矩陣相似的若干判別法及應(yīng)用

1、 本 科 生 畢 業(yè) 論 文矩陣相似的若干判別法及應(yīng)用 學 號： 2011562010 姓 名： 邵 坷 年 級： 2011級本科班 系 別： 數(shù)學系 專 業(yè)： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 指導教師： 由金玲 完成日期： 2015 年4月30日 承 諾 書我承諾所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計）是本人在指導教師指導下進行研究工作所取得的研究成果.據(jù)我查證,除了文中特別加以標注的地方外,論文中不包含他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果.若本論文（設(shè)計）及資料與以上承諾內(nèi)容不符,本人愿意承擔一切責任. 畢業(yè)論文（設(shè)計）作者簽名： 日期： 年 月 日 目 錄摘 要IAbstractII前 言1第一章 基本概念21.1 矩陣2

2、1.1.1 矩陣的概念2 1.1.2 矩陣的性質(zhì)21.2 矩陣相似3 1.2.1 矩陣相似的概念3 1.2.2 矩陣相似的性質(zhì)4第二章 矩陣相似的判別52.1 特征值與特征向量法判定5 2.1.1 特征值和特征向量的定義及求法5 2.1.2 特征值和特征向量的基本性質(zhì)與矩陣相似的判定52.2 用初等變法換判定82.3 應(yīng)用分塊矩陣相似判定10第三章 矩陣相似的應(yīng)用133.1 利用相似變換把方陣對角化133.2 矩陣相似性質(zhì)的簡單應(yīng)用133.3 矩陣相似在實際生活中的應(yīng)用14結(jié) 論16參考文獻17致 謝18黑河學院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）摘 要相似矩陣是高等代數(shù)課程范圍內(nèi),一個很重要的基本問題,并且

3、矩陣相似是矩陣中很重要的一種關(guān)系. 本文從矩陣的基本理論出發(fā),以定性分析法,以綜述的形式總結(jié)了幾個重要的判定矩陣相似的定理和結(jié)論.通過矩陣的特征值與特征向量、矩陣的對角化、可逆矩陣、矩陣的初等變換和分塊矩陣對矩陣相似進行判別,并運用例證對每一種判別法加以說明;另外,還對相似矩陣的一些應(yīng)用進行了介紹,以便對矩陣的相似有更進一步的了解.關(guān)鍵詞：特征值;特征向量;相似矩陣;判別;分塊矩陣 AbstractThe similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the advanced algeb

4、ra. In addition, the similarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes. This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vector, the diagonalization

5、 of matrix, the invertible transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the understanding.Keywords: E

6、igen value;Eigen vector;Similarity of matrix; Distinguish;Partitioned matrix不要刪除行尾的分節(jié)符，此行不會被打印II 黑河學院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）前 言在數(shù)學中,矩陣就是一個平面上的數(shù)陣,矩陣理論的起源可追溯到18世紀,在以后的發(fā)展中，又相應(yīng)的產(chǎn)生了許多理論知識,例如初等矩陣,矩陣的秩,矩陣的特征值與特征向量等.其中，矩陣相似理論也是在矩陣的發(fā)展之后才進一步發(fā)展和應(yīng)用的起來的.矩陣相似的好處很多,最大的好處是通過相似可以讓任何一個矩陣變?yōu)槿舢敇藴市?相似矩陣間有很多相同的性質(zhì),比如秩,矩陣對應(yīng)的行列式,跡（對角線元素之

7、和）,特征值,特征多項式,初等因子都相同.一個矩陣很重要的一點就是它的特征值,通過相似變換,可以轉(zhuǎn)而研究一個結(jié)構(gòu)簡單得多的矩陣的特征值的性質(zhì).利用矩陣相似的一些性質(zhì)，可以讓我們在解決一些特殊和復(fù)雜的問題時更加的簡便,而且矩陣相似在實際生活中同樣有著巨大的作用.本文主要介紹了矩陣的各種性質(zhì)和特點,什么是矩陣相似,以及矩陣相似的判斷和矩陣相似的一些應(yīng)用.在第一章中,我們主要介紹了矩陣以及由它延伸出來的相關(guān)理論知識,例如矩陣的相似及它的一些簡單的性質(zhì);在第二章中,著重介紹和總結(jié)了矩陣相似的三種判別方法.借助矩陣的特征值與特征向量將矩陣對角化，進而來對矩陣進行相似的判別，是對相似矩陣性質(zhì)的綜合運用，理

8、論及方法都較為簡單便于理解和掌握；初等變換法邏輯性強、理論系統(tǒng)；利用分塊矩陣判別矩陣的相似，是對特型矩陣相似的一種判別法，較為簡潔，但有局限性.第一章 基本概念1.1 矩陣 矩陣是現(xiàn)代數(shù)學中極其重要、應(yīng)用非常廣泛的一個重要內(nèi)容.利用這一數(shù)學工具,可以把所研究的多數(shù)據(jù)、多數(shù)量關(guān)系的問題化成簡明的易于理解和分析的形式.1.1.1 矩陣的概念 定義1.1 由排成的的數(shù)表們把它稱行列陣,簡陣,其稱為陣的第第列素;如果陣的行和數(shù)相等,則我也把陣叫做方. 定義1.2 如果一矩的元全為,我們就之為矩,記,我們也可以簡單的記為. 定義1.3 如果方陣中的元素能夠滿足條件,則我們就把方陣叫做對角陣. 定義1.4

9、 如果一個矩陣除了主對角線上的元素,別的元素都是,且主對角線是的元素我們把它稱之為級單位矩陣,記作,一般情況下簡寫為.1.1.2 矩陣的性質(zhì) 定義1.5 設(shè),那么矩陣,其中 (1-1)們將其稱之與的乘,記為. 注意,在乘法預(yù)算中方陣,要求前面方陣的行與后面方陣的列數(shù)位相同 定義1.6 由方陣中的元素保持其原來相對的位置不變而構(gòu)成的行列式稱為方陣的行列式,記作或. 定義1.7 對于數(shù)域上的階方陣,如果滿足,則我們稱其為非退化的;反之我們稱它為退化的. 義1.8 對于級方陣,如果有一個級方陣,使得 (1-2)成立,我們就稱方陣是可逆的,這里的是級單位矩陣.我們就方是可的,這里的是級位矩. 義1.9

10、 如果有級方陣適合（1-2）,那么我們就把方陣叫做方陣的逆矩陣,記作. 引理1.1 是階方陣可逆的充要條件. 定義1.10 設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式,則矩陣就是矩陣的伴隨矩陣.定理1.1 如果方陣是非退化的,那么它是可逆的;反之方陣可逆,則它也一定是非退化的有 (). (1-3) 定義1.11 矩陣的行秩是指以矩陣每一行的元素作為行向量而構(gòu)成的行向量組的秩;矩陣的列秩是指以矩陣每一列的元素作為列向量而構(gòu)成的列向量組的秩. 定理1.2 矩陣的行秩和列秩相等. 因為矩陣的行秩和列秩相等,所以我們將行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩,矩陣的秩記為. 1.2 矩陣相似 相似的矩陣有很多共同的性質(zhì),所以只要從與

11、相似的矩陣中找到一個特別簡單的矩陣,只需通過對這個簡單矩陣性質(zhì)的研究就可以知道的性質(zhì).1.2.1 矩陣相似的概念 定義1.121 有,方陣在數(shù)域上,若是上有階可逆方陣使等式：成立,那么就說與相似,并且寫作 定義1.131 設(shè)是數(shù)域上的多項式,以為元素的矩陣稱為矩陣. 記表示數(shù)域的矩陣的全體）. 定義1.14 方陣上的相似關(guān)系與數(shù)域上的階方陣之間的關(guān)系是互推的,對任何,存在集合則我們可稱矩陣形成的相似等價類.1.2.2 矩陣相似的性質(zhì)性質(zhì)1.1 反身性：由于所以每一個級方陣都是和自己相似的.即.性質(zhì)1.2 對稱性：如果,那么 ;如果 ,那么有,使 令 就有 所以. 性質(zhì)1.3 傳遞性：如果,那么

12、.事實上,由和得 （2-1）由等式可知,對于維向量空間上的兩個線性變換的基它們相似.矩陣相似還有具有如下一些性質(zhì).（1）相似矩陣的行列式相等;（2）相似矩陣有相同的秩;（3）相似矩陣有相同的可逆性,且它們可逆時,它們的逆矩陣也相似;（4）相似矩陣的冪仍相似;（5）相似矩陣有相同的特征值.第二章 矩陣相似的判別研究矩陣相似的好處很多,最大的好處是通過相似變換可以讓任何一個矩陣變?yōu)槿舢敇藴市?若當標準型是盡可能最簡單的一種矩陣,這種矩陣在運算上有許多方便之處.另一種好處是矩陣相似有許多相同的屬性,這樣可以將對形式復(fù)雜矩陣的研究轉(zhuǎn)化為對簡單形式矩陣的研究.本章給出三種判別矩陣相似的方法.2.1 特征

13、值與特征向量法判定矩陣的特征值與特征向量作為一個極為重要的數(shù)學概念,它在數(shù)學中有著最為廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用特征值與特征向量將矩陣對角化,進而做矩陣相似的判斷,是較為常用的、基本的判別矩陣相似的方法.2.1.1 特征值和特征向量定義及求法矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)中的兩個基本概念,是判定矩陣相似的工具之一. 定義2.11 我們假設(shè)為階方陣,如果有復(fù)數(shù)及維非零列向量得 (1-1)或者 (1-2)那么把看作是的特征向量,而則是的特征向量. 求階矩陣的特征值與特征向量有一般如下步驟： 第一步：我們應(yīng)先求出矩陣的特征多項式; 第二步： 那么接下來我們應(yīng)需要知道的所有根值并且便是矩陣的所有特征值; 假如

14、是特征方程的單根,則稱為的單特征值;若是是特征方程的重根,那么的重特征值是,并且的重數(shù)是. 第三步：對的相異特征值中的每個特征值,再求得齊次線性方程組 (1-3)的一個基礎(chǔ)解系,則有即為對應(yīng)于特征值的特征空間的一個基,則有的屬于的全部特征向量為其中是不全部為零的任意常數(shù).2.1.2 特征值和特征向量的基本性質(zhì)與矩陣相似的判定 性質(zhì)2.1 設(shè)的全部特征值為,則存在著 在這里咱們可以利用性質(zhì)1.3.1去簡化特征值的問題的一些相關(guān)的運算. 性質(zhì)2.2 如果是方陣的特征值,是相應(yīng)的特征向量矩陣,然后任意正整數(shù),有是的特征值的特征向量且特征值為. 性質(zhì)2.3 假使是可逆矩陣的一個特征值,若為的一個特征值

15、,且為的一個特征值. 性質(zhì)2.4 如果有是方陣的相互存在差別的特征值的特征向量,那么存在著線性無關(guān)的向量組.并且,如果的線性無關(guān)特征向量為,那么向量組為線性無關(guān). 性質(zhì)2.5 假使是方陣的重特征值,那么有不多過的個數(shù)的性無關(guān)的特征向量.下圖為特征值與特征向量的一些結(jié)論特征值對應(yīng)特征向量 定理2.16 設(shè)存在著兩個階的方陣與,它們有個互不相同的特征值,并且它們兩個的特征值是完全一樣的,那么則矩陣與矩陣相似. 證明 假使是的個互不相同的特征值,那么存在著可逆的 方陣,使得 又因為方陣的特征值也是,那么則會有可逆矩陣,使得 所以. 而,即存在可逆矩陣,使得,而矩陣與矩陣相似. 定理2.2 存在著階方

16、陣,且它的每一個重特征值,能使得秩那么相似于對角矩陣,否則不相似. 例2.1 證明矩陣與相似. 解 的特征多項式為 所以的全部特征值為 的屬于特征值的全部特征向量分別為 .若令,則有,而的特征值為所以的全部特征值為的屬于特征值的特征向量為 令,則有.顯然,記,有,所以與相似. 例題2.2 證明下方矩陣是否相似于對角矩陣.(1) (2) 解 （1）由于,所以的特征值是（重數(shù)), (重數(shù)).又由, 可知矩陣相似于對角矩陣. （2）因為,所以的特征值是（重數(shù)）,又由于,故不相似于對角陣. 2.2 用初等變換法判定 引理2.1 如果是數(shù)域P上的一個方陣,那么有數(shù)域上的可逆方陣,使得為上三角方陣. 引理

17、2.2 如果,是數(shù)域上的兩個級方陣,那么與相似的充要條件是數(shù)域上會有兩個可逆的方陣,能讓 （1-1）并且與相似時有,使得是在時的左值. 定理2.312 假使,是數(shù)域上的兩個級方陣,那么方陣與相似的充要條件是在數(shù)域上有可逆的矩陣,成立 （1-2）有方陣與相似時有,并且是在時的左值. 證明 充分性：當存在,可逆,我們把（1-2）式兩端同時都在右邊乘上有令,那么可逆,且,由引理2.2可知,與相似. 必要性：可在（1-1）式中讓 那么可得（1-2）式.在與相似時,我們可以通過引理2.2得出,那么是在時的左值. 定理2.46 如果有兩個階矩陣,存在于數(shù)域上,則存在可逆的方陣在數(shù)域上,他們是矩陣與相似的充

18、分必要條件可以使得： （1-3）當方陣與相似時會有有,同時有是在時的左值. 證明 充分性：假使可逆,當我們把（1-3）式兩端同時左乘上得到令 則可逆,并且有由定理2.3得與相似. 必要性: 可以在(1-2)式中讓那么可得(1-3)式.在與相似時,通過引理2.2得,那么是在時的左值.例題2.3 設(shè).判斷與兩個方陣是否相似,并且當相似時求可逆矩陣,使得. 解 所以,與相似.令則令則 故所以2.3 分塊矩陣相似判定 在上一節(jié)我們通過利用矩陣的特征值與特征向量定理研究了矩陣的相似,那么這一小節(jié)我們來了解矩陣中的分塊矩陣是否相似,現(xiàn)有兩個分塊矩陣著和,在著名的Roth（羅斯）定理中表示和相似的一個充要條

19、件是方陣方程 (1-1)有解定理2.510 如果已知有,兩個矩陣,并且有與,那么則是分塊矩陣與相似的充分必要條件. 證明 必要性 已知分塊矩陣,要是它中的和兩個方陣都冪等的,那么它也必然為冪等的方陣.所以如果和相似,那么也是冪等方陣的,也就是=把兩邊矩陣分別展開得到. 充分性 已知和這兩個冪等方陣,因此它們可以分解為 (1-2)把它們代入（1-1）式中,得知 (1-3)我們讓 (1-4)通過（1-4）式可知 (1-5) 那么和是方程有解的充要條件,我們通過（1-2）,（1-4）,則可明確的知道等價于和 所以這兩個方程也等價于.由此可知,在條件下,方程（1-1）有解,所以兩個分塊方陣和相似,證明

20、完畢. 例題2.4 設(shè)存在兩矩陣和,并且其中,求證. 證 因為,且矩陣所以又由于故第三章 矩陣相似的應(yīng)用3.1 利用相似變換把方陣對角化 定義3.1 相對應(yīng)階方陣,假使存在可逆矩陣,讓變?yōu)閷蔷仃?那么我們就稱矩陣可對角化，且可對角化為. 定理3.1 如果階矩陣可對角化,那么它對角矩陣相似. 中存在著個線性無關(guān)的特征向量. 推論3.1 如果階矩陣存在個不同的特征值,那么矩陣與對角矩陣相似. 例題3.1 利用相似變換將矩陣對角化. 解得 當時,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為當時,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為因為所以線性無關(guān),即有個線性無關(guān)的特征向量,所以,利用線性變換,可將矩陣對角化為,即矩陣與矩陣相

21、似.3.2 矩陣相似性質(zhì)的簡單應(yīng)用 應(yīng)用矩陣相似的簡單性質(zhì)我們可以在方陣乘法的運算中可以簡化運算的過程,大量的節(jié)省時間,極大的方便了我們. 例3.2 設(shè) ,求證. 解（1）先算出方陣特征值與特征向量.由所以,的3個互異特征值為故可以對角化,對每個求得分別屬于的特征向量為（2） 令, 有（3） 因為所以 3.3 矩陣相似在實際生活中的應(yīng)用 矩陣相似有許多相同的屬性,如秩矩陣,行列式,微量（對角）,特征值,特征多項式,主要因素是相同的.一個矩陣很重要的一點就是它的特征值.通過相似變換的性質(zhì)特點,可以使復(fù)雜運算變成更加簡單的求值計算. 例3.3 一實驗生產(chǎn)線每年二月為熟練和非熟練工人的數(shù)量統(tǒng)計,然后

22、把熟練工人支持其他生產(chǎn)部門,招募新的非熟練工人完成的空缺.舊的和新的非熟練工人通過培訓和時間,年終考核將有成為熟練的工人.假使過了年在二月份的一次統(tǒng)計中熟練工人與非熟練工人在總?cè)藬?shù)中為百分之與百分之,我們把它寫為向量 （1）求和的關(guān)系式并寫成方陣： （2）求證有這兩個不相關(guān)的特征向量,然后在分別算出他們的特征值; 解 （1）根據(jù)上述已知有化簡得對其用矩陣表示即為于是 （2） 令則由知,這兩個特征向量線性無關(guān).因所以這個特征向量屬于矩陣.并且相應(yīng)的為特征值.因 故為的特征向量,且相應(yīng)的特征值結(jié) 論本文以矩陣及矩陣的性質(zhì)和矩陣相似的一些相關(guān)的性質(zhì)為主要理論依據(jù),從矩陣和矩陣相似的相關(guān)性質(zhì)與應(yīng)用處著

23、手,主要論述了矩陣相似的幾個判別方法,并在第三章中將矩陣相似的一些應(yīng)用展示給了大家,通過將矩陣和矩陣相似的一些相關(guān)理論進行整理分析，找出了它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.同時,在研究過程中,培養(yǎng)了應(yīng)用數(shù)學的意識和能力.運用矩陣相似的性質(zhì)和判別法,解決了幾類較為基本的矩陣相似的應(yīng)用問題.18 參考文獻1 張禾瑞,郝鈵新,張禾瑞郝鈵新編.高等代數(shù)M.北京:高等代數(shù)出版社,2007:327-328.2 馮天祥,李世宏.矩陣的QR分解J.西南民族學院學報,20:4(2001),418-421.3 雷雪萍.高等代數(shù)中一道習題的推廣J.大學數(shù)學,2006,22(4):161-163.4 屠伯塤,四元數(shù)矩陣的UL分解J.復(fù)旦學報（自然科學版）,1988,(2),121-128.5 楊奇;孟道驥 編.線性代數(shù)教程M.南開大學出版社,216-22