初二數(shù)學(xué)講義：判斷平行四邊形的策略

1、初二數(shù)學(xué)講義判斷平行四邊形的策略在學(xué)習(xí)了 “平行四邊形”這部分內(nèi)容后，對(duì)于平行四邊形的判定問題，可從以下兒個(gè)方面去考慮:一、考慮“對(duì)邊”關(guān)系思路1:證明兩組對(duì)邊分別相等例1如圖1所示，在aabc中，zacb=90° , bc的垂直平分線de交bc于d,交ab于e, f在de上,并且af=ce.求證：四邊形acef是平行四邊形.證明：tde是bc的垂直平分線,df丄bc, db = dc.a zfdb = zacb = 90° dfac . ace = ae 二丄ab.2z1二z2 .乂.efac, af 二 ce = ae ,z2 =z1 =z3 =zf.a aaceaef

2、a.ac = ef .四邊形acef是平行四邊形.思路2：證明兩組對(duì)邊分別平行例2己知：如圖2,在aabc中，ab = ac, e是ab的中點(diǎn)，d在bc上，延長(zhǎng)ed到f,使ed二df二eb.連結(jié)fc.c求證：四邊形aefc是平行四邊形.證明：vab=ac, zb 二zacb.ted = eb, a zb =zedb.a zacb =zedb. aef/ac.te是ab的中點(diǎn),abd = cd.v zedb =zfdc, ed = df,/. aedbafdc. a zdeb =zf.abcf.四邊形八efc是平行四邊形. 思路3：證明一組對(duì)邊平行h.相等例3如圖3,已知平行四邊形abcd中，e

3、、f分別是ab、cd上的點(diǎn)，ae = cf, m、n分別是de、bf的中占i 八、求證：四邊形enfm是平行四邊形.證明：四邊形abcd是平行四邊形,aad = bc, za =zc 又 tae = cf, aaadeacbf.az1 =z2, de = bf .m、n分別是de、bf的中點(diǎn),em = fn .dcab, z.z3 =z2.az1 =z3. em fn .四邊形enfm是平行四邊形.二、考慮“對(duì)角”關(guān)系思路：證明兩組對(duì)角分別相等例4如圖4,在止方形abcd中，點(diǎn)e、f分別是ad、bc的中點(diǎn).求證：(1) aabeacdf；(2)四邊形bfde是平行四邊形.證明：(1)在正方形

4、abcd 中，ab = cd, ad = bc, za =zc =90° , vae 二丄 ad, cf 二丄bc,2 2ae 二 cf. a aabeacdf.(2)山(1) abeacdf 知，z1 =z2, z3 二z4.a zbed =zdfb.在正方形abcd中，zabc二zadc,a zebf =zedf.四邊形bfde是平行四邊形.三、考慮“對(duì)和線”的關(guān)系思路：證明兩條對(duì)角線相互平分例5如圖5,在平行四邊形abcd中,pi、p2是對(duì)角線bd的三等分點(diǎn).求證：四邊形apcp2是平行四邊形.（圖5）證明：連結(jié)ac交bd于0.四邊形abcd是平行四邊形,a0a 二 0c, 0

5、b 二 0d.vbpi = dp2 , a op, = op2 .四邊形ap1cp2是平行四邊形.平行四邊形的識(shí)別淺析平行四邊形是初中數(shù)學(xué)中的基本圖形，正確識(shí)別平行四邊形，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)矩形、菱形和正方形的基礎(chǔ)。 識(shí)別平行四邊形是利川邊、介和對(duì)角線的特點(diǎn)，而h只需要兩個(gè)條件，為了更加清楚哪些條件能或不能識(shí)別 平行四邊形，我們把這些條件總結(jié)如下。1利用定義或定理直接識(shí)別平行四邊形1. 1兩組對(duì)邊分別平行,如圖1,abcd,adbc。1. 2兩組對(duì)邊分別相等,如圖1, ab=cd, ac=bco1.3兩組對(duì)角分別相等，如圖 1, zabozadc, zbad=zbcdo1. 4 一組對(duì)邊平行且相等,

6、如圖1, abcd, ab二cd。1. 5兩條對(duì)角線互相平分,如圖1, oa=oc, 0b=0doa zadc +2利用定義和定理間接識(shí)別平行四邊形2. 1 組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等，如圖1, abcd, zabc=zadco證明：*. ab/cd zabc+zbcd二 180° 又tzabc二zadczbcd=180° adbc .四邊形abcd是平行四邊形（兩組対邊分別平行）2. 2 紐對(duì)邊平行且兩條對(duì)角線交點(diǎn)平分一條對(duì)角線，如圖1, abcd, 0a二0c。證明：.abcd a zbac=zdc a在 zlaob 和 /cod 中，zbac=zdca , oa=oc

7、, za0b=zc0dna0b9 zcod （asa） .ab=cd 四邊形abcd是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等）2. 3兩組鄰角互補(bǔ)，而且兩組鄰角要佇一個(gè)公共角，如圖 1, zdab+zabc=180° , zabc+zbcd=180°。證明： zdab+zabc=180° .adbc 乂t zabc+zbcd=180°abcd四邊形abcd是平行四邊形（兩組對(duì)邊平行）3不能識(shí)別為平行四邊形3. 1兩組不同的鄰角互補(bǔ)，如圖 2, za+zb=180° , zc+zd=180°，可以畫出梯形。3.2識(shí)別平行以邊形的條件涉及的邊、角

8、相等關(guān)系都是對(duì)邊對(duì)角，涉及鄰邊鄰角 相等的都不能做為平行四邊形識(shí)別的條件。兩組鄰邊相等，如圖3, ab二ad,cb二cd,不一定是平行四邊形。兩對(duì)鄰允相等，如圖4, za=zd, zb=zc,可以畫出acc等腰梯形。圖43. 3 一組對(duì)邊平行h-另一組對(duì)邊相等, 如圖4, adbc, ab二cd,也可以畫出等腰梯形。3. 4 組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等，不一定是平行四邊形。反例作圖方法，如圖5：作zabc,在邊ba上 確定點(diǎn)a,在邊bc上確定點(diǎn)c,過點(diǎn)a、b、c作（d01,以點(diǎn)c為圓心，以線段ab長(zhǎng)為半徑作。c,以ac為 弦作001的等圓002,交。c t d、e兩點(diǎn)，則四邊形abcd為平行四邊形，而四邊形abce即為符合條件的非平行四邊形，即ab二ce, zabc二zaec。3. 5 一組對(duì)邊相等，對(duì)角線交點(diǎn)平分一條對(duì)角線，不一定是平行四邊形。 反例作圖方法，如圖6：作線段ab,過線段ab的中點(diǎn)0作直線cd,過 點(diǎn)b作be丄cd,垂足為e,以點(diǎn)e為圓心，小于