2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第六章 6.3等比數(shù)列-教師版

1、 第1課時進門測1、判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)滿足an1qan(nn*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列(×)(2)g為a，b的等比中項g2ab.(×)(3)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列(×)(4)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列(×)2、已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q等于()a b2c2 d.答案d解析由題意知q3，q.3、設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為sn，若s23，s415，則s6等于()a31 b32 c63 d64答案c解析根據(jù)題意知，等比數(shù)列a

2、n的公比不是1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(s4s2)2s2·(s6s4)，即1223×(s615)，解得s663.故選c.4、在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的兩個數(shù)分別為_答案27,81解析設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439×q3，q327，q3.插入的兩個數(shù)分別為9×327,27×381.5、設(shè)sn為等比數(shù)列an的前n項和，8a2a50，則_.答案11解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，·11.作業(yè)檢查無第2課時階段訓練題型一等比數(shù)列基本量的運算例1(1)已

3、知等比數(shù)列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2等于()a2 b1 c. d.(2)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2，a42，a5成等差數(shù)列，a12，sn是數(shù)列an的前n項的和，則s10s4等于()a1 008 b2 016c2 032 d4 032答案(1)c(2)b解析(1)由an為等比數(shù)列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故選c.(2)由題意知2(a42)a2a5，即2(2q32)2q2q4q(2q32)，得q2，所以an2n，s1021122 046，s4252

4、30，所以s10s42 016.故選b.思維升華等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解【同步練習】(1)已知等比數(shù)列an的首項a11，且a2，a4，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列an的公比q_，數(shù)列an的前4項和s4_.(2)設(shè)sn為等比數(shù)列an的前n項和，若a11，且3s1,2s2，s3成等差數(shù)列，則an_.答案(1)1或4或(2)3n1解析(1)由a2，a4，a3成等差數(shù)列得2a1q3a1qa1q2，即2q3qq2，解得q1或q.當q1時，s44a14，當q時，s4.(2)由3s1,2s2，s3成等差

5、數(shù)列知，4s23s1s3，可得a33a2，所以公比q3，故等比數(shù)列的通項ana1qn13n1.題型二等比數(shù)列的判定與證明例2設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn，已知a11，sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式(1)證明由a11及sn14an2，得a1a2s24a12.a25，b1a22a13.又由，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首項b13，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知bnan12an3·2n1，故是首項為，公差為的等差數(shù)列(n1)·

6、;，故an(3n1)·2n2.引申探究若將例2中“sn14an2”改為“sn12sn(n1)”，其他不變，求數(shù)列an的通項公式解由已知得n2時，sn2sn1n.sn1sn2sn2sn11，an12an1，an112(an1)，n2，又a11，s2a1a22a12，a23，當n1時上式也成立，故an1是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，an12·2n12n，an2n1.【同步練習】1、已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明：an是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(2)證明：<.證明(1)由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首項為，公比為3的等

7、比數(shù)列所以an，因此an的通項公式為an.(2)由(1)知.因為當n1時，3n12×3n1，所以.于是1(1)<，所以<.第3課時階段重難點梳理1等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1·qn1.3等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)g，使a，g，b成等比數(shù)列，那么g叫做a與b的等比中項4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam·qnm(n，mn*)(2

8、)若an為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nn*)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍是等比數(shù)列5等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項和為sn，當q1時，snna1；當q1時，sn.6等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為sn，則sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.【知識拓展】等比數(shù)列an的單調(diào)性(1)滿足或時，an是遞增數(shù)列(2)滿足或時，an是遞減數(shù)列(3)當時，an為常數(shù)列(4)當q<0時，an為擺動數(shù)列重點題型訓練題型

9、三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3（1）若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為sn，若，則_.答案(1)50(2)解析(1)因為a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)方法一s6s312，an的公比q1.由÷，得q3，.方法二an是等比數(shù)列，且，公比q

10、1，s3，s6s3，s9s6也成等比數(shù)列，即(s6s3)2s3·(s9s6)，將s6s3代入得.【同步練習】(1)已知在等比數(shù)列an中，a1a410，則數(shù)列l(wèi)g an的前4項和等于()a4 b3 c2 d1(2)設(shè)等比數(shù)列an中，前n項和為sn，已知s38，s67，則a7a8a9等于()a. b c. d.答案(1)c(2)a解析(1)前4項和s4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)，又等比數(shù)列an中，a2a3a1a410，s4lg 1002.(2)因為a7a8a9s9s6，且公比不等于1，在等比數(shù)列中，s3，s6s3，s9s6也成等比數(shù)列，即8，1，s9

11、s6成等比數(shù)列，所以有8(s9s6)(1)2，s9s6，即a7a8a9.題型四 分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用典例(15分)已知首項為的等比數(shù)列an的前n項和為sn(nn*)，且2s2，s3,4s4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：sn(nn*)思想方法指導(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項公式；(2)求出前n項和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明規(guī)范解答(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為2s2，s3,4s4成等差數(shù)列，所以s32s24s4s3，即s4s3s2s4，可得2a4a3，于是q.3分又a1，所以等比數(shù)列an的通項公式為an×n1(1)n1·

12、;.5分(2)證明由(1)知，sn1n，sn1n8分當n為奇數(shù)時，sn隨n的增大而減小，所以sns1.11分當n為偶數(shù)時，sn隨n的增大而減小，所以sns2.13分故對于nn*，有sn（nn*）.15分思導總結(jié)一、等比數(shù)列的證明(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可(2)利用遞推關(guān)系時要注意對n1時的情況進行驗證二、等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：(1)通項公式的變形；(2)等比中項的變形；(3)前n項和公式的變形根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即

13、可找出解決問題的突破口作業(yè)布置1在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a31，a51，則a2a2a6a3a7等于()a4 b6c8 d84答案c解析在等比數(shù)列中，a3a7a，a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(11)2(2)28.2在等比數(shù)列an中，若a1<0，a218，a48，則公比q等于()a. b.c d.或答案c解析由解得或又a1<0，因此q.3在正項等比數(shù)列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，則n等于()a12 b13c14 d15答案c解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a1a2a34aq3與a4a5a612aq1

14、2，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故選c.4在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a12，且a2，a42，a5成等差數(shù)列，記sn是數(shù)列an的前n項和，則s5等于()a32 b62 c27 d81答案b解析設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q，則q>0，由a2，a42，a5成等差數(shù)列，得a2a52(a42)，即2q2q42(2q32)，(q2)(1q3)0，解得q2或q1(舍去)，s562，故選b.5已知數(shù)列an滿足log3an1log3an1(nn*)，且a2a4a69，則的值是()a b5c5 d.答案b解析由log3an1log3an1(nn

15、*)，得log3an1log3an1，即log31，解得3，所以數(shù)列an是公比為3的等比數(shù)列因為a5a7a9(a2a4a6)q3，所以a5a7a99×3335.所以5.6在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，若a3a4a53，則sin(log3a1log3a2log3a7)的值為()a. b.c1 d答案b解析因為a3a4a53a，所以log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a，所以sin(log3a1log3a2log3a7).7設(shè)sn為等比數(shù)列an的前n項和，已知3s3a42，3s2a32，則公比q_.答案4解析因為由，得3a3a4a3，即4a3a4，則q4.

16、8設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an，sn為前n項和且s1010，s3070，那么s40_.答案150解析依題意，知數(shù)列an的公比q1，數(shù)列s10，s20s10，s30s20，s40s30成等比數(shù)列，因此有(s20s10)2s10(s30s20)，即(s2010)210(70s20)，故s2020或s2030；又s20>0，因此s2030，s20s1020，s30s2040，故s40s3080，s40150.9已知數(shù)列an的前n項和為sn，且滿足ansn1(nn*)，則通項an_.答案解析ansn1，a1，an1sn11(n2)，由，得anan1an0，即(n2)，數(shù)列an是首項為，公比為的等

17、比數(shù)列，則an×()n1.10已知數(shù)列an的首項為1，數(shù)列bn為等比數(shù)列且bn，若b10·b112，則a21_.答案1 024解析b1a2，b2，a3b2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3··bn1，a21b1b2b3··b20(b10b11)102101 024.11已知an是等差數(shù)列，滿足a13，a412，數(shù)列bn滿足b14，b420，且bnan是等比數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列bn的前n項和解(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得d3，所以ana1(n1)d3n(nn*)設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為q，由題意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.從而bn3n2n1(nn*)(2)由(1)知bn3n2n1(nn*)，數(shù)列3n的前n項和為n(n1)，數(shù)列2n1的前n項和為1×2n1.所以數(shù)列bn的前n項和為n(n1)2n1.12已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式解(1)由題意，得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因為an的各項都為正數(shù)，所以.故an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.