考點(diǎn)57 推理與證明-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)一遍過(guò)

1、考點(diǎn)57 推理與證明（十八）推理與證明1合情推理與演繹推理（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.2直接證明與間接證明（1）了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).（2）了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).3數(shù)學(xué)歸納法了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.一、推理1推理（1）定義：根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程

2、就是推理推理一般包含兩個(gè)部分：一是前提，是指已知的事實(shí)(或假設(shè))；二是結(jié)論，是由已知判斷推出的新的判斷，即推理的形式為“前提結(jié)論”.（2）分類：推理2合情推理（1）定義：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理.（2）特點(diǎn)：合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理.（3）分類：合情推理（4）歸納推理和類比推理的定義、特征及步驟名稱歸納推理類比推理定義根據(jù)某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特

3、征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，叫做類比推理特征由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理由特殊到特殊的推理步驟通過(guò)觀察部分對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì) 從已知的一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）中推出相似性或一致性 找出兩類事物之間的相同性質(zhì) 用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)3演繹推理（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理（2）特點(diǎn)：演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確；若大前提、小前提、推理形式三者中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，所得的結(jié)論就是錯(cuò)誤的.演繹推理是證明結(jié)論的推

4、理（3）模式：三段論是演繹推理的一般模式，即大前提已知一般的原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷.【注】三段論常用的格式為：大前提：m是p.小前提：s是m.結(jié)論：s是p.二、證明1直接證明綜合法與分析法（1）綜合法定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法框圖表示：(其中p表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，q表示要證的結(jié)論)思維過(guò)程：由因?qū)Ч?）分析法定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定

5、義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法框圖表示：(其中p表示要證明的結(jié)論)思維過(guò)程：執(zhí)果索因2間接證明反證法（1）定義：一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.（2）反證法中的矛盾主要是指以下幾方面：與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；自相矛盾三、數(shù)學(xué)歸納法（1）概念：一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立； (歸納遞推)假設(shè)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可

6、以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.（2）框圖表示：（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵在于兩個(gè)步驟，要做到“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”因此必須注意以下兩點(diǎn)：驗(yàn)證是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)數(shù)n0就是要證明的命題對(duì)象的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不一定都是“1”，因此，“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法第一個(gè)要注意的問(wèn)題遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k+1”的過(guò)程中，必須把歸納假設(shè)“n=k”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n=k+1”時(shí)的命題成立，在推導(dǎo)過(guò)程中，歸納假設(shè)要用一次或幾次考向一 合情推理常見的類

7、比、歸納推理及求解策略：（1）在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等（2）歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.典例1 在等差數(shù)列中，若，則有等式成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列中，若，則成立的等式是abcd【答案】c【解析】在等差數(shù)列中，若，則有等式成立

8、在等比數(shù)列中，若，則有等式成立.故選c【名師點(diǎn)睛】類比推理應(yīng)用的類型及相應(yīng)方法：(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來(lái)求解；(2)類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問(wèn)題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵；(3)類比方法：有一些處理問(wèn)題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問(wèn)題的求解中，注意知識(shí)的遷移典例2 觀察下列式子：，根據(jù)以上式子可歸納：_【答案】【解析】因?yàn)?所以=【技巧點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題時(shí)，通常利用歸納推理，其步驟如下：分別歸納各式左、右兩邊的規(guī)律；明確各式左、右

9、兩邊之間的關(guān)系；按歸納出的規(guī)律寫出即可.解決此類問(wèn)題一般需要轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和等.1在九章算術(shù)方田章圓田術(shù)（劉徽注）中指出，“割之彌細(xì)，所失彌少，制之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”注述中所用的割圓術(shù)是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在中“”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過(guò)方程確定出來(lái)，類比上述結(jié)論可得的正值為a1bc2d42古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究了“多邊形數(shù)”，人們把多邊形數(shù)推廣到空間，研究了“四面體數(shù)”，下圖是第一至第四個(gè)四面體數(shù).（已知）觀察上圖，由此得出第5個(gè)四面體數(shù)為_（用數(shù)字作答）；第個(gè)四面體數(shù)為_.考向二 演繹推理（1）演繹推理是從一般到

10、特殊的推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略.（2）演繹推理的結(jié)論是否正確，取決于該推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正確，因此，分析推理中的錯(cuò)因?qū)嵸|(zhì)就是判斷大前提、小前提和推理形式是否正確.典例3 有一段“三段論”，推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點(diǎn)因?yàn)樵谔幍膶?dǎo)數(shù)值，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)以上推理中a大前提錯(cuò)誤 b小前提錯(cuò)誤 c推理形式錯(cuò)誤 d結(jié)論正確【答案】a【解析】因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以大前提錯(cuò)誤.故選a典例4 甲、乙、丙三人中，一人是教師、一人是記者、一人是醫(yī)生.已

11、知：丙的年齡比醫(yī)生大；甲的年齡和記者不同；記者的年齡比乙小.根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是a甲是教師，乙是醫(yī)生，丙是記者b甲是醫(yī)生，乙是記者，丙是教師c甲是醫(yī)生，乙是教師，丙是記者d甲是記者，乙是醫(yī)生，丙是教師【答案】c【解析】由甲的年齡和記者不同和記者的年齡比乙小可以推得丙是記者，再由丙的年齡比醫(yī)生大，可知甲是醫(yī)生，故乙是教師.故選c.3“四邊形是矩形，四邊形的對(duì)角線相等”補(bǔ)充以上推理的大前提是a正方形都是對(duì)角線相等的四邊形b矩形都是對(duì)角線相等的四邊形c等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形d矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形4某市為了緩解交通壓力，實(shí)行機(jī)動(dòng)車限行政策，每輛機(jī)動(dòng)車每周一到周五都要限行一天

12、，周末（周六和周日）不限行.某公司有，五輛車，每天至少有四輛車可以上路行駛.已知車周四限行，車昨天限行，從今天算起，兩車連續(xù)四天都能上路行駛，車明天可以上路，由此可知下列推測(cè)一定正確的是a今天是周四b今天是周六c車周三限行d車周五限行考向三 直接證明利用綜合法、分析法證明問(wèn)題的策略：（1）綜合法的證明步驟如下：分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等；轉(zhuǎn)化條件，組織過(guò)程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書寫出嚴(yán)密的證明過(guò)程.特別地，根據(jù)題目特點(diǎn)選取合適的證法可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.（2）分析法的證明過(guò)程是：確定結(jié)論與已知條件間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理對(duì)結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到獲得一個(gè)

13、顯而易見的命題即可.（3）實(shí)際解題時(shí)，用分析法思考問(wèn)題，尋找解題途徑，用綜合法書寫解題過(guò)程，或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“已知”(分析)，從“已知”推“可知”(綜合)，雙管齊下，兩面夾擊，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.典例5 已知，求證：.【答案】見解析.【解析】要證，只需要證.，只需要證，即，從而只需要證，只需要證，即，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立【名師點(diǎn)睛】逆向思考是用分析法證明的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜

14、合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證.5在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，.考向四 間接證明1用反證法證明不等式要把握的三點(diǎn)（1）必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面（2）必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證.（3）推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.2反證法的一般步驟用反證法證明命題時(shí)，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過(guò)程.這個(gè)過(guò)程包括下面三個(gè)步驟：（1）反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真

15、；（2）歸謬由“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，得出矛盾；（3）存真由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯(cuò)誤，從而肯定原結(jié)論成立.即反證法的證明過(guò)程可以概括為：反設(shè)歸謬存真.典例6 用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是a自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)b自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)c自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)d自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)【答案】b 【解析】“恰有一個(gè)偶數(shù)”的反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選b.【名師點(diǎn)睛】反證法證明含“至少”、“至多”型命題時(shí)，可減少討論情況，目標(biāo)明確.否定結(jié)論時(shí)需弄清楚結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.需注意“至少有

16、一個(gè)”的否定為“一個(gè)都沒有”，“至多有一個(gè)”的否定為“至少有兩個(gè)”.典例7 若a,b,c均為實(shí)數(shù)，.求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.【答案】見解析.【解析】設(shè)a、b、c都小于或等于0，即a0，b0，c0，abc0，而abc（x22x）（y24y）（z22z）（x1）2（y2）2（z1）26>0，這與假設(shè)矛盾，即原命題成立.【名師點(diǎn)睛】用反證法，假設(shè)都小于或等于0，推出的值大于0,出現(xiàn)矛盾，從而得到假設(shè)不正確，命題得證.反證法的適用范圍：（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無(wú)限”、“唯一”等詞語(yǔ)的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其

17、逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且滿足ansn2.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列考向五 數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的常見策略：（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，由n=k到n=k1時(shí)等式兩邊變化的項(xiàng)（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，關(guān)鍵是由n=k成立證n=k1時(shí)也成立在歸納假設(shè)后應(yīng)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等加以證明，充分應(yīng)用不等式的性質(zhì)及放縮技巧（3）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決“歸納猜想證明”，是不完全歸納與數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是先由合情推理發(fā)

18、現(xiàn)結(jié)論，然后再證明結(jié)論的正確性.典例8 在用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中：假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，則需證當(dāng)時(shí)，也成立若，則abcd【答案】b【解析】當(dāng)時(shí)，而，所以，故選b【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，考查對(duì)比分析能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，令，根據(jù)求出的表達(dá)式，比較，由此求得的值.典例9 給出下列不等式：，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】觀察不等式左邊最后一個(gè)數(shù)分母的特點(diǎn)：，猜想不等式左邊最后一個(gè)數(shù)的分母為，對(duì)應(yīng)各式右端為，所以，不等式的一般結(jié)論為：.證明：當(dāng)時(shí)顯然成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論

19、成立，即成立，當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.由可知對(duì)任意，結(jié)論都成立.【名師點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)歸納法中：有時(shí)候從變成了，這其中增加了：這些項(xiàng)，不要盲目認(rèn)為是直接從變成了，這一點(diǎn)需要注意區(qū)分.求解時(shí)，（1）根據(jù)所給等式，重點(diǎn)關(guān)注不等式左邊的最后一個(gè)數(shù)的分母和右邊數(shù)的分母，寫出對(duì)應(yīng)的一般結(jié)論；（2）使用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，注意步驟.7已知函數(shù)在處的切線的斜率為1（1）求的值及的最大值；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.1有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)閍大前提錯(cuò)誤 b小前提錯(cuò)誤c推理形式錯(cuò)誤 d非以上錯(cuò)誤2用反

20、證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是a假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度b假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度c假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度d假設(shè)三內(nèi)角都大于60度3用演繹法證明函數(shù)是增函數(shù)時(shí)的小前提是a函數(shù)滿足增函數(shù)的定義b增函數(shù)的定義c若，則d若，則4現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)正方形的某頂點(diǎn)在另一個(gè)正方形的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為，類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為abcd5有一個(gè)奇數(shù)列1，3，5，7，9，現(xiàn)進(jìn)行如下分組：第1組為，第

21、2組為；第3組為；試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與該組的編號(hào)數(shù)n的關(guān)系為a bc d6沈老師告知高三文數(shù)周考的附加題只有6名同學(xué)a，b，c，d，e，f嘗試做了，并且這6人中只有1人答對(duì)了同學(xué)甲猜測(cè)：d或e答對(duì)了；同學(xué)乙猜測(cè)：c不可能答對(duì)；同學(xué)丙猜測(cè)：a，b，f當(dāng)中必有1人答對(duì)了；同學(xué)丁猜測(cè)：d，e，f都不可能答對(duì)若甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)，則此人是a甲 b乙c丙 d丁7設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該橢圓的離心率為，將此結(jié)論類比到雙曲線，得到的正確結(jié)論為a設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為2b設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，

22、為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為4c設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為2d設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的離心率為48a4紙是生活中最常用的紙規(guī)格a系列的紙張規(guī)格特色在于：a0、a1、a2、a5，所有尺寸的紙張長(zhǎng)寬比都相同在a系列紙中，前一個(gè)序號(hào)的紙張以兩條長(zhǎng)邊中點(diǎn)連線為折線對(duì)折裁剪分開后，可以得到兩張后面序號(hào)大小的紙，比如1張a0紙對(duì)裁后可以得到2張a1紙，1張a1紙對(duì)裁可以得到2張a2紙，依此類推這是因?yàn)閍系列紙張的長(zhǎng)寬比為：1這一特殊比例，所以具備這種

23、特性已知a0紙規(guī)格為84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.11.41，那么a4紙的長(zhǎng)度約為a厘米b厘米c厘米d厘米9甲、乙、丙、丁四名同學(xué)組成一個(gè)4100米接力隊(duì)，老師要安排他們四人的出場(chǎng)順序，以下是他們四人的要求.甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；?。喝绻也慌艿诙簦揖筒慌艿谝话?老師聽了他們四人的對(duì)話，安排了一種合理的出場(chǎng)順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定在老師安排的出場(chǎng)順序中跑第三棒的人是a丁 b乙c丙 d甲10我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是

24、數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前55項(xiàng)和為a4072b2026c4096d204811利用數(shù)學(xué)歸納法證明“ 且”的過(guò)程中，由假設(shè)“”時(shí)成立，推導(dǎo)“”時(shí)也成立時(shí)，該不等式左邊的變化是a增加b增加c增加并減少d增加并減少12若，都是正整數(shù)，且，則由下列不等式：；歸納推廣出一個(gè)一般不等式為_13求“方程的解”有如下解題思路：設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，所以原方程有唯一解.類比上述解題思路，方程的解集為_.14已知的內(nèi)角，對(duì)應(yīng)的邊分別為，三邊互不相等，且滿足.（1）比較與的大小，并證明你的結(jié)論；（2）求證：不可能是鈍角.15已知

25、函數(shù)，.（1）用分析法證明：；（2）證明：.16在正整數(shù)集上定義函數(shù)，滿足，且（1）求證：；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使，對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論1【2019年高考全國(guó)i卷理數(shù)】古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是a165 cmb175 cmc185 cmd190 cm2【2019年高考全國(guó)ii卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號(hào)探

26、測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上設(shè)地球質(zhì)量為m，月球質(zhì)量為m，地月距離為r，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為abcd3【2019年高考北京卷理數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述兩顆星的星等與亮度滿足m2m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為ek（k=1，2）已知太陽(yáng)的星等是

27、26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為a 1010.1b 10.1c lg10.1d 1010.14【2017年高考全國(guó)ii卷理數(shù)】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)根據(jù)以上信息，則a乙可以知道四人的成績(jī)b丁可以知道四人的成績(jī)c乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)d乙、丁可以知道自己的成績(jī)5【2017年高考北京卷理】袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)

28、球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則a乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 b乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 c乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 d乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多6【2016年高考新課標(biāo)ii卷理】有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 .7【2019年高考全國(guó)ii卷理數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正

29、方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_（本題第一空2分，第二空3分）變式拓展1【答案】c【解析】由題意可得，解得故選c【名師點(diǎn)睛】本題考查了推理與證明中的類比推理，屬中檔題.2【答案】35；【解析】觀察可得，第一個(gè)四面體數(shù)為1；第二個(gè)四面體數(shù)為；第三個(gè)四面體數(shù)為；第四個(gè)四面體數(shù)為；由此可歸納，第個(gè)四面體數(shù)為，即為，設(shè)該式中的每個(gè)數(shù)從左至右的排列為數(shù)列，即為1

30、，3，6，10，得到遞推關(guān)系為，相加后得，故數(shù)列的和 ，當(dāng)時(shí)，.故答案為：35；.【名師點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，累加法求通項(xiàng)，分組法數(shù)列求和，考查圖形分析能力，邏輯推理能力，找到數(shù)字的演變規(guī)律是解題關(guān)鍵.求解時(shí)，通過(guò)觀察圖形，先將圖形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，相鄰的數(shù)字差分別是3，6，10，即第項(xiàng)應(yīng)為，那么就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的和，為1，3，6，10，根據(jù)這些數(shù)字可以發(fā)現(xiàn)， ， ，利用累加法可以得到，再利用題目所給已知，求出前項(xiàng)和，即為第個(gè)四面體數(shù)，當(dāng)時(shí)，即為第5個(gè)四面體數(shù).3【答案】b【解析】根據(jù)題意，用演繹推理即三段論形式推導(dǎo)一個(gè)結(jié)論成立，大前提應(yīng)該是結(jié)論成立的依據(jù)，由四邊形是矩

31、形，得到四邊形的對(duì)角線相等的結(jié)論，大前提一定是矩形都是對(duì)角線相等的四邊形，故選b【名師點(diǎn)睛】本題考查演繹推理的定義，關(guān)鍵是掌握演繹推理的形式，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，用三段論的形式分析即可得答案4【答案】a【解析】首先考查選項(xiàng)a：若今天是周四，五輛車分別在周一、周三、周二、周五、周四，滿足題意，據(jù)此可排除b，c，d，故選a【名師點(diǎn)睛】本題主要考查推理案例的處理方法，特殊值法處理選擇題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1），解得，同理解得，即. （2）要證時(shí)，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證， 根據(jù)基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立

32、.所以原不等式成立【名師點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題求解時(shí)，（1）推導(dǎo)出，解得，從而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需證，只需證，只需證，根據(jù)基本不等式即可得到結(jié)果6【答案】（1）；（2）見證明.【解析】（1）當(dāng)n1時(shí)，a1s12a12，則a11.又ansn2，所以an1sn12，兩式相減得，所以an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）(反證法)假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rn*)，則2aq1ap1+ar1，即，所以2·2rq2rp1.又因?yàn)閜qr，rn*

33、，所以rq，rpn*.所以式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立所以假設(shè)不成立，原命題得證【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查反證法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.求解時(shí)，（1）利用項(xiàng)和公式求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）利用反證法證明.7【答案】（1），；（2）見證明.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)榍髮?dǎo)數(shù)，得由已知，得，即，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得極大值，該極大值即為最大值，.（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即那么，由（1），知（，且）令，則，即當(dāng)時(shí)，不等式也成立根據(jù)，可知不等式對(duì)任意都成立【名師點(diǎn)睛】本題主要考查

34、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力，難度較大.求解時(shí)，（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用即可求出的值，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的增減性，于是求得最大值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立；驗(yàn)證時(shí)，不等式成立即可.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】a【解析】在推理過(guò)程“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”中，直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線為大前提，由線面平行的性質(zhì)易得直線平行于平面，則直線可與平面內(nèi)的直線可能平行、也可能異面，這是一個(gè)假命題，故這個(gè)推理過(guò)程錯(cuò)誤的原因是：大前提錯(cuò)誤.

35、故選a【名師點(diǎn)睛】由三段論的一般模式，可得結(jié)論.三段論是演繹推理的一般模式：（1）大前提已知的一般原理；（2）小前提所研究的特殊情況；（3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷.2【答案】d【解析】根據(jù)反證法的步驟可知，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)也沒有”即“三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60度”，故選d【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了反證法的概念，以及命題的否定的應(yīng)用，著重考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)反證法的定義，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，即可求得，得到答案.3【答案】a【解析】證明函數(shù)是增函數(shù)，依據(jù)的原理是增函數(shù)的定義，因此，用演繹法證明函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，大前提是

36、：增函數(shù)的定義；小前提是函數(shù)滿足增函數(shù)的定義.故選a.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查演繹推理，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.大前提提供了一個(gè)一般性的原理，小前提提出了一個(gè)特殊的對(duì)象，兩者聯(lián)系，即可得出結(jié)果.【名師點(diǎn)睛】（1）歸納推理和演繹推理會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是由合情推理的性質(zhì)決定的，但演繹推理出現(xiàn)錯(cuò)誤，有三種可能，一種是大前提錯(cuò)誤，第二種是小前提錯(cuò)誤，第三種是邏輯結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤（2）在使用三段論推理證明中，如果命題是錯(cuò)誤的，則可能是“大前提”錯(cuò)誤，也可能是“小前提”錯(cuò)誤，也可能是邏輯錯(cuò)誤.仔細(xì)分析“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的推理過(guò)程，不難得到結(jié)論

37、4【答案】c【解析】由題意，因?yàn)橥粋€(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊的部分的面積恒為，類比到空間中由兩個(gè)棱長(zhǎng)均為的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體的重疊部分的體積為，故選c.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)類比推理出正方體的性質(zhì)特征，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了推理與論證能力求解時(shí)，根據(jù)正方形中，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊的部分的面積恒為，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，即可類比推理出兩個(gè)正方體重疊部分的體積，得到答案5【答案】b【解析】由題意可得，第一組數(shù)字之和為；

38、第二組數(shù)字之和為；第三組數(shù)字之和為，依次類推，按照規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和為.故選b.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，對(duì)于合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).由題意可得，第一組數(shù)字之和為；第二組數(shù)字之和為；第三組數(shù)字之和為，觀察規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和與其組的編號(hào)數(shù)之間的關(guān)系.6【答案】d【解析】若甲猜對(duì)，則乙也猜對(duì)，與題意不符，故甲猜錯(cuò)；若乙猜

39、對(duì)，則甲或丙猜對(duì)，與題意不符，故乙猜錯(cuò)；若丙猜對(duì)，則乙猜對(duì)，與題意不符，故丙猜錯(cuò)；甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜對(duì)，丁猜對(duì)故選d【名師點(diǎn)睛】本題考查推理能力，考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查命題的真假判斷及應(yīng)用，是中檔題求解時(shí)，分別假設(shè)甲對(duì)、乙對(duì)、丙對(duì)、丁對(duì)，由已知條件進(jìn)行推理，由此能求出結(jié)果7【答案】c【解析】對(duì)于雙曲線而言，排除a，b由，得，故選c【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和雙曲線離心率的計(jì)算，考查類比推理，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.求解時(shí)，先排除a，b，再根據(jù)求出雙曲線的離心率得解.8【答案】c【解析】由題意，a0紙的長(zhǎng)

40、與寬分別為118.9厘米，84.1厘米，則a1紙的長(zhǎng)為，a2紙的長(zhǎng)為，a3紙的長(zhǎng)為，a4紙的長(zhǎng)為29.7（厘米）故選c.【名師點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意正確找出圖形變化過(guò)程中存在的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.9【答案】c【解析】由題意知，乙、丙均不跑第一棒和第四棒，則跑第三棒的人只能是乙、丙中的一個(gè)，當(dāng)丙跑第三棒時(shí)，乙只能跑第二棒，這時(shí)丁是第一棒，甲是第四捧，符合題意，當(dāng)乙跑第三棒時(shí)，丙只能跑第二棒，丁只能跑第四棒，甲跑第一捧，不符合題意，故跑第三棒的人是丙，故答案為丙.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查推理案例，屬于難題.推理案例的題型是高考命題的熱點(diǎn)，由于條件較多，做題時(shí)往往感到不知從哪里找到

41、突破點(diǎn)，解答這類問(wèn)題，一定要仔細(xì)閱讀題文，逐條分析所給條件，并將其引伸，找到各條件的融匯之處和矛盾之處，多次應(yīng)用假設(shè)、排除、驗(yàn)證，清理出有用“線索”，找準(zhǔn)突破點(diǎn)，從而使問(wèn)題得以解決.10【答案】a【解析】由題意可知：每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為sn2n1，若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則tn，可得當(dāng)n10，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為55，則楊輝三角形的前12項(xiàng)的和為s122121，則此數(shù)列前55項(xiàng)的和為s12234072，故選a【名師點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合楊輝三角形的系數(shù)與

42、二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列等差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大求解時(shí)，利用n次二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x1得到對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可11【答案】d【解析】時(shí)，不等式為；時(shí)，不等式為，比較可得，增加并減少.故選d【名師點(diǎn)睛】用數(shù)學(xué)歸納法寫遞推式時(shí)，要注意從到時(shí)系數(shù)k對(duì)表達(dá)式的影響，防止出錯(cuò)的方法是依次寫出和的表達(dá)式，對(duì)比增項(xiàng)是什么，減項(xiàng)是什么即可.12【答案】【解析】利用歸納推理發(fā)現(xiàn)左邊的次冪為，右邊兩項(xiàng)相加，且次冪和為，的次冪呈2倍的關(guān)系，所以.故填：.【名師點(diǎn)睛】歸納推理的一般步驟是兩步，一是通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)

43、某些相同性質(zhì)；二是從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.13【答案】【解析】，即，設(shè)，則在上單調(diào)遞增.又，解得或1，故方程的解集是.故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，結(jié)合題中條件，找出適當(dāng)?shù)囊?guī)律即可，屬于?？碱}型.求解時(shí)，先由得到，構(gòu)造，進(jìn)而得出結(jié)果.14【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）大小關(guān)系為.證明如下：要證，只需證，由題意知，只需證，（已知條件）故所得大小關(guān)系正確.（2）假設(shè)是鈍角，則，而，這與矛盾，故假設(shè)不成立.所以不可能是鈍角.【名師點(diǎn)睛】本題考查分析法與反證法，考查基本求證能力，屬基本題.求解時(shí)，（1）利用分析法，將所證不等式轉(zhuǎn)化為已知條件，即得結(jié)論；（2）利用反證法，先假設(shè)，再結(jié)合余弦定理得矛盾，即否定假設(shè)即得結(jié)論.15【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）由，得，要證，只需證，只需證， 只需證，因?yàn)楹愠闪ⅲ?所以成立.（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以由（1）得.【思路點(diǎn)撥】（1）要證原不等式成立，先將函數(shù)的表達(dá)式代入原不等式，兩邊乘以，可以得到一個(gè)