2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第10節(jié) 圓錐曲線中的證明與存在性問題 教案

1、第十節(jié)圓錐曲線中的證明與存在性問題考點1證明問題圓錐曲線中證明問題的類型及解題策略(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點等；二是數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點共線等(2)解決證明問題時，主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進行證明，多采用直接法證明，有時也會用到反證法(2018·全國卷)設(shè)拋物線c：y22x，點a(2,0)，b(2,0)，過點a的直線l與c交于m，n兩點(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線bm的方程；(2)證明：abmabn.

2、解(1)當(dāng)l與x軸垂直時，l的方程為x2，可得m的坐標(biāo)為(2,2)或(2，2)所以直線bm的方程為yx1或yx1.(2)當(dāng)l與x軸垂直時，ab為mn的垂直平分線，所以abmabn.當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x2)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，則x1>0，x2>0.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直線bm，bn的斜率之和為kbmkbn.將x12，x22及y1y2，y1y2的表達式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kbmkbn0，可知bm，bn的傾斜角互補，所以abmabn.綜上，abmabn.把證明abmabn轉(zhuǎn)化為證明

3、kbmkbn0是解題的關(guān)鍵(2017·全國卷)設(shè)o為坐標(biāo)原點，動點m在橢圓c：y21上，過m作x軸的垂線，垂足為n，點p滿足.(1)求點p的軌跡方程；(2)設(shè)點q在直線x3上，且·1.證明：過點p且垂直于oq的直線l過c的左焦點f.解(1)設(shè)p(x，y)，m(x0，y0)，則n(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因為m(x0，y0)在c上，所以1.因此點p的軌跡方程為x2y22.(2)證明：由題意知f(1,0)設(shè)q(3，t)，p(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，·33mtn，(m，n)，(3m，tn)由·1，得3mm2tn

4、n21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以·0，即.又過點p存在唯一直線垂直于oq，所以過點p且垂直于oq的直線l過c的左焦點f.考點2存在性問題圓錐曲線中存在性問題的求解方法(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法(2019·泉州模擬)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為f1，f2，右頂點

5、為a，上頂點為b，且滿足向量·0.(1)若a(2,0)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)p為橢圓上異于頂點的點，以線段pb為直徑的圓經(jīng)過點f1，問是否存在過點f2的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說明理由解(1)易知a2，因為·0，所以bf1f2為等腰直角三角形所以bc，由a2b2c2可知b，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由已知得b2c2，a22c2，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，點p的坐標(biāo)為(x0，y0)因為f1(c,0)，b(0，c)，所以(x0c，y0)，(c，c)，由題意得·0，所以x0cy00.又因為點p在橢圓上，所以1，由以上兩式可得3x4cx00.因為

6、p不是橢圓的頂點，所以x0c，y0c，故p.設(shè)圓心為(x1，y1)，則x1c，y1c，圓的半徑rc.假設(shè)存在過點f2的直線滿足題設(shè)條件，并設(shè)該直線的方程為yk(xc)，由相切可知r，所以c，即20k220k10，解得k±.故存在滿足條件的直線，其斜率為±.本例第(2)問中，涉及直線與圓相切問題，需要求出圓心和半徑，然后利用圓心到直線的距離等于半徑，列等式求解教師備選例題(2019·長沙模擬)已知橢圓c的中心為原點o，焦點在x軸上，左、右焦點分別為f1，f2，離心率為，右焦點到右頂點的距離為1.(1)求橢圓c的方程；(2)過點f2的直線與橢圓c分別相交于不同的兩點a

7、，b，則f1ab的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程；若不存在，請說明理由解(1)設(shè)橢圓c：1(a>b>0)，e，ac1，a2，c1，橢圓c的方程為1.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，不妨設(shè)y1>0，y2<0.由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為xmy1.聯(lián)立得(3m24)y26my90，則y1y2，y1y2，sf1ab|f1f2|(y1y2).令t，可知t1，則m2t21，sf1ab.令f(t)3t，則f(t)3，當(dāng)t1時，f(t)>0，即f(t)在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，f(t)f(1)4，sf1ab3，即當(dāng)t1，m0

8、時，f1ab的面積取得最大值3，此時直線l的方程為x1.(2019·哈爾濱模擬)已知橢圓c：1(a>b>0)的離心率為，點f為左焦點，過點f作x軸的垂線交橢圓c于a，b兩點，且|ab|3.(1)求橢圓c的方程；(2)在圓x2y23上是否存在一點p，使得在點p處的切線l與橢圓c相交于m，n兩點，且滿足？若存在，求l的方程；若不存在，請說明理由解(1)e，3a24b2.又|ab|3，a2，b.橢圓c的方程為1.(2)假設(shè)存在點p，使得.當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x或x，與橢圓c：1相交于m，n兩點，此時m，n或m，n，·30，當(dāng)直線l的斜率不存在時，不滿足.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)ykxm，聯(lián)立得(34k2)x28kmx4m2120.直線l與橢圓c相交于m，n兩點，0，化簡得4k2m23.設(shè)m(x1，y1)，n(x2，