2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第五章 5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示-教師版

1、 第1課時(shí)進(jìn)門測判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底(×)(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.(×)(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()作業(yè)檢查無第2課時(shí)階段訓(xùn)練題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)在平行四邊形abcd中，e1，e2，則_.(用e1，e2表示)(2) 如圖，在abc中，bo為邊ac上

2、的中線，2，設(shè)，若(r)，則的值為()a. b.c. d2答案(1)e1e2(2)c解析(1)如圖，2()e2(e2e1)e1e2.(2)因?yàn)?，所以.又，可設(shè)m，所以(1).因?yàn)?，所以?.思維升華平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決在梯形abcd中，abcd，ab2cd，m，n分別為cd，bc的中點(diǎn)，若，則等于()a. b. c. d.答案d解析因?yàn)?)22，所以，所以.題型

3、二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，則c等于()a. b.c. d.(2)已知向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，則2ab等于()a(4,0) b(0,4)c(4，8) d(4,8)答案(1)d(2)c解析(1)由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以c.(2)因?yàn)橄蛄縜(1，2)，b(m,4)，且ab，所以1×42m0，即m2，所以2ab2×(1，2)(2,4)(4，8)思維升華向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確

4、使用運(yùn)算法則(1)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若cab(，r)，則_.(2)已知四邊形abcd的三個(gè)頂點(diǎn)a(0,2)，b(1，2)，c(3，1)，且2，則頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為()a(2，) b(2，)c(3,2) d(1,3)答案(1)4(2)a解析(1)以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長為1)，則a(1，1)，b(6,2)，c(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即解得2，4.(2)設(shè)d(x，y)，(x，y2)，(4,3)，又2，故選a.題型三平面向量坐標(biāo)的應(yīng)用命題點(diǎn)1利用向量共線求向量或點(diǎn)

5、的坐標(biāo)例3已知點(diǎn)a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，則ac與ob的交點(diǎn)p的坐標(biāo)為_答案(3,3)解析方法一由o，p，b三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)×64×(2)0，解得，所以(3,3)，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(3,3)方法二設(shè)點(diǎn)p(x，y)，則(x，y)，因?yàn)?4,4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且與共線，所以(x4)×6y×(2)0，解得xy3，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(3,3)命題點(diǎn)2利用向量共線求參數(shù)例4(1)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，則銳角_.(2)設(shè)

6、(2,4)，(a,2)，(b,0)，a>0，b>0，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若a，b，c三點(diǎn)共線，則的最小值為_答案(1)45°(2)解析(1)由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，cos 或cos ，又為銳角，45°.(2)由已知得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32 )(當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)，等號成立)思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1

7、y2x2y1”解題比較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為a(r)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量命題點(diǎn)3利用平面向量的坐標(biāo)求最值例5在平行四邊形abcd中，bad，ab1，ad，p為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，ap，若(，r)，則的最大值為_答案1解析以點(diǎn)a為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則a(0,0)，b(1,0)，d(，)，所以(1,0)，(，)設(shè)，的夾角為(0<<)，則p(cos ，sin )，所以(cos ，sin )，則由題意有(cos ，sin )(1,0)(，)，所以所以所以sin

8、 cos sin sin cos sin()因?yàn)?<<，所以<<，所以sin()的最大值為1，即的最大值為1.(1)已知梯形abcd，其中abcd，且dc2ab，三個(gè)頂點(diǎn)a(1,2)，b(2,1)，c(4,2)，則點(diǎn)d的坐標(biāo)為_(2)如圖，矩形abcd中，ab3，ad4，m，n分別為線段bc，cd上的點(diǎn)，且滿足1，若xy，則xy的最小值為_答案(1)(2,4)(2)解析(1)在梯形abcd中，abcd，dc2ab，2.設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解

9、得故點(diǎn)d的坐標(biāo)為(2,4)(2)設(shè)cnn，cmm，則1，設(shè)sin ，cos (0，)因?yàn)閤yx()y()x()y()xy(1)x(1)y，又，所以所以所以xy1111，其中(cos ，sin )，所以(xy)min1.第3課時(shí)階段重難點(diǎn)梳理1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1

10、，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a、b共線x1y2x2y10.【知識拓展】1若a與b不共線，ab0，則0.2設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果x20，y20，則ab.重點(diǎn)題型訓(xùn)練典例給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)c在以o為圓心的上運(yùn)動若xy，其中x，yr，求xy的最大值思想方法指導(dǎo)建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，將向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題更加凸顯向量的代數(shù)特征規(guī)范解答解

11、以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則a(1,0)，b(，)6分設(shè)aoc(0，)，則c(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，10分所以xycos sin 2sin()，12分又0，所以當(dāng)時(shí)，xy取得最大值2.14分1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么()a若實(shí)數(shù)1，2使1e12e20，則120b空間內(nèi)任一向量a可以表示為a1e12e2(1，2為實(shí)數(shù))c對實(shí)數(shù)1，2，1e12e2不一定在該平面內(nèi)d對平面內(nèi)任一向量a，使a1e12e2的實(shí)數(shù)1，2有無數(shù)對答案a2已知點(diǎn)a(0,1)，b(3,2)，向量(4，3)，則向量等于()a(7，4) b

12、(7,4)c(1,4) d(1,4)答案a解析(3,1)，(4，3)，(4，3)(3,1)(7，4)3已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則_.答案解析由已知條件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb與a2b共線，即n2m12m8n，.4已知abcd的頂點(diǎn)a(1，2)，b(3，1)，c(5,6)，則頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為_答案(1,5)解析設(shè)d(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得作業(yè)布置1在平行四邊形abcd中，a，b，2，則等于()aba bbacba dba答案c解析因?yàn)椋?，所以ba，故選c

13、.2已知點(diǎn)m(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點(diǎn)n的坐標(biāo)為()a(2,0) b(3,6)c(6,2) d(2,0)答案a解析設(shè)n(x，y)，則(x5，y6)(3,6)，x2，y0.3已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則等于()a. b. c1 d2答案b解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，故選b.4已知平行四邊形abcd中，(3,7)，(2,3)，對角線ac與bd交于點(diǎn)o，則的坐標(biāo)為()a(，5) b(，5)c(，5) d(，5)答案d解析(2,3)(3,7)(1,10)，(，5)，(，5)5在abc中，點(diǎn)d在bc邊上，且2，rs，則rs等

14、于()a. b. c3 d0答案d解析因?yàn)?，所以()，則rs0，故選d.6已知|1，|，·0，點(diǎn)c在aob內(nèi)，且與的夾角為30°，設(shè)mn(m，nr)，則的值為()a2 b.c3 d4答案c解析·0，以oa為x軸，ob為y軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，(1,0)，(0，)，mn(m，n)tan 30°，m3n，即3，故選c.7在abcd中，ac為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)8設(shè)0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _.答案解析ab，sin 2×1c

15、os20，2sin cos cos20，0，cos 0，2sin cos ，tan .9在平行四邊形abcd中，e和f分別是cd和bc的中點(diǎn)若，其中，r，則_.答案解析選擇，作為平面向量的一組基底，則，又()()，于是得解得所以.*10.如圖所示，a，b，c是圓o上的三點(diǎn)，線段co的延長線與ba的延長線交于圓o外的一點(diǎn)d，若mn，則mn的取值范圍是_答案(1,0)解析由題意得，k(k0)，又|k|1，1k0.又b，a，d三點(diǎn)共線，(1)，mnkk(1)，mk，nk(1)，mnk，從而mn(1,0)11正abc的邊長為1，向量xy，且x0，y1，xy，則動點(diǎn)p所形成的平面區(qū)域的面積為_答案解析如圖所示，(x，y)|xy，x0，y1表示的區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅蝍bdc，因?yàn)楫?dāng)xy1時(shí)，xy，此時(shí)點(diǎn)p在bc上運(yùn)動；當(dāng)xy時(shí)，xy，此時(shí)點(diǎn)p在b1c1上運(yùn)動，且b1，c1分別為ab，ac的中點(diǎn)，當(dāng)xy時(shí)，xy，此時(shí)點(diǎn)p在b2c2上運(yùn)動，且ab2ac2，所以(x，y)|xy表示平行四邊形abdc中夾在b1c1和b2c2之間的部分，其面積為×××3.12已知a(1,1)，b(3，1)，c(a，b)(1)若a，b，c三