高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：4.3 平面向量的數(shù)量積 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第三節(jié)平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義及長度、角度問題(1)理解數(shù)量積的含義及其物理意義(2)了解向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式及相關(guān)性質(zhì)，并會進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判定兩向量垂直2數(shù)量積的綜合應(yīng)用會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題及其他的一些實(shí)際問題知識點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1兩個向量的夾角(1)定義已知兩個非零向量a和b，作oa，ob，則aob叫作向量a與b的夾角(2)范圍向量夾角的范圍是0°180°，a與b同向時，夾角0°；a與b反向時，夾角180°.(3

2、)向量垂直如果向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作ab.2平面向量數(shù)量積(1)a，b是兩個非零向量，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|·cos 叫作a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b|a|b|·cos .規(guī)定0·a0.當(dāng)ab時，90°，這時a·b0.(2)a·b的幾何意義a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積易誤提醒1兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過移動，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角2在向量數(shù)量積的幾何意義中，

3、投影是一個數(shù)量，不是向量3在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，br，則|ab|a|·|b|，但對于向量a，b卻有|a·b|a|·|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立這是因?yàn)閨a·b|a|·|b|·|cos |，而|cos |1.必記結(jié)論兩向量a與b的夾角為銳角cosa，b>0且a與b不共線；兩向量a與b的夾角為鈍角cosa，b<0，且a與b不共線自測練習(xí)1. 已知向量a，b滿足|a|1，|b|4，且a·b2，則a與b的夾角為()a. b.c. d.解析：向量a，b滿足|a|1，|b|4，且a·b2，設(shè)a與b的夾角為，則cos

4、 ，.答案：c2已知a，b為單位向量，其夾角為60°，則(2ab)·b()a1 b0c1 d2解析：(2ab)·b2a·bb22|a|·|b|·cosa，b|b|22×1×1×cos 60°10.答案：b3已知|a|4，|b|3，a與b的夾角為120°，則b在a方向上的投影為()a2 b.c2 d解析：b在a方向上的投影為|b|cos 120°.故選d.答案：d知識點(diǎn)二數(shù)量積的性質(zhì)及坐標(biāo)運(yùn)算1向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)如果e是單位向量，則a·ee·a|a|co

5、sa，e(2)aba·b0.(3)a·a|a|2，|a|.(4)cosa，b.(5)|a·b|a|b|.2數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·bb·a.(2)分配律：(ab)·ca·cb·c.(3)對r，(a·b)(a)·ba·(b)3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a·b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|x1x2y1y2|易

6、誤提醒1實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若bcca，c0，則有ba.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若a·ba·c(a0)，則不一定得到bc.2實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線自測練習(xí)4已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則_.解析：mn(23,3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，(mn)·(mn)(23,3)

7、·(1，1)0，從而3.答案：35已知向量a與b的夾角為120°，|a|1，|b|3，則|5ab|.解析：由a·b|a|·|b|cosa，b1×3×cos 120°，得|5ab| 7.答案：7考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算|1(2015·高考全國卷)向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)·a()a1 b0c1 d2解析：a(1，1)，b(1,2)，(2ab)·a(1,0)·(1，1)1.答案：c2(2015·高考山東卷)已知菱形abcd的邊長為a，abc60°，則

8、·()aa2 ba2c.a2 d.a2解析：在菱形abcd中，所以·()···a2a×a×cos 60°a2a2a2.答案：d3如圖，ab是半圓o的直徑，c，d是弧ab的三等分點(diǎn)，m，n是線段ab的三等分點(diǎn)，若oa6，則·_.解析：法一：因?yàn)?#183;()·()····|·|cos 180°|·|cos 60°|·|·cos 60°|·|·cos 60°4

9、661826.法二：以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab所在的直線為x軸，ab的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則m(2,0)，n(2,0)，c(3,3)，d(3，3)，所以(1,3)，(1,3)，·12726.答案：26向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b|a|b|cosa，b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a·bx1x2y1y2.考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用|平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題歸納起來常見的命題探

10、究角度有：1平面向量的模2平面向量的夾角3平面向量的垂直探究一平面向量的模1(2015·太原一模)已知向量e1，e2是夾角為45°的兩個單位向量，則|e1e2|()a. b.c1 d.解析：由題意可得e1·e2，所以|e1e2|1.答案：c2已知平面向量a(1，)，|ab|1，則|b|的取值范圍是_. 解析：設(shè)b(x，y)，則|ab|1，即點(diǎn)(x，y)在圓(x1)2(y)21上，則|b|的幾何意義是圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以|b|的取值范圍是1,3答案：1,3探究二平面向量的夾角3若向量a與b不共線，a·b0，且cab，則向量a與c的

11、夾角為()a0 b.c. d.解析：c·a·aa·ab·aa·aa·a0，ca，即向量a與c的夾角為，故選d.答案：d4(2015·蘇州二模)設(shè)向量a(x,2)，b(2,1)，若a，b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_解析：由題意可得，a·b2x2>0，且x40，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(1,4)(4，)答案：(1,4)(4，)探究三平面向量的垂直5(2015·高考福建卷)設(shè)a(1,2)，b(1,1)，cakb，若bc，則實(shí)數(shù)k值等于()a bc. d.解析：因?yàn)閏(1k,2k)，b·c0，

12、所以1k2k0，解得k，故選a.答案：a6(2015·高考重慶卷)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()a. b.c. d解析：由條件，得(ab)·(3a2b)3a22b2a·b0，即a·b3a22b2.又|a|b|，所以a·b3·22b2b2，所以cosa，b，所以a，b，故選a.答案：a平面向量數(shù)量積求解問題的三個策略(1)求兩向量的夾角：cos ，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方

13、法有：a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，則|a|.考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用|在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a(1,0)和點(diǎn)b(1，0)，|1，且aocx，其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若x，設(shè)點(diǎn)d為線段oa上的動點(diǎn)，求|的最小值；(2)若x，向量m，n(1cos x，sin x2cos x)，求m·n的最小值及對應(yīng)的x值解(1)設(shè)d(t,0)(0t1)，由題易知c，所以，所以|2tt2t2t12(0t1)，所以當(dāng)t時，|最小，為.(2)由題意得c(cos x，sin x)，m(cos x1，sin x)，則m·n1cos2x

14、sin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin.因?yàn)閤，所以2x，所以當(dāng)2x，即x時，sin取得最大值1，所以m·n的最小值為1，此時x.平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的兩個解題策略(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等(2015·惠州二調(diào))設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(

15、2)設(shè)函數(shù)f(x)a·b，求f(x)的最大值解：(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x ，從而sin x，所以x.(2)f(x)a·bsin x·cos xsin2xsin 2xcos 2xsin，當(dāng)x時，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.8.忽視向量夾角范圍致誤【典例】設(shè)兩個向量e1，e2滿足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解因?yàn)閑1·e2|e1|

16、e2|cos 60°2×1×1，所以(2te17e2)·(e1te2)2te7te(2t27)e1·e28t7t2t272t215t7.因?yàn)橄蛄?te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，所以(2te17e2)·(e1te2)<0，即2t215t7<0，解得7<t<.當(dāng)向量2te17e2與向量e1te2反向時，設(shè)2te17e2(e1te2)，<0，則2t27t或t(舍去)因?yàn)橄蛄?te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，所以t，故t的取值范圍為.易誤點(diǎn)評向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角可得

17、(2te17e2)·(e1te2)<0.易忽略，共線反向的情況導(dǎo)致出錯防范措施(1)切記向量夾角的范圍是0，(2)a與b夾角為銳角a·b>0且a·b1，a與b夾角為鈍角a·b<0且a·b1.跟蹤練習(xí)已知a(1,2)，b(1,1)，且a與ab的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：a與ab均為非零向量，且夾角為銳角，a·(ab)>0，即(1,2)·(1，2)>0.(1)2(2)>0.>.當(dāng)a與ab共線時，存在實(shí)數(shù)m，使abma，即(1，2)m(1,2)，解得0.即當(dāng)0時，a與ab共線，綜上可

18、知，實(shí)數(shù)的取值范圍為(0，).a組考點(diǎn)能力演練1(2015·陜西模擬)設(shè)向量a，b滿足|ab|，a·b4，則|ab|()a. b2c2 d.解析：|ab|，a·b4，|ab|2|ab|24a·b16，|ab|2，選c.答案：c2對于任意向量a，b，c，下列命題中正確的是()a|a·b|a|b|b|ab|a|b|c(a·b)·ca·(b·c)da·a|a|2解析：法一：因?yàn)閨a·b|a|b|cosa，b|，只有當(dāng)a，b共線時，才有|a·b|a|b|，a不正確；因?yàn)閨ab|a|b

19、|，所以b不正確；向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即(a·b)·ca·(b·c)，c不正確；由數(shù)量積的定義可得a·a|a|2，d正確，故選d.法二：令a(1,0)，b(0,1)，c(1,1)，易驗(yàn)證a，b，c錯誤，故選d.答案：d3(2015·湘潭調(diào)研)在三角形abc中，e，f分別為邊ab，ac上的點(diǎn)，且2，若|ab|3，|ac|2，a60°，則·等于()a. b.c. d.解析：因?yàn)?，所以，所以·()·()·22·×22×32×2×3

20、×，故選a.答案：a4已知o，a，b三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為o(0,0)，a(3,0)，b(0，3)，且p在線段ab上，t(0t1)，則·的最大值為()a. b3c2 d9解析：設(shè)p(x，y)，x0,3，則(x3，y)t(3,3)，即t0,1，所以·3x9(1t)0,9，即·的最大值為9.答案：d5已知向量a，b滿足|a|，|b|1，且對于任意實(shí)數(shù)x，不等式|axb|ab|恒成立，設(shè)a，b的夾角為，則sin ()a. b.c. d.解析：如圖所示，當(dāng)(ab)b時，對于任意實(shí)數(shù)x，axb或axb，三角形中斜邊大于直角邊恒成立，不等式恒成立，因?yàn)?ab)b，|a|，

21、|b|1，所以tan ，tan ，sin .答案：d6已知平面向量a，b滿足a·(ab)3，且|a|2，|b|1，則向量a與b的夾角的大小為_解析：因?yàn)閍·(ab)3，|a|2，|b|1，所以a·(ab)|a|2a·b3，得a·b1.設(shè)向量a與b的夾角為，0，則cos ，解得.答案：7(2016·石家莊質(zhì)檢)若a，b是兩個互相垂直的單位向量，則向量ab在向量b方向上的投影為_解析：依題意得(ab)·ba·bb2，因此ab在向量b方向上的投影為.答案：8.在邊長為1的正方形abcd中，e，f分別為bc，dc的中點(diǎn)，則

22、·_.解析：因?yàn)椋?#183;0，所以··221.答案：19已知abc的面積為2，且滿足0<·4，和的夾角為.(1)求的取值范圍；(2)求函數(shù)f()2sin2cos 2的取值范圍解：(1)設(shè)abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，則由題意得bcsin 2,0<bccos 4，可得tan 1，又0，.(2)f()2sin2cos 2cos 2(1sin 2)cos 2sin 2cos 212sin1，2.22sin13，函數(shù)f()的取值范圍是2,310.(2015·杭州模擬)設(shè)abc是邊長為1的正三角形，點(diǎn)p1，p2，p3四等分線段bc(如圖所示)(1)求··的值；(2)設(shè)動點(diǎn)p在邊bc上，請寫出一個|的值使·>0，并說明理由；當(dāng)·取得最小值時，求cospab的值解：(1)原式·()2.(2)寫0到(0可取到