例析列不等式（組）解應(yīng)用題

1、    例析列不等式（組）解應(yīng)用題    葛余常新課程目標(biāo)指出，“要初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)”.近幾年來(lái)中考試題中不斷出現(xiàn)各種新型的實(shí)際應(yīng)用題，就是這一思想的具體體現(xiàn).本文現(xiàn)介紹用不等式（組）來(lái)解答應(yīng)用題，并作歸類分析.一、不等關(guān)系明確型題目中反映某些量的關(guān)系由表示不等關(guān)系的詞、句連接而成，這類應(yīng)用題不妨視為不等關(guān)系明確型.例1（2007年·南充）某商店需要購(gòu)進(jìn)一批電視機(jī)和洗衣機(jī)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，決定電視機(jī)進(jìn)貨量不少于洗衣機(jī)的進(jìn)貨量的一半電視機(jī)與洗衣機(jī)的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如

2、下表.計(jì)劃購(gòu)進(jìn)電視機(jī)和洗衣機(jī)共100臺(tái)，商店最多可籌集資金161 800元請(qǐng)你幫助商店算一算有多少種進(jìn)貨方案.（不考慮除進(jìn)價(jià)之外的其他費(fèi)用）分析：此題主要考查了列不等式（組）解應(yīng)用題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于找出其中的不等關(guān)系并列出不等式（組）.所以要抓住一些關(guān)鍵詞語(yǔ)如“不超過(guò)”、“超過(guò)”、“不足”、“不大于”、“不小于”等等.解：設(shè)商店購(gòu)進(jìn)電視機(jī)x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)洗衣機(jī)（100x）臺(tái)，根據(jù)題意，得：x（100-x），1 800x+1 500（100-x）161 800.解不等式組，得33x39即購(gòu)進(jìn)電視機(jī)最少34臺(tái)，最多39臺(tái)，商店有6種進(jìn)貨方案評(píng)注：列一元一次不等式（組）解應(yīng)用題的步驟與列一元一次

3、方程（組）解應(yīng)用題步驟類似：要從題意出發(fā)，設(shè)好未知數(shù)后，分析題目中的實(shí)際情境，抓住表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞、句列出不等式（組），再求解集或特殊解，檢驗(yàn)并作答.二、不等關(guān)系隱蔽型有些應(yīng)用題從表面上看沒(méi)有不等關(guān)系，而僅找等量關(guān)系又無(wú)法使得問(wèn)題獲解.例2（2007年·懷化）2007年某縣籌備20周年縣慶，園林部門決定利用現(xiàn)有的3 490盆甲種花卉和2 950盆乙種花卉，搭配a、b兩種園藝造型共50個(gè)，擺放在迎賓大道兩側(cè).已知搭配一個(gè)a種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個(gè)b種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆（1）某校九（1）班課外活動(dòng)小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì)，符合題意

4、的搭配方案有幾種？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái)（2）若搭配一個(gè)a種造型的成本是800元，搭配一個(gè)b種造型的成本是960元，試說(shuō)明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？分析：本題隱含了a、b兩種園藝造型中甲種花卉不多于3 490盆、乙種花卉不多于2 950盆這樣的信息，據(jù)此，可列出不等式組進(jìn)行解答.解：設(shè)搭配a種造型x個(gè)，則b種造型為（50-x）個(gè)，依題意，得：80x+50（50-x）3 490，40x+90（50-x）2 950.解這個(gè)不等式組，得：x33，x31.故31x33.易知x是正整數(shù)，故x可取31，32，33，所以可設(shè)計(jì)三種搭配方案：a種園藝造型31個(gè)，b種園藝造型19個(gè)；a種園藝造型32

5、個(gè)，b種園藝造型18個(gè)；a種園藝造型33個(gè)，b種園藝造型17個(gè)（2）方法一：由于b種造型的成本高于a種造型的成本，所以b種造型越少，成本越低，故應(yīng)選擇方案，成本最低，最低成本為：33×800+17×960=42 720（元）.方法二：方案需成本：31×800+19×960=43 040（元）.方案需成本：32×800+18×960=42 880（元）.方案需成本：33×800+17×960=42 720（元）.應(yīng)選擇方案，成本最低，最低成本為42 720元.評(píng)注：解不等關(guān)系隱蔽型應(yīng)用題時(shí)，獲取數(shù)據(jù)，理解背景，挖掘隱

6、含關(guān)系、理順關(guān)系是關(guān)鍵.解答此類題常通過(guò)解不等式組確定未知量的取值范圍，從而求出未知量的值.這類應(yīng)用題在日常生活中屬常見(jiàn)問(wèn)題，應(yīng)引起特別關(guān)注.此外運(yùn)用不等式（組）解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意等號(hào)是否成立.三、不等關(guān)系比較型有些應(yīng)用題需要間接利用不等式來(lái)比較幾個(gè)量的大小，求解時(shí)常需用分類討論方法，依變量的不同變化范圍，選擇相應(yīng)的合算方案.例3（2007年·資陽(yáng)）某乒乓球訓(xùn)練館準(zhǔn)備購(gòu)買n副某種品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k3）個(gè)乒乓球.已知a、b兩家超市都有這個(gè)品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的標(biāo)價(jià)都為20元，每個(gè)乒乓球的標(biāo)價(jià)都為1元.現(xiàn)兩家超市正在促銷，a超市所有商品均打九折(按原價(jià)的

7、90%付費(fèi))銷售，而b超市買1副乒乓球拍送3個(gè)乒乓球.若僅考慮購(gòu)買球拍和乒乓球的費(fèi)用，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）如果只在某一家超市購(gòu)買所需球拍和乒乓球，那么去a超市還是b超市買更合算？（2）當(dāng)k=12時(shí)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)最省錢的購(gòu)買方案.分析：對(duì)a、b兩家超市的比較，實(shí)質(zhì)上是兩種費(fèi)用的大小比較，因此本題要分三種情況分類討論.由此可運(yùn)用方程和不等式的相關(guān)知識(shí)求解，從而確定出更合算的方案.解：（1）由題意，去a超市購(gòu)買n（n為正整數(shù)）副球拍和kn個(gè)乒乓球的費(fèi)用為0.9（20n+kn）元，去b超市購(gòu)買n副球拍和kn個(gè)乒乓球的費(fèi)用為20n+n（k3）元.由0.9（20n+kn）<20n+n（k3），解得k&g

8、t;10；由0.9（20n+kn）=20n+n（k3），解得k=10；由0.9（20n+kn）>20n+n（k3），解得k<10.故當(dāng)k>10時(shí)，去a超市購(gòu)買更合算；當(dāng)k=10時(shí)，去a、b兩家超市購(gòu)買都一樣；當(dāng)3k<10時(shí)，去b超市購(gòu)買更合算.（2）當(dāng)k=12時(shí)，購(gòu)買n副球拍應(yīng)配12n個(gè)乒乓球.若只在a超市購(gòu)買，則費(fèi)用為0.9（20n+12n）=28.8n（元）；若只在b超市購(gòu)買，則費(fèi)用為20n+（12n-3n）=29n（元）；若在b超市購(gòu)買n副球拍，然后再在a超市購(gòu)買不足的乒乓球，則費(fèi)用為20n+0.9×（12-3）n=28.1n（元）.顯然，28.1n&l

9、t;28.8n<29n.故最省錢的購(gòu)買方案為：在b超市購(gòu)買n副球拍同時(shí)獲得送的3n個(gè)乒乓球，然后在a超市按九折購(gòu)買9n個(gè)乒乓球.評(píng)注：此類集不等式、方程知識(shí)于一體的應(yīng)用題，形式多樣，內(nèi)容豐富.諸如購(gòu)團(tuán)體或個(gè)人門票問(wèn)題，使用不同計(jì)費(fèi)方式的手機(jī)資費(fèi)問(wèn)題等都在生活中有原形.要解決這樣的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型.四、方程與不等式的混合型有些應(yīng)用題，既有等量關(guān)系，又有不等關(guān)系.解這類混合型應(yīng)用題時(shí)，可借助不等關(guān)系來(lái)解不定方程，通過(guò)不定方程的多組解確定最優(yōu)方案或最大效益，這是近幾年較常見(jiàn)的一種中考題型.例4（2007年·濰坊）為改善辦學(xué)條件，北海中學(xué)計(jì)劃購(gòu)買部

10、分a品牌電腦和b品牌課桌第一次，用9萬(wàn)元購(gòu)買了a品牌電腦10臺(tái)和b品牌課桌200張；第二次，用9萬(wàn)元購(gòu)買了a品牌電腦12臺(tái)和b品牌課桌120張（1）每臺(tái)a品牌電腦與每張b品牌課桌的價(jià)格各是多少元？（2）第三次購(gòu)買時(shí)，銷售商對(duì)一次購(gòu)買量大的客戶打折銷售規(guī)定：一次購(gòu)買a品牌電腦35臺(tái)以上（含35臺(tái)），按九折銷售，一次購(gòu)買b品牌課桌600張以上（含600張），按八折銷售學(xué)校準(zhǔn)備用27萬(wàn)元購(gòu)買電腦和課桌，其中電腦不少于35臺(tái)，課桌不少于600張，有幾種購(gòu)買方案？分析：本題由等量關(guān)系列出方程，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式，再分別求解就能使問(wèn)題迎刃而解.解：（1）設(shè)每臺(tái)a品牌電腦m元，每張b品牌課桌n元，則有：

11、10m+200n=90 000，12m+120n=90 000.解得m=6 000，n=150.（2）有兩種方案設(shè)購(gòu)電腦x臺(tái)，課桌y張，x，y為正整數(shù)，則有0.9×6 000x+0.8×150y=270 000，x35，y600.解得35x36，600y675.x=35時(shí)，y=675；x=36時(shí)，y=630方案：購(gòu)電腦35臺(tái)，課桌675張；方案：購(gòu)電腦36臺(tái)，課桌630張?jiān)u注：在涉及多個(gè)未知量且含不等關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題中，往往需要列出方程組、不等式組來(lái)求解，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握這類問(wèn)題的求解方法.綜上可知，運(yùn)用不等式或不等式組的知識(shí)解決問(wèn)題，其基本思路是建立不等式（組）的模型，從實(shí)際問(wèn)題中準(zhǔn)確地找到不等關(guān)系加以