高考數學熱點考點題型探析：基本不等式

1、高考數學熱點考點題型探析基本不等式熱點考點題型探析考點1利用基本不等式求最值（或収值范圍）題型1.當積ob為定值時，求和a + b最小值2 2例1己知x > 0, j > 0 j1滿足一+ = 1,求x+y的最小值無 yo q【解題思路】利用一+-=h構造均值不等式兀 y28? v解析: t x + y = （x + y） 1 =（兀 + y） （i） = 2 + 81, x > 0, y0 , /x yx y2y 8x>0, >0x+ynio + 2你 = 18,當且僅當 =時等號成立，即y2=4x2f a y = 2x，又 兀y2 8+ = 1, x = 6,

2、 y = 12當 x = 6, y = 12 時，兀 + y 有最小值 18.兀 y【名師指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1）要求各數均為正數；（2）要求“和”或“積”為定值；（3）要注意是否具備等號成立的條件.題型2.當和a + b為定值時，求積db最大值例2.已知x>0, y>0,且3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及此時x、y的值.【解題思路】這是條件最值問題，但目標式與已知條件的聯系較隱蔽，不易發(fā)現.應將lgx+lgy轉化成lgxy考慮.解析vx>0, y>0, 3x+4y=12,r3x + 4yv、2>a lgx+lgy=l

3、gxylg3 .x > 0, y > 0由<3x + 4y = 12解得3x = 4y當 x=2, y=3 時，lgx+lgy 取得最大值 lg3 【名師指引】利用基本不等式求最值是高考中最?？嫉姆椒ㄖ?題型3.靈活運用基本不等式求取值范圍例3.若正數a, b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是【解題思路】可通過多種途經將等式化為可利用重要不等式的不等關系求解.解法一 由a、ber+,由重要不等式得a+b$2j,則 ab二a+b+322+3,即 ab - 2陌-3 $ 0 => (臨-3)(7亦 +1) $ 0 => 陌 $3,ab29 .解法二 a、b為正

4、數，：ab二a+b+3n 3“3肪>0,兩邊立方得 a3b534ab=>a2b234, vab>(), aab>9 .解法三原條件式變?yōu)閍b-3=a+b,a、b均為正數，故式兩邊都為正數，兩邊平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab,. a2+b2>2ab,a2b2-6ab+9>4ab,即 a2b2-10ab+9>0, (ab-l)(ab-9)0,由式可知ab>3,ab$9 .解法四把a、ber+看作一元二次方程的兩個根，此方程為x2+(3-ab)x+ab=o,則=(3-ab)'-4ab 20,即(ab)2-10ab+90, /.

5、(ab-9)(ab-l)0,.*ab-l=a+b+2>0 成立,.ab9 解法五 由已知得a(bl)=b+3,顯然a> 1, /. a =+,b-岀=3一1)2+53一1)+ 4= 1+丄 + 5$2揚 + 5 = 9, b-b-h-即 ab>9 .【名師指引】本題用了轉化思想(等式轉化為不等式)、方程思想、函數思想，這是 解決數學問題經常用的思想方法.【新題導練】1. 若兀>一1,貝ljx=時,x + !有最小值，最小值為兀+1解析 i v x > 1, x +1 > 0,> 0, x 4=兀 +12./(x+1)1x+1x + 1兀+ 1vx +

6、1= 2-1 = 1,當且僅當兀+ 1 =丄即x = 0時(無+丄)mn =1.x+1x+12. .(2008-華附)已知兀,y g /?*, 11% + 4y = 1,則丄+丄的最小值為兀 y解析：丁 x,ywr*,.:丄+丄二土上+ 土上=5 +空+蘭29，當且僅當x = l時取等x y x yx y36號.3. 已知一動直線/與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面枳的數值比直線/的縱、橫截距之和大1,求這三角形面積的最小值.xv解析：設直線/的方程i = 1 (a>0, b>0),則一d/?二 g + /? + 1, / a+b>2 ab ,a b2ab > 2yab

7、 +1,即(4ab)2 -4>jab - 20,解得 yab 2 +v6 ,2a- abm丄(2 +拆)s當a=b=2+v6時,三角形面積的最小值為5+2后2 2考點2利用基本不等式證明題型：用綜合法證明簡單的不等式例 1. 己知 a,b,c w r,求證：a2 +z?2 +c2 > ab 4- be + ca 【解題思路】因為是輪換對稱不等式，可考慮由局部證整體.解析 a2 +b2 > 2ah,b2 +c2 > 2bc,a2 +c2 > lac y相加整理得a2 +/?2+c2> ab + be + co當且僅當d = b = c時等號成立. 【名師指引】

8、綜合法證明不等式常用兩個正數的算術平均數不小于它們的兒何平均數這一結 論，運用時要結合題目條件，有時要適當變形.例2.已知a, b為正數，求證:【解題思路】觀察結構用基本不等式加以證明. 解析 1： a>0, b>0,嗎=+ *三24b= 4b = 2yci , ya = 14b ,兩式相加，得4a $ 2yla + 2yb ,莘+卓$血+麗.qb qci/. = +2 4a + jb .yjb 4a解析 3. j a>0, b>0,需 jf > 0 ,欲證即證ayla +hyhyja4b只要證 ata + blb a4b +, 只要證a4a +b4b)2 2 a

9、4b +by/a)2, 即證 a3 +/?3 + 2ab4ab 3 a2b + 2abyab + ab,只要證 a'+b2ab(a+b),只要證 a2+b2-ab>ab,即證(a-b)2>0.v (a-b)2>0成立，原不等式成立.【名師指引】當要證明的不等式形式上比較復雜時，常通過分析法尋求證題思路.“分析法”與“綜合法”是數學推理中常用的思維方法，特別是這兩種方法的綜合運 用能力，對解決實際問題有重要的作用.這兩種數學方法是高考考查的重要數學思維方法.【新題導練】4. 已知ayb g r ,求證：a2 +b2 -ab + > a + b解析： (a-b)2

10、=a2 +b2 +2ab>0:. a2 b2>-lab 又 丁 2+l>2« b2+>2b 由得 2a2+2b2+2> -2ab + 2a + 2b a a2 +b2 +ab + >a+b ,、中等號成立的條件分別為a=-b , a = l,b = l ,故不能同時成立，從而 ci + b? + cib +1 > a + b.5. 設 x>0,y>0 且 xhy,求證(兀 + y3) < (x2 + y2)2證明：由 x>0,y>0 且 xhy,要證明(x3 + y3)3 < (x2 + y2)2 只需+

11、y3)2 <+ /)3 即2x3y3 <3x2y2(x2 + y2)只需 2xy < x2 + y2由條件，顯然成立.原不等式成立 考點3基本不等式在實際中的應用題型1.處理恒成立的有關問題例1 (2008-中山)若g /?*,且x + yy < ajx+ y恒成立，則a的最小值是 【解題思路】分離系數得a > f +喬 令/(%,>') = £ + ' 求最大值即可解析：事實上求函數/(x,.y) =&+y的最大值，即f(x9y) =的最大值，運用基本不等式不難得到a>y/2【名師指引】分離系數法是處理參數取值范i韋

12、i的常用方法.題型2處理函數應用題.例2.(2008-梅縣)某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產兀千件,需另投入成本 為c(x).當年產量不足80千件w,c(x) = -x2+10x(萬元);當年產量不小于80千件 時,c(x) = 51x +丄型-1450(萬元).每件商品售價為().05萬元.通過市場分析，該廠生產 的商品能全部售完.(1) 寫出年利潤厶(萬元)關于年產量兀(千件)的函數解析式；(2) 年產量為多少t件時，該廠在這一商品的主產中所獲利潤最大？【解題思路】湊出基木不等式的形式.解析：當 0 <兀<80 時,l(x) = 0.05 x1000x - -

13、x2 -1 ox - 250 = - - x2 + 40x - 250 33當 x> 80 w,l(x) = 0.05xl000x-51x- + 1450-250 = 1200-(% + )xx-x2+40x-250,0<x<8031200-(x + ),x>80(2)當 0<x<80 時，lx) = -(x-60)2+950，此時，當 x = 60 時，l(x)取得最大值 3l(60) = 950 (萬元)；當 x>8 0 時,l(x) = 1200 (兀 +12292)<1200-2jx-= 1200-200 = 1000xv x此時，當x

14、=也型時，即x = 100時，厶(切取得最大值1000萬元.所以，當產量為100千件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元.【名師指引】形如函數y = x + -(p>0)的形式求最值時可考慮用基本不等式，但要 x注意條件的限制，可借助函數的圖像解題，必要時借助于導數.題型3.處理數列應用題例3.某鄉(xiāng)為提高當地群眾的生活水平，由政府投資興建了甲、乙兩個企業(yè),2007年該鄉(xiāng)從甲 企業(yè)獲得利潤320萬元，從乙企業(yè)獲得利潤720萬元.以后每年上交的利潤是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤的根據測算,該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)獲得的利潤 3達到2000萬元可以解決溫飽問題

15、，達到8100萬元可以達到小康水平.(1) 若以2007年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個企業(yè)獲得利潤最少的一年是那一年，該年還 需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？(2) 試估算2015年底該鄉(xiāng)能否達到小康水平？為什么？【解題思路】經審題抽象出數列模型解析(i)若以2007年為第一年，則第n年該鄉(xiāng)從這兩家企業(yè)獲得的利潤為兒=320 x (才)心 +720x,(«>!)= 2x80x6 = 960=804 x 弓)"t + 9 x>2x80x j4x(-|)當且僅當4x(-f-1 =9x(-)m-1,即n=2時,等號成立，3所以第二年(2008年)上交利潤最少，利潤為9

16、60萬元.由2000-960=1040 (萬元)知：還需另籌資金104()萬元可解決溫飽問題.(ii ) 2015年為第9年,該年可從兩個企業(yè)獲得利潤)，9 = 320x(討+ 720x(彳尸 >320x(#)* =320x jlxj =20><8：81 >20x81x5 = 8100所以該鄉(xiāng)到2015年底可以達到小康水平.【名師指引】本題重點考查數列的相關知識,基本不等式起到了工具性的作用.【新題導練】1 26. 已知函數/(x)=+ ,若/(x) + 2x>0在(0, +oo )上恒成立，求d的取值范圍。'a x1 2解析：因為/(x) + 2x>

17、;0在(0, +oo)上恒成立，即一+ + 2兀a0a x1111-<2(x + -)i 2(x + -)的最小值為4-<4axxa解得a < 0或a >丄47. (廣東省潮州金中08-09學年高三上學期期中考試)某種汽車的購車費用是10萬元，每 年使用的保險費、養(yǎng)路費、汽油費約為0.9萬元，年維修費用第一年是0.2萬元，以后 逐年遞增0.2萬元。問這種汽車使用多少年吋，它的年平均費用最?。孔钚≈凳嵌嗌?？解析：設使用x(xen)年的年平均費用為y萬元則使用x年的維修總費x(0.2 + 0-2x)門一用為 =o.lx + o.l萬兀2依題得 y = - 10 + 0.9x

18、 + (0.x + 0.1) = - (10 + % + 0. lx2)10 xllo x=11 > 2j1 = 3-x 10 v x 1010 x當且僅當= 即兀= 1()時取等號 /. x = u)時)，取得最小值3萬元x 10答：這種汽車使用10年時，它的年平均費用最小，最小值是3萬元.搶分頻道基礎鞏固訓練1. 設xho,則函數)=(x+g)2-l在4時，y有最小值.解：尸 3£)2123=,+卡+1$2+1二3.答案為：±1 : 32. 設實數xj滿/ilr2+2xy-l=0 ,則x+y的取值范圍是.解析：x+2xy+>=)+1> 1,即(x+y)

19、2 21 所以 x+y>l 或 x+)wl .答案為(sl 丨 u 1, +83. (廣東省梅州、揭陽兩市四校2008屆高三第三次聯考)設x, y均為正實數，且舟+占斗則xy的最小值為_ 解析：由一+ -=丄可化為xy =8+x+y,x, y均為正實數2 + x 2 + y 3.xy =8+x+y > 8 + 2/xy (當且僅當x=y等號成立)即xy2 歷8»0可解得j' 4,艮卩xy>16故xy的最小值為16。4. 半徑為4的球面上有a. b、g 四點 且ab, ac, /!兩兩互相垂直，則aabc、mcp、mdb面積之和sbc + scd + sdb的

20、最大值為()ca. 8b. 16c. 32d. 64解析：rtl個ag /0兩兩互相垂直，將之補成長方體知府+就+肪=(2龍64.x abx ac +v ab2 + ac2 ac2 + ad2 ad2 + ab2 _ ab2 + ac2 + ad2 “*+一= 32 444等號當且僅當ab = ac = ad取得，所以sbc + sc/) + swb的最大值為垃,選c.5. 某公司租地建倉庫，每月土地占用費旳與車庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨 物的運費），2與到車站的距離成正比，如果在距車站10公里處建倉庫，這兩項費用戸和乃 分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車

21、站多少公里處？2020解析：rh已知y=; j2=0.8x（x為倉庫與車站距離）費用之和y=y+2=0&+ 2xx20 202j0.8x-=8當且僅當0.8x=即x=5時“二”成立vx兀答：5公里處綜合拔高訓練6. 某建筑的金屬支架如圖所示，根據要求至少長2.8m, c為ab的屮點，3到d的距離比cq的長小0.5m, zbcd = 60° ,已知建筑支架的材料每米的價格一定，問怎樣設計abcd的長，可使建造這個支架的成本最低？解析：設 bc = ama > 1,4),cd = bm.連結bd.貝ij 在 cdb 中，(b 丄)2 =：慶 + a 2 2ab cos 60

22、“.22 1 . 1aa b = b2a = + la.a-a-o q設 r = «-lr> -l = 0a2a+1尸-+3貝ijb + 2a= +2(/ + 1) = 3/+ + 4»7,t4t等號成立吋 t = 0.5 > 0.4, a = 1.5,b = 4.答：當ab = 3m,cd = 4m時，建造這個支架的成本最低.x7. 已知/(兀)=(x-1).x + 1(1) 求f的單調區(qū)間；13(2) 若a > b > o.c =，求證：/(a) + f (c)一(a-b)b4講解：(1)對己知函數進行降次分項變形，得f(x) = l,x + 1/. /(x)在區(qū)間(-00,-1)和(-1,+00)上分別單調遞增.(2)首先證明任意 x > y > 0,有g + y)v /(x) + /(y).事實上，/(兀)+ /()，) = +一= : > =/(xy + x + y)x + 1 y + 1兀y + x + y + 1 xy + x + y + i而 xy + x + y>x + y, 由矢財(xy + x