計(jì)算方法上機(jī)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)

1、計(jì)算方法上機(jī)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)、非線性方程求解(一) 問題的指出二分法1. 方法概要假定/(x)在a,切上連續(xù),/(«)/(/?)< 0口/(兀)在(d,b)內(nèi)僅有一實(shí)根f取區(qū)間中點(diǎn) c,若/(c) = 0,則c恰為其根，否則，根據(jù)0是否成立，可判斷出根所屬的 新的有根子區(qū)間(a,c)或(c,b),為節(jié)省內(nèi)存，仍稱其為運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，直到滿足精 度耍求為止，即lc flvb avg。式中為新的有根子區(qū)間的端點(diǎn)。2. 計(jì)算框圖nowton迭代法1.方法概要兀0為初始猜測,則由遞推關(guān)系xx廠嵌產(chǎn)牛逼近解t的迭代序列",這個(gè)遞推公式就是newton法。當(dāng)兀。距f較近時(shí)，%,很快收斂于t

2、。但當(dāng)x。選擇不當(dāng)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致兀發(fā)散。故我們事先規(guī)定迭代的最多次數(shù)。若 超過這個(gè)次數(shù)，述不收斂，則停止迭代另選初值。2 計(jì)算框圖(-)目的學(xué)握二分法與t-頓法的基本原理及應(yīng)用(三)要求1. 用二分法計(jì)算方程2sin %- = ()2在(1, 2)內(nèi)的根的近似值2. 用二分法計(jì)算方程兀3 - x -1 = 0 在(1, 1.5)內(nèi)的根的近似值 = ().5><10一5) o3.用牛頓法求下列非線性方程的近似根。加 1 = 0xq 0.5x3 - x -1 = 0兀0 = 1（兀一1尸（2 兀一1） = 0兀o = 0.45x() = 0.654.用改進(jìn)的牛頓法無+i =兀一2心）計(jì)算方

3、程（兀一1）2（2兀 一 1） = （）兀0 =0.55的近似根，并與要求3.中的的結(jié)果進(jìn)行比較。二、gauuss列主元消去法（）問題的提出由地一般線性方程組在使用gauss消去法求解時(shí)，從求解過程中可以清楚地看到，若 4嚴(yán)=（）,必須施以行交換的手續(xù)，才能使消去過程繼續(xù)下去。有時(shí)既使嚴(yán)工0,但其 絕對值很小，由于舍入誤差的影響，消去過程也會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)立現(xiàn)象。因此，為使這種不穩(wěn)定 現(xiàn)象發(fā)生的可能性減至最小，在施行消去過程時(shí)每一步都要選主元素，即要尋找行廠，使i a；：" 1= max i a：""丨i>k并將第廠行與第£行交換，以使此t的當(dāng)前值（即心

4、的數(shù)值）遠(yuǎn)人于0。這種列主元消去法的主要步驟如下：1. 消元過程對r=l,2,一1,做1°選主元，記i ark= max i aik ii>k若ar, =0,說明方程組系數(shù)矩陣奇界，則停止計(jì)算，否則進(jìn)行2。2°交換4 （增廣矩陣）的廠,r兩行元素5 <akj j =,n + l3°計(jì)算a.tj=a.-aikakjlakkj = r + 1,，斤 + 12. 回代過程對k =仏卅一1,2,1,計(jì)算耳=（.卄1一 x a/）j=k-l其計(jì)算框圖如f：（二）目的1. 熟悉gauss列主元消去法,編出實(shí)用程序。2. 認(rèn)識選主元技術(shù)的重耍性。3. 明確對于哪些系

5、數(shù)矩陣a ,在求解過程中不需使用選主元技術(shù)。（三）要求1. 編制程序，川gauss列主元消去法求解線性方程組ax = b,并打印結(jié)果，其屮_10-8231(1)a =-13.7124.623,b =2-21.0725.643_3_4-24'_10(2)a =-217 10b =3-410 9-72. 與不選主元的gauss消去法結(jié)果比較并分析原因。三、runge現(xiàn)象的產(chǎn)生和克服（）問題的提出在給定+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值以后構(gòu)造次插值多項(xiàng)式的方法。從余項(xiàng)的表達(dá)式看出，插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)逼近的程度是同分點(diǎn)的數(shù)日及位置有關(guān)的。能不能說，分 點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式對函數(shù)的逼近程度越好呢？答

6、案是否定的，在本世紀(jì)初runge指出了 這種多項(xiàng)式插值的缺點(diǎn)。什么是runge現(xiàn)象呢?例：給定函數(shù)/w =11 + 25?2取等距節(jié)點(diǎn)齊=1 + /（心0,1,10）,試建立插值多項(xiàng)式0io，并研究它與/的誤差。插值多項(xiàng)式的次數(shù)為10,用拉格朗口插值公式有10010二/（k）/=0其中f (xi)=11 + 25#1 +討*1。（兀一兀0）（兀一兀）（無一兀+）（兀一州0）畫出它們的圖形,從圖中可以看出,在-0.20, 0區(qū)間內(nèi)九）能較好地逼近/（%）, 但在其他部分0|（）（x）與/（兀）的差異較大，越靠近端點(diǎn)，逼近的效果越差。事實(shí)上可以證明, 對一這個(gè)函數(shù)在-1, 1區(qū)間內(nèi)用 + 1個(gè)等距

7、節(jié)點(diǎn)作插值多項(xiàng)式血（兀），當(dāng)” t 00時(shí)1 + 25x必 只能在1兀1<0.73內(nèi)收斂，而在這個(gè)區(qū)間z外是發(fā)散的，這一現(xiàn)象稱為runge現(xiàn)象。從上面例子看到,在區(qū)間上給定等距插值節(jié)點(diǎn)，過這些插值節(jié)點(diǎn)作拉格朗fi插值多項(xiàng)式, 節(jié)點(diǎn)不斷加密時(shí)，構(gòu)造的插值多項(xiàng)式的次數(shù)也不斷提高，但是，盡管被插值函數(shù)是連續(xù)的, 高次插值多項(xiàng)式也不一足收斂到相應(yīng)的被插值函數(shù)。解決runge現(xiàn)象有分段線性插值，三次樣條插值等方法。分段線性插值：設(shè)在區(qū)間q,®上，給定” + 1插值節(jié)點(diǎn)a =兀。v 兀< < xn = b和相應(yīng)的函數(shù)值兒】，兒，求作一個(gè)插值函數(shù)0（兀），具冇下面性質(zhì)：（1）0（

8、形）=兒，）=0丄2,（2）0（兀）在每個(gè)小區(qū)間廠，兀田上是線性函數(shù)。插值函數(shù)0（切叫做區(qū)間上對數(shù)據(jù)a，x）a=o,i,）的分段線性插值函數(shù)。三次樣條插值給定區(qū)間切一個(gè)分劃a: a = x（< %）< < xa,. =h若函數(shù)ss）滿足下述兩條件：1）s（x）在每個(gè)小區(qū)間®_,©（/ = 1,2,n）上是3次多項(xiàng)式。2）s（x）及其直到2階導(dǎo)數(shù)在切連續(xù)。則稱s（x）是關(guān)于分劃的三次樣條函數(shù)。（-）目的1. 深刻認(rèn)識多項(xiàng)式插ffi的缺點(diǎn)；2. 明確插值的不收斂性怎樣克服；3. 明確精度與節(jié)點(diǎn)、插值方法的關(guān)系。（三）要求給定函數(shù)/（%） =11 + 25?及節(jié)

9、點(diǎn)、xj) = 1,2,，n + 1,試用如下插值方法如何克服runge現(xiàn)象1. 用多項(xiàng)式插值計(jì)算出下列插值s冷,s” （0.06 + 0.1燈,sn （-0.06 - 0.1k）k =0,1,-,9 ,觀察是否會(huì)產(chǎn)生runge現(xiàn)象。2. 用下列方法進(jìn)行計(jì)算，并且比較它們克服runge現(xiàn)象的效果。(1) 分段線性插值(2) 三次樣條函數(shù)插值(一)，條件為：|s1v(x.) = /(xy),丿丄1,n + 1s：(兀)=廠(®),心1,"+ 1(3) 三次樣條函數(shù)插值(二)，條件為sn(xj) = f(xj 丿=1,n l 二廣(兀)，心1,n-13. 編程序，打印結(jié)果分析。

10、(1) 編寫計(jì)算程序，調(diào)試計(jì)算，比較每種插值在插值點(diǎn)上與精確值的誤差是多少。(2) 同一種插值法，當(dāng)節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，精度怎樣？(3) 打卬程序、結(jié)果，寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。u9、多項(xiàng)式最小二乘法(一) 問題的提出對于給定的測量數(shù)據(jù)uf.j； )(/ = 1,2,/!)設(shè)函數(shù)分布為)心)=工勺禺(兀)7=0特別地，取禺(兀)為多項(xiàng)式形式(p (x) = xj j = 0,1,2,，加則根據(jù)最小二乘原理，可構(gòu)造泛函h (兔"，, )二工(£ 一 y 幻禺(兀)2/=1 7=00則可得到法方程e e冏（兀）久（兀）勺=x /；久（兀）；=（）i=li=lk =0丄2,，n?求解該方程組，則可

11、得到解勺,舛衛(wèi)2，衛(wèi)加，因此可得到數(shù)據(jù)的最小二乘解f（x）xa j（pj（x）；=0（二）目的1. 學(xué)習(xí)使用最小二乘原理2. 了解法方程的特性（三）要求用最小二乘方法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。34567892.012.983.505.025.476.027.05并作出/（x）的近似分布圖。五、龍貝格積分法（）問題的提出考慮積分/(/)=bfmdxa欲求其近似值，可以采用如卜公式:（復(fù)化）梯形公式（復(fù)化）辛卜生公式"丈細(xì)a)+/a+j/=o le=-口/占”()12"t hs 二工家/(兀)+ 4/q+/3+jz=0 o1 24嚴(yán)s)（復(fù)化）柯特斯公式b_a(h、"-1 hc

12、= zw)+ 32/(x 1/=0/+432/(兀 3)+ 7/q+ji+42(b-a)(he =-）+ 12+2這里，梯形公式顯得算法簡單，具有如卜遞推關(guān)系1u “tmy因此，很容易實(shí)現(xiàn)從低階的計(jì)算結(jié)果推算岀高階的近似值，而只需要花費(fèi)較少的附加換數(shù)計(jì) 算。但是，山于梯形公式收斂階較低，收斂速度緩慢。所以，如何提高收斂速度，口然是人 們極為關(guān)心的課題。為此，記g為將區(qū)間進(jìn)行2人等份的復(fù)化梯形積分結(jié)果，t k為 將區(qū)間%進(jìn)行2“等份的復(fù)化辛卜生積分結(jié)果，7；乂為將區(qū)間s，b進(jìn)行2“等份的復(fù)化柯 特斯積分結(jié)果。根據(jù)李查遜（richardson）外推加速方法，可得到am t -t r s-hr+l

13、1 m-.k4" 一 1 0,1,2,、 嚴(yán)= 0,1,2,丿可以證明，如果/（兀）充分光滑，則有l(wèi)im, =/（/）（加固定）«t8'1訕幾。w）itoo這是一個(gè)收斂速度更快的一個(gè)數(shù)值求積公式，我們稱為龍貝格積分法。該方法的計(jì)算町按卜衣進(jìn)行兀2 gi上0,0t2lot2 2,0工0,1jn丁2、葉 2很明顯，龍貝格計(jì)算過程在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，只需開辟一個(gè)一維數(shù)組，即每次計(jì)算的結(jié)果tna ,可存放在7；以位置上，其最終結(jié)果7；是存放在a。位置上。具體的計(jì)算過程為：1. 準(zhǔn)備初值，計(jì)算hr 10 （£為等份次數(shù)）2. 按梯形公式的遞推關(guān)系，計(jì)算g+1 =to.

14、k +?可/ + 7（，+ *）3. 按龍貝格公式計(jì)算加速值amt-tqnripl1,r + 1加 "li 術(shù)一加1 c1a）, j y tn =7j 加=0,1,2,，k4. 精度控制。對給定的精度若i 幾,0 - n-1.0 k £則終止計(jì)算，并取t（5 <r- tms作為所求結(jié)果；否則k<-k + l,垂復(fù)24步，直到滿足精度 為止。(-)目的1. 理解和掌握龍貝格積分法的原理；2. 學(xué)會(huì)使用龍貝格積分法；3. 明確龍貝格積分法的收斂速度及應(yīng)用時(shí)容易出現(xiàn)的問題。 (三)要求1. 用龍貝格積分法計(jì)算下列積分的近似值c loo .r 1 sin xc1 o(1

15、) i x3dx ；(2) i dx ；(3) i sinxdxj 6j() xj 02. 打卬龍貝格積分法的函數(shù)表，使積分結(jié)果更加清楚。3. 分析所出現(xiàn)的問題并加以討論。六、常微分方程初值問題的數(shù)值解法()問題的提出(6.1)-階常微分方程初值問題dx7(xo)= jo的數(shù)值解法是近似計(jì)算中很重要的部分。常微分方程初值問題的數(shù)值解法是求方程(6.1)的解在點(diǎn)列暫=兀心+他5 = 0,1,) 上的近似值兒，這里hn& xn_到?！钡牟介L，一般略去下標(biāo)記為h o常微分方程初值問題的數(shù)值解法一般分為兩大類：(1) 單步法:這類方法在計(jì)算九時(shí),只用到柿、£和兒,即前一步的值。因此,

16、在 有了初值以片就可以逐步往k計(jì)算。典型方法如龍格-庫塔(r - k)方法。(2) 多步法：這類方法在計(jì)算兒+|時(shí)，除用到?！?£和幾以外，述要用 兒_p(p = 1,2,r； r>0),即而面£步的值。典型方法如adams方法。經(jīng)典的r-k方法是一個(gè)四階的方法，它的計(jì)算公式是：h兒+1=片+匸 +2k2+2k3+kjok】=f(xn,兒)<= jxn +£，兒 +£& )(6.2)= f(xn 兒+£心)k4 =f(xn+h,兒 +/%)r-k方法的優(yōu)點(diǎn)是：單步法、精度高，計(jì)算過程便于改變步長，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，每前進(jìn)一步

17、需要計(jì)算四次函數(shù)值f 0四階adams預(yù)測-校止方法是一個(gè)線性多步法，它是山adams顯式公式和隱式公式組 成，計(jì)算公式是：九=兒+£（55九一59幾+37入一9幾3）z+1 = /uz?+1, y,i+1）h 兒+1 = yn + 方（9九+ +19力一 5 九一+九_(tái)2）a+l=/（xn+p 兒+j它的局部截?cái)嗾`差是y（兀+）-兒+嚴(yán)0（斥）。利用adams顯式和隱式公式具冇同階截?cái)嗾`預(yù)測校正（6.3）差但系數(shù)不同的特點(diǎn)，將截?cái)嗾`差以預(yù)測值和校止值來表示，在預(yù)測和校止公式中分別以它 們各自的截?cái)嗾`差來進(jìn)行補(bǔ)足，可期望使精度進(jìn)一步得到改善。用幾和-分別表示第/!步 兒的預(yù)測值和校正

18、值，修正后的預(yù)測-校正公式為:預(yù)測修正求/校正修正求導(dǎo)幾+嚴(yán)兒+魯（55九59幾+37幾2 -9仁）251、（6.4）mn+l= pn+l （cnpn）加：+】=/（£+】，加”+jh伽=兒+方帥爲(wèi)+19九-5人+九_(tái)2）兒+ = c“+ 一 （c“_i 一 幾_| ）必+】=于（£+1,兒+1）由于開始無預(yù)測值和校正值可以利用，故令幾=c（）=0,以后就按上面步預(yù)計(jì)算。此 方法的優(yōu)點(diǎn)是：可以節(jié)省計(jì)算量（與r-k方法相比減少了函數(shù)/的計(jì)算次數(shù)）；缺點(diǎn)是： 它不是自開始的，需要先知道前面四個(gè)點(diǎn)的值兒,開，力，兒，因此，它不能獨(dú)立使用。另外, 它也不便于改變步長。（二）目的和意義通過實(shí)便，編寫程序上機(jī)計(jì)算，使得對常微分方程初值問題的數(shù)值解法有更深的理解， 掌握單步法和線性多步法是如何進(jìn)行實(shí)際計(jì)算的及兩類方法的適用范闌和優(yōu)缺點(diǎn)，特別是對 這兩類方法中最有代表性的方法；r-k方法和adams方法及預(yù)測-校正方法有更好的理 解。通過這兩種方法的配合使用，掌握不同方法如何配合在一起，解決實(shí)際問題。（三）實(shí)際計(jì)算例題1. 初值問題（/ 2