高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上7.6 直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)梳理直線和圓1.直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點(diǎn)，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式來(lái)討論位置關(guān)系.0，直線和圓相交.=0，直線和圓相切.0，直線和圓相離.方法二是幾何的觀點(diǎn)，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.dR，直線和圓相交.d=R，直線和圓相切.dR，直線和圓相離.2.直線和圓相切，這類問(wèn)題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點(diǎn)兩種情況，而已知直線上一點(diǎn)又可分為已知圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)兩種情況.3.直線和圓相交，這類問(wèn)題主要是求弦長(zhǎng)以及弦的中點(diǎn)問(wèn)題.點(diǎn)擊雙基1.設(shè)m&

2、gt;0，則直線（x+y）+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關(guān)系為A.相切 B.相交C.相切或相離 D.相交或相切解析：圓心到直線的距離為d=，圓半徑為.dr=（m2+1）=（1）20，直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離.答案：C2.圓x2y24x+4y+6=0截直線xy5=0所得的弦長(zhǎng)等于A. B. C.1 D.5解析：圓心到直線的距離為，半徑為，弦長(zhǎng)為2=.答案：A3.圓x2+y24x=0在點(diǎn)P（1，）處的切線方程為A.x+y2=0 B.x+y4=0C.xy+4=0 D.xy+2=0解法一：x2+y24x=0y=kxk+x24x+（kxk+）2=0.該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即=0，解得k=

3、.y=（x1），即xy+2=0.解法二：點(diǎn)（1，）在圓x2+y24x=0上，點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直.又圓心為（2，0），·k=1.解得k=，切線方程為xy+2=0.答案：D4.圓心在直線2xy7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，4）、B（0，2），則圓C的方程為_(kāi).解析：圓C與y軸交于A（0，4），B（0，2），由垂徑定理得圓心在y=3這條直線上.又已知圓心在直線2xy7=0上，解得x=2，聯(lián)立 y=3，2xy7=0. 圓心為（2，3），半徑r=|AC|=.所求圓C的方程為（x2）2+（y+3）2=5.答案：（x2）2+（y+3）2=55.若直線y=x+k與曲線x

4、=恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是_.解析：利用數(shù)形結(jié)合.答案：1k1或k=典例剖析【例1】 已知圓x2+y2+x6y+m=0和直線x+2y3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且OPOQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.剖析：由于OPOQ，所以kOP·kOQ=1，問(wèn)題可解.解：將x=32y代入方程x2+y2+x6y+m=0，得5y220y+12+m=0.設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），則y1、y2滿足條件y1+y2=4，y1y2=.OPOQ，x1x2+y1y2=0.而x1=32y1，x2=32y2，x1x2=96（y1+y2）+4y1y2.m=3，此時(shí)0，圓心坐標(biāo)為（，3），半徑r=

5、.評(píng)述：在解答中，我們采用了對(duì)直線與圓的交點(diǎn)“設(shè)而不求”的解法技巧，但必須注意這樣的交點(diǎn)是否存在，這可由判別式大于零幫助考慮.【例2】 求經(jīng)過(guò)兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點(diǎn)，且圓心在直線xy4=0上的圓的方程.剖析：根據(jù)已知，可通過(guò)解方程組得圓上兩點(diǎn)，（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37 由圓心在直線xy4=0上，三個(gè)獨(dú)立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0，再由圓心在直線xy4=0上，定出參數(shù)，得圓方程.解：因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過(guò)兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=

6、37的交點(diǎn)，所以設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0.展開(kāi)、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圓心為（，），代入方程xy4=0，得=7.故所求圓的方程為（x+）2+（y+）2= .評(píng)述：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圓C1、C2相交，那么過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1）.它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過(guò)兩圓C1、C2公共點(diǎn)的圓.特別提示 在過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圖象方程中，若=1，可得兩圓公共弦所在的直線方程.【例3】 已知圓

7、C：（x1）2（y2）225，直線l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程.剖析：直線過(guò)定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得.（1）證明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.得mR， 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒過(guò)定點(diǎn)A（3，1）.圓心C（1，2），AC5（半徑），點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn).（2）解：弦長(zhǎng)最小時(shí)，lAC，由kAC，l的方程為2xy5=0.評(píng)述：若定點(diǎn)A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？思考討論 求直線過(guò)定點(diǎn)，你還有

8、別的辦法嗎？闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.若圓（x3）2（y+5）2r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是A.（4，6） B.4，6） C.（4，6 D.4，6解析：數(shù)形結(jié)合法解.答案：A2.已知直線ax+by+c=0（abc0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三角形A.是銳角三角形 B.是直角三角形C.是鈍角三角形 D.不存在解析：由題意得=1，即c2=a2+b2，由a、b、c構(gòu)成的三角形為直角三角形. 答案：B3.若圓x2+y2+mx=0與直線y=1相切，且其圓心在y軸的左側(cè)，則m的值為_(kāi).解析：圓方程配方得（x+）2+y2=，圓心為（，0）.由條件

9、知<0，即m>0.又圓與直線y=1相切，則0（1）=，即m2=3，m=.答案：4.直線x+2y=0被曲線x2+y26x2y15=0所截得的弦長(zhǎng)等于_.解析：由x2+y26x2y15=0，得（x3）2+（y1）2=25.知圓心為（3，1），r=5.由點(diǎn)（3，1）到直線x+2y=0的距離d=.可得弦長(zhǎng)為2，弦長(zhǎng)為4.答案：45.自點(diǎn)A（3，3）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2y24x4y70相切，求光線l所在直線的方程.解：圓（x2）2（y2）21關(guān)于x軸的對(duì)稱方程是（x2）2（y2）21.設(shè)l方程為y3k（x3），由于對(duì)稱圓心（2，2）到l距離為圓的半

10、徑1，從而可得k1，k2故所求l的方程是3x4y30或4x3y30.6.已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2（r>0）內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與此圓有何種位置關(guān)系?分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.解：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d=.P（x0，y0）在圓內(nèi)，<r.則有d>r，故直線和圓相離.培養(yǎng)能力7.方程ax2+ay24（a1）x+4y=0表示圓，求a的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程.解：（1）a0時(shí)，方程為x2+（y+）2=，由于a22a+20恒成立，a0且aR時(shí)方程表示圓.（2）r2=4·=42(

11、)2+，a=2時(shí)，rmin2=2.此時(shí)圓的方程為（x1）2+（y1）2=2.8.（文）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，4），且與直線l：x+3y26=0相切于（8，6）的圓的方程.解：設(shè)圓為x2+y2+Dx+Ey+F=0，依題意有方程組3DE=36，2D+4EF=20，8D+6E+F=100. D=11，E=3，F(xiàn)=30.圓的方程為x2+y211x+3y30=0.（理）已知點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q（4，0）.（1）求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)POQ的平分線交PQ于R，求R點(diǎn)的軌跡方程.解：（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x，y），則P（2x4，2y），代入圓的方程得（x2）2+y2=1.（2）設(shè)R（x

12、，y），由=，設(shè)P（m，n），則有m=，n=，代入x2+y2=4中，得（x）2+y2=（y0）.探究創(chuàng)新9.已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M（1，0）、N（1，0）距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)有=，即=·，整理得x2+y26x+1=0. 因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1，|MN|=2，所以PMN=30°，直線PM的斜率為±.直線PM的方程為y=±（x+1）. 將代入整理得x24x+1=0.解得x1=2+，x2=2.代入得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+，1+）或（2，1+）；（2+，1）或（2，1）.直線PN的方程為y=x1

13、或y=x+1.思悟小結(jié)1.直線和圓的位置關(guān)系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方法有兩個(gè)：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大??；代數(shù)法，看直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組的解的個(gè)數(shù).2.解決直線與圓的位置關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題，往往充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)使問(wèn)題簡(jiǎn)化.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來(lái)確定.2.當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長(zhǎng)一般要用切線、半徑及圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形；與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)的計(jì)算也要用弦心距、半徑及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形.3.有關(guān)圓的問(wèn)題，注意圓心、半徑及平面幾

14、何知識(shí)的應(yīng)用.4.在確定點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，經(jīng)常要用到距離，因此，兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等應(yīng)熟練掌握，靈活運(yùn)用.拓展題例【例1】 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點(diǎn)為A（1，2），要使過(guò)定點(diǎn)A（1，2）作圓的切線有兩條，求a的取值范圍.解：將圓的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圓心C的坐標(biāo)為（，1），半徑r=，條件是43a20，過(guò)點(diǎn)A（1，2）所作圓的切線有兩條，則點(diǎn)A必在圓外，即.化簡(jiǎn)得a2+a+90.由 43a20，a2+a+90，解之得 a，aR.a.故a的取值范圍是（，）.【例2】 已知O方程為x2+y2=4，定點(diǎn)A（4，0），求過(guò)點(diǎn)A且和O相切的動(dòng)圓圓心的軌跡.剖析：兩圓外切，連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之和，兩圓內(nèi)切，連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之差，由此可得到動(dòng)圓圓心在運(yùn)動(dòng)中所應(yīng)滿足的幾何條件，然后將這個(gè)幾何條件坐標(biāo)化，即得到它的軌跡方程.解法一：設(shè)動(dòng)圓圓心為P（x，y），因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A，所以|PA|即