一道2014年高考解析幾何試題的探究與推廣

1、    一道2014年高考解析幾何試題的探究與推廣    趙明霞如圖1，已知雙曲線c：x2a2-y2=1（a>0）的右焦點為f，點a，b分別在c的兩條漸近線上，afx軸，abob，bfoa（o為坐標(biāo)原點）.（1）求雙曲線c的方程；（2）過c上一點p（x0，y0）（y00）的直線l：x0xa2-y0y=1與直線af相交于點m，與直線x=32相交于點n.證明：當(dāng)點p在c上移動時，|mf|nf|恒為定值，并求此定值.一、對問題的解答二、對問題作一般化的探究性質(zhì)1：過雙曲線c：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上非頂點的任意一點p（x0，

2、y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=e.證明：如圖2，雙曲線c的右焦點f（c，0），則過點f的通徑所在的直線方程為x=c，右準(zhǔn)線方程為x=a2c，雙曲線c上任意一點p（x0，y0）（y00）的切線方程為同理可證，焦點在其他位置時性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)2.性質(zhì)2：過雙曲線c上非頂點的任意一點p（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=e.三、將雙曲線性質(zhì)類比拓展到橢圓、拋物線性質(zhì)3：過橢圓c：同理，焦點在其他位置時性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)6.性質(zhì)6：過拋物線上非頂點的任意一點p

3、（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=1.四、總結(jié)定理：過圓錐曲線c：ax2+cy2+2dx+2ey+f=0（a2+c20）上非頂點（橢圓非長軸頂點）的任意一點p（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=e.（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint如圖1，已知雙曲線c：x2a2-y2=1（a>0）的右焦點為f，點a，b分別在c的兩條漸近線上，afx軸，abob，bfoa（o為坐標(biāo)原點）.（1）求雙曲線c的方程；（2）過c上一點p（x0，y0）（y00）的直線l：x0xa

4、2-y0y=1與直線af相交于點m，與直線x=32相交于點n.證明：當(dāng)點p在c上移動時，|mf|nf|恒為定值，并求此定值.一、對問題的解答二、對問題作一般化的探究性質(zhì)1：過雙曲線c：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上非頂點的任意一點p（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=e.證明：如圖2，雙曲線c的右焦點f（c，0），則過點f的通徑所在的直線方程為x=c，右準(zhǔn)線方程為x=a2c，雙曲線c上任意一點p（x0，y0）（y00）的切線方程為同理可證，焦點在其他位置時性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)2.性質(zhì)2：過雙曲線c上非

5、頂點的任意一點p（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=e.三、將雙曲線性質(zhì)類比拓展到橢圓、拋物線性質(zhì)3：過橢圓c：同理，焦點在其他位置時性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)6.性質(zhì)6：過拋物線上非頂點的任意一點p（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=1.四、總結(jié)定理：過圓錐曲線c：ax2+cy2+2dx+2ey+f=0（a2+c20）上非頂點（橢圓非長軸頂點）的任意一點p（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=e.（責(zé)

6、任編輯 鐘偉芳）endprint如圖1，已知雙曲線c：x2a2-y2=1（a>0）的右焦點為f，點a，b分別在c的兩條漸近線上，afx軸，abob，bfoa（o為坐標(biāo)原點）.（1）求雙曲線c的方程；（2）過c上一點p（x0，y0）（y00）的直線l：x0xa2-y0y=1與直線af相交于點m，與直線x=32相交于點n.證明：當(dāng)點p在c上移動時，|mf|nf|恒為定值，并求此定值.一、對問題的解答二、對問題作一般化的探究性質(zhì)1：過雙曲線c：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上非頂點的任意一點p（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點

7、n，則|mf|nf|=e.證明：如圖2，雙曲線c的右焦點f（c，0），則過點f的通徑所在的直線方程為x=c，右準(zhǔn)線方程為x=a2c，雙曲線c上任意一點p（x0，y0）（y00）的切線方程為同理可證，焦點在其他位置時性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)2.性質(zhì)2：過雙曲線c上非頂點的任意一點p（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=e.三、將雙曲線性質(zhì)類比拓展到橢圓、拋物線性質(zhì)3：過橢圓c：同理，焦點在其他位置時性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)6.性質(zhì)6：過拋物線上非頂點的任意一點p（x0，y0）的切線與過焦點f的通徑所在的直線交于點m，與焦點f對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點n，則|mf|nf|=1.四、總結(jié)定理：過圓錐曲線c：ax2+cy2+2dx+2ey+