專題8.7 立體幾何中的向量方法2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）（講）解析版

1、專題8.7 立體幾何中的向量方法新課程考試要求1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理). 4會(huì)用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問(wèn)題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等.考向預(yù)測(cè)（1）以幾何體為載體，綜合考查平行或垂直關(guān)系證明，以及角與距離的計(jì)算.（2）利用幾何法證明平行、垂直關(guān)系，利用空間向量方法求角或距離.（3）利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點(diǎn)，內(nèi)容以解答題中的一問(wèn)為主，主要圍繞考查空間直角坐標(biāo)

2、系的建立、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算能力和分析解決問(wèn)題的能力命制試題，以多面體為載體、證明線面(面面)的平行(垂直)關(guān)系是主要命題方向空間的角與距離的計(jì)算（特別是角的計(jì)算）是高考熱點(diǎn)，一般以大題的條件或一小問(wèn)形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體幾何問(wèn)題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)計(jì)算解決立體幾何問(wèn)題距離問(wèn)題往往在與有關(guān)面積、體積的計(jì)算中加以考查此類問(wèn)題往往屬于“證算并重”題，即第一問(wèn)用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問(wèn)則通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法進(jìn)一步求角或距離.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1利用空間向量證明平行問(wèn)題1.直線的方向向量與平面的法向量的確定直線的方向向量：l是空

3、間一直線，a，b是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為2.用向量證明空間中的平行關(guān)系設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)v1v2.設(shè)直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l或l存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使vxv1yv2.設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或lvu.設(shè)平面和的法向量分別為u1，u2，則u1u2.知識(shí)點(diǎn)2利用空間向量證明垂直問(wèn)題1. 用向量證明空間中的垂直關(guān)系 設(shè)直線l1和

4、l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2v1v2v1·v20. 設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則lvu. 設(shè)平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1·u20.2.共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3(r)，aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)知識(shí)點(diǎn)3異面直線所成的角1.兩條異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)o作直線aa，bb，則a與b所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是向量求法：設(shè)直線a，b的方

5、向向量為a，b，其夾角為，則有.知識(shí)點(diǎn)4直線與平面所成角1直線和平面所成角的求法：如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.知識(shí)點(diǎn)5二面角1求二面角的大小(1)如圖1，ab、cd是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖2、3，分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小(或)知識(shí)點(diǎn)6利用向量求空間距離1空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則a±b(a1±b1，a2±b2，a3±b3)

6、；a(a1，a2，a3)；a·ba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3(r)，aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|，cosa，b.設(shè)a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則.2. 點(diǎn)面距的求法如圖，設(shè)ab為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則b到平面的距離d.【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一 ：利用空間向量證明平行問(wèn)題【典例1】(湖北高考真題)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體

7、中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.（1） 當(dāng)時(shí)，證明：直線平面.【答案】直線平面.【解析】以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系，由已知得，所以，（1）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，而平面，且平面，故直線平面.【規(guī)律方法】利用空間向量證明平行的方法【變式探究】（選自天津高考真題）如圖，在三棱錐p-abc中，pa底面abc，.點(diǎn)d，e，n分別為棱pa，pc，bc的中點(diǎn)，m是線段ad的中點(diǎn)，pa=ac=4，ab=2. （）求證：mn平面bde；【答案】 （）證明見(jiàn)解析 【解析】如圖，以a為原點(diǎn)，分別以，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得a（0，0，

8、0），b（2，0，0），c（0，4，0），p（0，0，4），d（0，0，2），e（0，2，2），m（0，0，1），n（1，2，0）.（）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面bde的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因?yàn)槠矫鎎de，所以mn/平面bde.【總結(jié)提升】證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后說(shuō)明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了數(shù)量的計(jì)算問(wèn)題考點(diǎn)二 ： 利用空間向量證明垂直問(wèn)題【典例2】（2021·浙江高二期末）已知正方體，是棱的中點(diǎn)，則在棱上

9、存在點(diǎn)，使得（ ）abc平面d平面【答案】b【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量法確定線線平行與垂直，由向量與平行法向量的平行與垂直確定線面的平行與垂直【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，設(shè)（，則，因?yàn)?，所以不可能平行，即不可能平行，又，因此可以垂直，即與可能垂直，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，與不可能平行，因此與平面不可能垂直，因此與不可能垂直，因此與平面不可能平行，故選：b【規(guī)律方法】用空間向量證明垂直問(wèn)題的方法【變式探究】在邊長(zhǎng)是2的正方體-中，分別為的中點(diǎn). 應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題. (1)求ef的長(zhǎng) (2)證明

10、：平面； (3)證明: 平面.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】 (1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系 4分（2） 而 平面 8分（3） 又 平面. 【總結(jié)提升】1.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明2.要證明兩線垂直，需轉(zhuǎn)化為兩線對(duì)應(yīng)的向量垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明兩向量的數(shù)量積為零，這是證明兩線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎(chǔ)3.證明線面垂直，可利用判定定理如本題解法4.用向量證明兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量，把證明面面垂直轉(zhuǎn)化為法向量垂直考點(diǎn)三 ： 異面直線所成的角【典例

11、3】（2021·天津高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為dd1，bd的中點(diǎn)，點(diǎn)g在cd上，且cgcd.（1）求證：efb1c；（2）求ef與c1g所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用空間向量證明，（2）利用空間向量求解【詳解】以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz.則e（），（1），（2）由（1）知，設(shè)ef與c1g所成角為，則故ef與c1g所成角的余弦值為【特別提醒】提醒：兩異面直線所成角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是0，當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是這兩條異

12、面直線所成的角；當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是兩異面直線所成的角【變式探究】（2021·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高一月考）由兩塊直角三角形拼成如圖所示的空間立體圖形，其中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)四點(diǎn)外接球的體積為_(kāi)；異面直線所成角的余弦為_(kāi).【答案】； . 【解析】求得，取的中點(diǎn)，由得點(diǎn)是四面體外接球的球心，外接球半徑，進(jìn)而可得外接球的體積；證得平面，建系如圖，由空間向量的夾角公式可得結(jié)果.【詳解】依題意可知，當(dāng)時(shí)，則，取的中點(diǎn)，則；又，則，所以，即點(diǎn)是四面體外接球的球心，外接球半徑，故外接球的體積.依題意，當(dāng)時(shí)，則，又，且，所以平面. 以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

13、過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由得，則，所以，又，則，.設(shè)異面直線，所成的角為，則.故答案為：；.【總結(jié)提升】向量法求兩異面直線所成角的步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求出兩直線的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|求解考點(diǎn)四 ： 直線與平面所成角【典例4】（2021·浙江高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，m，n分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別

14、求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，所以，由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系, 則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【規(guī)律方法】利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.【變式探究

15、】（2020·北京高考真題）如圖，在正方體中，e為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）證明見(jiàn)解析；（）.【解析】（）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，則.因此，直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)五 ： 二面角【典例5】（江蘇省揚(yáng)州市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知在四棱錐中，平面為的中點(diǎn).（1）求證;平面;（2）若，求銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析

16、；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)為，分別連接，證明后可得線面平行；（2）以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為，分別連接又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且又因?yàn)樗裕运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以又平面平?所以平面 （2）解：由題意三條直線兩兩相互垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，因?yàn)樵谒倪呅沃?，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上.又因?yàn)樗运杂悬c(diǎn)，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則 令得 易知平面的一個(gè)法向量為， 因?yàn)椋?，所以銳二面角的余弦值為.【規(guī)律方法】利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法

17、向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小【變式探究】（2019年高考全國(guó)卷理）圖1是由矩形adeb，rtabc和菱形bfgc組成的一個(gè)平面圖形，其中ab=1，be=bf=2，fbc=60°，將其沿ab，bc折起使得be與bf重合，連結(jié)dg，如圖2.（1）證明：圖2中的a，c，g，d四點(diǎn)共面，且平面abc平面bcge；（2）求圖2中的二面角bcga的大小.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知得

18、adbe，cgbe，所以adcg，故ad，cg確定一個(gè)平面，從而a，c，g，d四點(diǎn)共面由已知得abbe，abbc，故ab平面bcge又因?yàn)閍b平面abc，所以平面abc平面bcge（2）作ehbc，垂足為h因?yàn)閑h平面bcge，平面bcge平面abc，所以eh平面abc由已知，菱形bcge的邊長(zhǎng)為2，ebc=60°，可求得bh=1，eh=以h為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系hxyz，則a（1，1，0），c（1，0，0），g（2，0，），=（1，0，），=（2，1，0）設(shè)平面acgd的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，）又平面bcge的法向量可取為m=（0，1，0），所以因此二面角bcga的大小為30°考點(diǎn)六 ： 利用向量求空間距離【典例6】（2021·北京高二期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，分別為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求直線