12. 由拋物線的定義知，點p到焦點f的距離等于它到準線x12的距離 . 因此要求點p到點 (0,2) 的距離與點p到拋物線準線的距離之和的最小值， 可以轉(zhuǎn)化為求點p到點 (0,2)的距離與點p到焦點f的距離之和的最小值. 結合圖形 ( 圖略 ) 不難得出相應的最小值等于焦點f到點 (0,2) 的距離，因此所求距離之和的最小值為122 22172. 11. 已知p為拋物線y24x上一個動點，q為圓x2(y 4)21 上一個動點，則點p到點q的距離與點p到拋物線準線的距離之和的最小

20、值是_. 考點拋物線的定義題點由拋物線定義求最值答案171 解析點p到拋物線準線的距離等于點p到拋物線焦點f(1,0) 的距離 . 圓心坐標是 (0,4)，圓心到拋物線焦點的距離為17，即圓上的點q到拋物線焦點的距離的最小值是171. 二、解答題12. 已知拋物線的頂點在原點，它的準線過x2a2y2b21 的一個焦點， 且與x軸垂直 .又拋物線與此雙曲線交于點32，6 ，求拋物線和雙曲線的方程. 考點拋物線的標準方程題點求拋物線方程解因為交點在第一象限，拋物線的頂點在原點，其準線垂直于x軸，所以可設拋物線方程為y22px(p0). 將點32，6 代入方程，得p2，所以拋物線方程為y24x，準線

21、方程為x 1. 由此知雙曲線方程中c1，焦點為 ( 1,0) ，(1,0) ，點32，6 到兩焦點的距離之差為 2a1，所以雙曲線的標準方程為x214y2341. 13. 已知拋物線c的頂點在原點，焦點f在x軸的正半軸上，設a，b是拋物線c上的兩個動點(ab不垂直于x軸) ，且afbf8，線段ab的垂直平分線恒經(jīng)過點q(6,0)，求拋物線的方程 . 考點拋物線的標準方程題點求拋物線方程解設拋物線的方程為y22px(p0), 則其準線方程為xp2. 設a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，afbf8，x1p2x2p28，即x1x28p. q(6,0) 在線段ab的中垂線上，qaqb，即6x12 y126x22 y22，又y212px1，y222px2，(x1x2)(x1x2122p) 0. ab與x軸不垂直，x1x2. 故x1x2122p8p 122p0，即p4. 拋物線方程為y28x. 三、探究與拓展14. 已知拋物線y22px的焦點f與雙曲線x27y291 的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為k，點a在拋物線上，且ak2af，則afk的面積為 _. 考點拋物線的標準方程題點拋物線方程的應用答案32 解析由題意可知拋物線焦點坐標為f(4,0).過